Lista Análise Combinatória

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Estudos de Matemática 2014 
Professor João Carlos 
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Analise Combinatória 
 
 
Princípio Fundamental da Contagem: 
 
Acompanhe o raciocínio do exemplo abaixo: 
 
Ex. 1: Uma pessoa quer viajar de Juiz de Fora a Cuiabá passando por São Paulo. Sabe-se que de JF a SP existem 3 caminhos diferentes e 
que de SP à Cuiabá existem 5 caminhos diferentes. De quantas formas uma pessoa pode chegar a Cuiabá passando por SP. 
 
 
Assim o total de possibilidades é 15 ou 
3 x 15 = 15 possibilidades 
 
Princípio Aditivo: Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então A B possui p q+ elementos. 
 
Princípio Multiplicativo: Se uma decisão 1d pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez tomada a decisão 1d , a decisão tomada 2d 
puder ser tomada de n maneiras então o número de maneiras de se tomar as decisões 1d e 2d e .mn . 
 
 
Exemplo 2: Os números de celulares de uma determinada empresa são constituídos de 99 e mais 6 dígitos. Calcule a quantidade de 
números que podemos formar. 
 
Exemplo 3: Oito caminhos conduzem ao cume de uma montanha. De quantos modos uma pessoa pode subir e descer por caminhos 
diferentes? 
 
Exemplo 4: Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíches, 4 tipos de refrigerantes e 3 tipos de sorvetes. De quantas formas podemos fazer 
um lanche composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e um sorvete: 
 
Exemplo 5: Usando somente os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números podemos formar de modo serem: 
 
a) de 2 algarismos 
b) pares de 2 algarismos 
c) ímpares de 2 algarismos 
d) de dois algarismos distintos 
e) de dois algarismos pares 
 
Ex. 6: Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Permutação Simples: 
 
Permutação Simples é um tipo de agrupamento ordenado, sem repetição em que entram todos os elementos de cada grupo 
 
!nP n= 
 
onde n é o número de elementos do grupo 
 
Ex. 1: Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, calcule: 
a) o total de anagramas 
b) o número de anagramas que termina com A 
c) o número de anagramas que começa com EN 
 
Ex. 2: Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números 
em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? 
 
Ex. 3: De quantas maneiras podemos ordenar 2 livros de matemática, 3 de português e 4 de física de forma que: 
a) Os livros fiquem em qualquer ordem 
b) Os livros da mesma matéria fiquem juntos 
 
Ex. 4: Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das quais 3 sabem dirigir. De quantas maneiras se podem 
dispor essas 6 pessoas? 
 
 
 
Permutação com Elementos Repetidos: 
 
... !
! ! !...
n
n
P 
  
=
 
 
n é o número total de elementos 
, , ,...   são a quantidade de elementos repetidos 
 
Ex. 1: Determine a quantidade de números distintos que podemos obter permutando ao algarismo dos números 
a)73 431 
b)343 434 
 
Ex. 2: U sendo uma vez a letra A, uma vez a letra B e (n – 2) vezes a letra C, podemos formar 20 anagramas diferentes com “m” letras em 
cada anagrama. Calcule “m 
 
 
Permutações Circulares: (não faz parte do programa 2014) 
 
( 1)!nPC n= − 
 
Ex.: De quantas formas podemos dispor 7 pessoas numa mesa redonda? 
 
 
 
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Arranjos Simples: 
 
Arranjo simples é o tipo de agrupamento, sem repetição em que o s grupos se diferem através da ordem e da natureza dos elementos. 
 
,
!
( )!
n p
n
A
n p
=
− 
 
n é o total de elementos 
p é o total de elementos selecionados 
 
Ex. 1: Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
 
Ex. 2: As placas de carros são formadas por 4 algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar? 
 
Ex. 3: Resolva a equação 
,6 ,5
,4
9
n n
n
A A
A
+
= 
 
 
Ex. 4: Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de 5 lugares, de quantas maneiras diferentes podem sentar-se, nunca a 
mulher ficando em pé? 
 
