Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exerćıcios 8 (Transformações Lineares e Matriz Mudança de Base) 1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares (Justifique sua resposta): a) f : R2 → R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y) b) f : R2 → R tal que f(x, y) = xy c) f : M2 → R tal que f ([ a11 a12 a21 a22 ]) = det [ a11 a12 a21 a22 ] d) f : P2 → P3 tal que f(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx e) f : R→ R tal que f(x) = |x| f) Fixada matriz Bn×n, f : Mn×n →Mn×n definida por T (A) = AB +BA. 2. Prove que as seguintes funções são transformações lineares: a) (Multiplicação por matriz) Fixada matriz Am×n, T : Rn×1 → Rm×1 definida por T (X) = AX. b) (Rotação) T : R2 → R2 dada por Tθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). c) (Derivação) T : Pn → Pn dada por T (p) = p′. 3. Sabendo que T : R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1,−1) = (3, 2,−2) e T (−1, 2) = (1,−1, 3), determine T (x, y). 4. Determine a transformação linear T : P2 → P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1−x2 e T (x2) = x+2x2. 5. Sejam V e W espaços vetoriais e T : V→W uma transformação linear. Prove que i) T (0V) = 0W ii) T (−v) = −T (v) para todo v ∈ V iii) T (α1v1 + . . .+ αnvn) = α1T (v1) + . . .+ αnT (vn) para todo αi ∈ R e vi ∈ V 6. Sejam T1 : V → W e T2 : V → W transformações lineares, e β1 e β2 escalares. Prove que T : V→W, definida por T (v) = β1T1(v) + β2T2(v) também é transformação linear. 7. Sejam T : V → W e L : W → U transformações lineares. Mostre que L ◦ T : V → U dada por (L ◦ T )(v) = L(T (v)) também é uma Transformação linear. 8. Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que a) N(T ) é um subespaço vetorial de V b) Im(T ) é subespaço vetorial de W 9. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, x+ 2y − z,−x+ y + 4z). (a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11). (b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v. 1 10. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0). (a) Determine T (x, y). (b) Determnine N(T ) e Im(T ). (c) T é injetora? T é sobrejetora? 11. Dada a transformação linear T : P5 → P5 definida por T (p) = p′, encontre N(T ), Im(T ), nulidade de T e posto de T . 12. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z). a) Encontre uma base para o núcleo de T b) Encontre uma base para a imagem de T c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T 13. Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que T (e1) = (1, 2), T (e2) = (0, 1) e T (e3) = (−1, 3), sendo {e1, e2, e3} a base canônica de R3. (a) Determine o N(T ) e uma de suas bases. T é injetora? (b) Determine a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora? 14. Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que a) T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T )) = dim(W) b) T é injetora se, e somente se, dim(N(T )) = 0 15. Seja T : Rn → R5 uma transformação linear. a) Se T é sobrejetiva e dim(N(T )) = 2, qual o valor de n? b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n? 16. Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em relação as bases canônicas): a) T : R2 → R tal que T (x, y) = x+ y b) T : R5 → R5 tal que T (V ) = projWV onde W = ( 1√ 3 , 0, 1√ 3 , 1√ 3 , 0 ) c) T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (y, x, x+ y) 17. Para cada transformações linear T abaixo, verifique se T é invert́ıvel e, se posśıvel, calcule a inversa T−1. a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+ 2y + z, y + 2z, z) b) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a,−2a+ b,−2a− 4b+ c) c) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a+ b+ c, a+ 2b, a+ 2c) 18. Encontre um operador linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (−1, 2, 1) e (1,−1, 0). 19. Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 3,−1, 2) e (2, 0, 1,−1). 2 20. Seja T : R3 → R2 tal que [T ]B1B2 = [ 1 0 −1 −1 1 1 ] , sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2 respecti- vamente. (a) Encontre a expressão de T (x, y, z). (b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço do R2. (c) Determine N(T ) e uma base para esse subespaço do R3. (d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique. 21. Considere o operador linear T : R2 → R2 (x, y) 7→ (x+ 2y, x− y) e as bases A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]AA, [T ]BB e [T ]CC . 22. Seja T : R3 → R2, com T (x, y, z) = (2x− y + z, 3x+ y − 2z). Considere as bases A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2, 1), (5, 3)}, do R3 e do R2, respectivamente. (a) Determine [T ]AB. (b) Se v = (3,−4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R3), calcule [T (v)]B2 utilizando a matriz encontrada. 23. Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, B1 = {(−1, 1), (1, 1)}, B2 = {(3, 1), (3,−1)} e B3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas do R2. a) Ache as matrizes mudança de base: i) [I]B1B ii) [I] B B1 iii) [I]BB2 iv) [I] B B3 b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base: i) B ii) B1 iii) B2 iv) B3 c) As coordenadas de um vetor v em relação a base B1 são dadas por [v]B1 = [ 4 0 ] . Quais são as coordenadas de v em relação à base: i) B ii) B2 iii) B3 24. Sejam B1, B2, B3 e B4 bases do R2, determine [I]B1B3 sabendo que [I]B1B2 = [ 1 0 0 2 ] , [I]B4B3 = [ −4 0 1 5 ] e [I]B2B4 = [ −1 1 4 1 ] 3 Respostas 1. a) Sim b)Não c)Não d)Sim e)Não f) Sim 3. T (x, y) = (7x+ 4y, 3x+ y,−x+ y) 4. T (a+ bx+ cx2) = b+ (a+ c)x+ (−b+ 2c)x2. 9. (a) u = (1, 2,−3) (b) v = (2z,−z, z) com z ∈ R. 10. (a) T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y). (b) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x)|x, y ∈ R}. (c) T é injetora, mas não é sobrejetora. 11. N(T ) = span{1}, Im(T ) = span{1, t, t2, t3, t4}, nulidade 1 e posto 5. 12. a) {1, 1, 0} b) {(0, 1, 0), (1, 0,−1)} c) O núcleo de T é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor (1, 1, 0) e a imagem de T é o plano que passa pela origem que tem vetores diretores (0, 1, 0) e (1, 0,−1). 13. a) N(T ) = {(z,−5z, z)|z ∈ R} b) Im(T ) = R2. 15. a) 7 b) 5 16. a) [ 1 1 ] b) 1/3 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0 1/3 0 1/3 1/3 0 1/3 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0 c) 0 11 0 1 1 17. a) T−1(x, y, z) = (x− 2y + 3z, y − 2z, z) b) T−1(a, b, c) = (a, 2a+ b, 10a+ 4b+ c) c) Não é invert́ıvel 20. (a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y) (b) Im(T ) = R2 (c) N(T ) = {(x, x, 2x)|x ∈ R} (d) T é sobrejetora. T não é injetora. 21. [T ]A = [ −2 1 −1 2 ] [T ]B = [ 3 −1 6 −3 ] [T ]C = [ 1 2 1 −1 ] 22. (a) [T ]AB = [ −4 5 13 2 −2 −5 ] (b) [T (v)]B = [ 31 −10 ] 23a. i. [ −1 1 1 1 ] , ii. [ −1 2 1 2 1 2 1 2 ] , iii. [ 1 6 1 2 1 6 −1 2 ] , iv. [ 1 2 0 0 1 2 ] . 23b. i. [ 3 −2 ] , ii. [ −5 2 1 2 ] , iii. [ −1 2 3 2 ] , iv. [ 3 2 −1 ] . 23c. i. [ −4 4 ] , ii. [ 4 3 −8 3 ] , iii. [ −2 2 ] . 24. [I]B1B3 = [I] B4 B3 . [I]B2B4 . [I] B1 B2 = [ 4 −8 19 12 ] 4