 
Combinação Simples: 
 
É o tipo de agrupamento sem repetição em que o grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. 
 
,
!
!( )!
n p
n
C
p n p
=
− 
 
 
Ex. 1: Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 
quaisquer desses pontos? 
 
 
Ex. 2: Calcule n na equação ,1 ,2 6n nC C+ = 
 
 
Ex. 3: Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 moças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. Você tem 2 anéis distintos e 5 caixas distintas e pretende colocar cada anel em uma caixa diferente. De quantos modos isso pode ser 
feito? 
 
a) 60 
b) 40 
c) 30 
d) 20 
e) 10 
2. (UFJF – 1995) Com os algarismos 1, 2, 6, 7 e 9, a quantidade de números ímpares com três algarismos distintos, maiores que 200, 
que podemos formar é: 
 
a) 18 b) 30 c) 36 d) 42 e) 72 
 
3. (UFJF – 1996) Antônio, que está fazendo a 1ª fase do vestibular/96 na UFJF de 11/12/95 a 13/12/95, pode chegar ao Campus e dele 
regressar de ônibus, de táxi, de carona ou no seu próprio carro. Observamos que Antônio vai no seu carro se, e somente se, volta nele 
também. Com os meios de transporte que Antônio utilizar nesta 1ª fase, o número de opções de ida e volta do Campus com os quais ele 
poderá contar é: 
 
a) 10 b) 27 c) 30 d) 81 e) 1000 
 
4. (UFJF – 1997) Uma tribo indígena utiliza uma linguagem escrita que possui duas “letras”:  e  , e cada palavra pode ter de 1 a 5 
“letras”. O número máximo de palavras desta linguagem é: 
 
a) 10 b) 20 c) 62 d) 32 e) 30 
 
5. (UFJF – 1999) Temos sete cores distintas e queremos pintar um painel com quatro listras, cada listra de uma cor diferente. O número 
de maneiras com que isso pode ser feito é: 
 
a) 35 b) 840 c) 2401 d) 16384 e) 922 
 
6. (UFJF – 2000) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais 
Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros do mesmo assunto permaneçam junto, é: 
 
a) 288 b) 196 c) 864 d) 1728 e) 720 
 
7. (UFJF – 2000) O Alfabeto dos habitantes de um planeta muito maluco só possuía três letras e todos os sobrenomes desses habitantes 
só tinham quatro letras, não podendo ter duas letras iguais juntas. O número de sobrenomes de habitantes desse planeta é: 
 
a) 81 b) 24 c) 16 d) 8 e) 32 
 
8. (UFJF – 2001/Modificada) Cinco amigos vão viajar utilizando um carro com seis lugares. Sabendo – se que apenas dois deles podem 
dirigir, o número de maneiras que os cinco amigos podem se acomodar para a viagem é: 
 
a) 120 b) 200 c) 240 d) 300 e) 420 
 
9. (UFJF – 2002) Uma liga esportiva elaborou um campeonato de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada turno, cada clube 
jogará exatamente uma partida contra cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de partidas será 306, o número de clubes 
que participarão do campeonato é igual a: 
 
a) 34 b) 18 c) 17 d) 12 e) 9 
 
10. (UFV – 2003) Na primeira fase de um campeonato de futebol, os times participantes são divididos em 8 grupos de n times. Se, em 
cada grupo os times se enfrentam uma única vez, então o número de jogos realizados nesta fase é: 
 
a) n(n – 1) b) 8n(n – 1) c) 8n d) 4n(n – 1) e) 4n 
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11. (UFJF – 2003) Um programa de TV organizou um concurso e na sua fase final, promoveu o confronto entre os finalistas, de modo 
que cada um deles se confrontava com cada um dos outros uma única vez. Se foram gravados 28 confrontos, é correto afirmar que o 
número de finalistas foi: 
 
a) 2 b) 4 c) 7 d) 8 e) 14 
 
12. (UFJF – 2004) Dado um círculo, o número de cordas que podemos traçar com 6 pontos distintos sobre ele é: 
 
a) 6 b) 12 d) 15 d) 24 e) 30 
 
13. (UFJF – 2004) Felipeé aluno desse colégio e separou cinco livros distintos da biblioteca para fazer uma pesquisa. O número de 
possibilidades de Felipe escolher 3 desses livros é: 
 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 27 e) 127 
 
14. (UFV – 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para 
obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando – se, no máximo, 2 tipos de sais minerais, é: 
 
a) 26 b) 30 c) 28 d) 32 e) 34 
 
15. (PISM – 2005) Sejam r e s duas retas paralelas. Considere os pontos A, B e C sobre a reta r e os pontos D, E, F, G e H sobre a reta s. O 
número de triângulos possíveis de formar, usando os pontos sobre as retas como seus vértices, é: 
 
a) 30 b) 60 c) 15 d) 45 e) 120 
 
16. (UFV – 2005) Considere 
2{ | 2 | |}A x Z x x=  = e 6, 6,2{ | }pB p Z C C=  = . O total de subconjuntos de A B que contém 
3 elementos é: 
 
a) 4 b) 7 c) 6 d) 3 e) 5 
 
 
17. Num banco de automóvel o assento pode ocupar seis lugares diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. 
Combinado o assento e o encosto, este banco assume: 
 
a) 6 posições diferentes 
b) 90 posições diferentes 
c) 30 posições diferentes 
d) 180 posições diferentes 
e) 720 posições diferentes 
 
18. Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com os mesmos números de times, para a disputa da primeira fase de 
um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes 
de se completarem as chaves é: 
 
a) 21 b) 30 c) 90 d) 60 e) 120 
 
19. Um técnico de basquetebol dispõe de 12 jogadores, 5 dos quais devem ser selecionados para disputar um campeonato. Se Xazan e 
Eureka não podem ficar fora da equipe selecionada e os demais jogadores jogam em quaisquer posições, o número de equipes que o 
técnico poderá formar é: 
 
a) 24 b) 60 c) 120 d) 240 e) 720 
 
20. O maior número de retas definidas por 12 pontos, dos quais sete são colineares, é: 
 
a) 44 b) 45 c) 46 d) 90 e) 91 
 
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21. Um casal e seus quatro filhos, ao posar para uma fotografia, ficam em pé, um do lado do outro. O número de modos que eles poderão 
se dispor, se os pais devem ficar sempre juntos é: 
 
a) 60 b) 36 c) 240 d) 720 e) 120 
 
22. Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O 
número 75391 ocupa, nessa condição, o lugar: 
 
a) 21° b) 64° c) 88° d) 720° e) 120° 
 
23. Duas das 50 cadeiras de uma sala de aula serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas que esses alunos terão 
para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las é: 
 
a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! e) 50! 
 
24. Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. 
Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas, serão necessários aproximadamente: 
 
a) 100 dias b) 10 anos c) 1 século d) 10 séculos e) 100 séculos 
 
25. (UFMG) Nesta figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I e J é: 
 
a) 20 
b) 21 
c) 25 
d) 31 
e) 35 
f) 
 
 
 
26. Uma lanchonete faz vitaminas com até cinco tipos de frutas diferentes, sendo elas: laranja, mamão, banana, morango e maça. As 
vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando os tipos de frutas de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, 
quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece? 
 
a) 10 b) 25 c) 31 d) 35 e) 120 
 
27. Em um grupo de três professores, três são professores de matemática. O número de comissões de seis professores, dos quais pelo 
menos um é professor de matemática, é: 
 
a) 120 b) 175 c) 192 d) 203 e) 210 
 
28. Podemos ordenar as pessoas que estão em uma certa fila de 24 maneiras diferentes, então, nessa fila estão: 
 
a) 4 pessoas b) 5 pessoas c) 6 pessoas d) 12 pessoas e) 24 pessoas 
 
29. Deseja-se escolher duas letras distintas do conjunto {x, y, z} e três números distintos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9}. O número de conjuntos 
que pode ser assim formado é: 
 
a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 180 
 
30. O número máximo de quadriláteros com vértices em oito pontos distintos marcados em um círculo é: 
 
a) 24 b) 70 c) 350 d) 840 e) 1680 
 
31. Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Londres através de duas companhias: Varig ou Vasp. O 
passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva, e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode 
fazer tal escolha? 
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32. Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16h, e o 
segundo às 18h. De quantas maneiras distintas a seqüência de filmes pode ser escolhida? 
 
33. Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se 8 pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidas presidente 
e vice-presidente? 
 
34. A 1° fase de um campeonato é disputado por 15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe A, por exemplo, joga contra a 
equipe B duas vezes: uma em seu campo e outra em campo adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores 
classificados da primeira fase fazem a final no mesmo sistema? 
 
35. Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte brasileiro. Quantas respostas diferentes são 
possíveis, se cada entrevistado é apresentada uma lista com o nome de 20 esportistas? 
 
36. Uma classe tem 10 meninos e 10 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de três meninos e quatro 
meninas, incluindo obrigatoriamente o melhor aluno e a melhor aluna? 
 
37. Uma locadora de automóveis tem a disposição de seus clientes uma frota de dezesseis carros nacionais e quatro importados. De 
quantas formas uma empresa poderá alugar três carros de modo que: 
 
a) todos sejam nacionais 
b) pelo menos um carro nacional seja escolhido 
 
38. Uma classe tem 30 alunos. Um professos organiza uma prova oral para a qual 5 alunos serão sorteados ao acaso. De quantas formas 
o professor poderá escolher os alunos? 
 
39. De um baralho de 52 cartas, sorteamos sucessivamente, e sem reposição, 5 cartas. 
 
a) Quantas são as possibilidades do sorteio de cartas 
b) De quantas formas essas cartas podem ser sorteadas de modo que as de copas sempre fiquem incluída? 
 
40. Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo 
listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida bandeira? 
 
41. Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10) que sejam menores que 500 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-
se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
42. De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição três cartas. Quantas são as extrações nas quais a 
primeira carta é de copas, a Segunda é um rei e a terceira não é uma rainha? 
 
43. O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”, as “letras” sendo ponto e traço. Quantas palavras existem no código 
morse? 
 
44. De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8 x 8) de modo que não haja duas torres na mesma 
linha nem na mesma coluna? 
 
45. De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de dois lugares cada, de modo que em cada banco fiquem um 
rapaz e uma moça? 
 
46. De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças? 
 
47. Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre estas 
faces? 
 
48. Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma resta R’ paralela a R. Quantos triângulos existem com vértices em três 
desses 13 pontos? 
 
49. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duasmulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? 
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50. Para a Copa do Mundo de 2006 foram convocados para a seleção brasileira de futebol 3 goleiros, 4 zagueiros, 8 meios de campo, 4 
laterais e 4 atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 2 zagueiros, 4 meios de campo, 2 laterais e 2 
atacantes, sabendo que o atacante Ronaldo e o meio de campo Kaká devem estar no time? 
 
51. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais , são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes? 
 
52. De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 10, valete, rainha, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, ouros, paus, 
espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. 
 
a) Quantas são as extrações possíveis? 
 
Quantas são as extrações nas quais se forma: 
 
b) um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em grupos diferentes)? 
c) dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro e uma em um terceiro grupo)? 
d) uma trinca (três cartas em um grupo e as outras duas em dois grupos diferentes)? 
e) um “four” (quatro cartas em um grupo e uma em um outro grupo)? 
f) um “full hand” (três cartas em um grupo e duas em outro grupo)? 
g) uma seqüência (cinco cartas de grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)? 
h) um “flush” (cinco cartas do mesmo naipe, não sendo elas de cinco grupos consecutivos)? 
i) um “straigth flush” (cinco cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe) 
j) um “royal straigth flush” (10, valete, rainha, rei e ás de um mesmo naipe)?