Dinámica de Fluidos Computacional

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1 
 
 
 
Dinámica de Fluidos 
Computacional 
Mecánica de los Fluidos III 
Prof. Armando Blanco Alvarez 
2 
Contenido 
Introducción 
Métodos en diferencias finitas: bases 
Métodos explícitos 
Métodos implícitos 
Mallas 
 
3 
Ecuaciones de Navier-Stokes 
Las ecuaciones que expresan la conservación de la 
cantidad de movimiento lineal, masa y energía, son, 
para un fluido newtoniano incompresible, en forma 
diferencial: 
donde la función de disipación es dada por: 
  BVpVV
t
V 

 







 2.
0. V

(1) 
(2) 
(3) 
 TK
Dt
DT
cp
2


































































222222
2
1
2
1
2
1
2
x
w
z
u
z
v
y
w
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u

(4) 
4 
Ecuaciones de Navier-Stokes 
Estas ecuaciones forman un sistema de EDP acopladas 
y, en consecuencia, muy pocas soluciones analíticas 
pueden ser obtenidas requiriéndose el uso de métodos 
numéricos. 
La Dinámica de Fluidos Computacional (DFC en 
castellano y CFD por Computational Fluid Dynamics 
en inglés) es la rama de la mecánica de fluidos que se 
encarga de la solución utilizando métodos numéricos de 
este tipo de ecuaciones. 
Entre los distintos métodos utilizados están los métodos 
en diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos 
finitos, amen de otras formulaciones en pleno 
desarrollo. 
En este curso estudiaremos la aplicación de métodos de 
diferencias finitas en problemas elementales de CFD. 
 
5 
Contenido 
Introducción 
Métodos en diferencias finitas: bases 
Métodos explícitos 
Métodos implícitos 
Mallas 
 
6 
Métodos de Diferencias Finitas 
Consideremos el flujo laminar no permanente de un 
fluido incompresible, de un fluido con densidad  y 
viscosidad  entre dos placas paralelas muy grandes 
separadas una distancia H. El fluido está inicialmente 
en reposo y súbitamente la placa inferior se desplaza 
con velocidad V0. 
 
 
 
 
Las ecuaciones de movimiento al suponer flujo laminar, 
con u=u(y,t), se reducen a: 
H , 
x 
y 
V0 
2
2
y
u
t
u






2
2
y
u
t
u





 (5) 
7 
Métodos de Diferencias Finitas 
Las condiciones iniciales y de frontera son: 
 
 
 
 
La ecuación 5 puede ser resuelta utilizando separación 
de variables y obtener: 
 
 
 
Esta solución exacta puede ser utilizada para evaluar 
los métodos implementados. 
);0( 0),(
);0( ),0(
;0)0,(
0



ttHyu
tVtyu
tyu
(6) 


















 

1
2
22
0 exp21
n H
tn
H
yn
sen
H
y
Vu

(7) 
8 
Métodos de Diferencias Finitas 
Para resolver numéricamente este flujo, escojamos el 
dominio espacial y temporal. Puesto que u=u(y,t), la 
solución es independiente de x. En consecuencia 
podemos discretizar un segmento, cuyos puntos cumplan 
con la condición x=cte, que va desde y=0 hasta y=H. 
 
 
 
 
 
En total, en J nodos, distribuidos uniformemente entre 
y=0 y y=H encontraremos una aproximación numérica a 
la solución. El nodo en y=0 corresponderá a j=1 y el nodo 
en y=H a j=J. Luego 1≤ j ≤ J. 
 
 
H 
x 
y 
9 
Métodos de Diferencias Finitas 
La separación espacial entre los nodos espaciales será: 
 
 
y, el nodo j tendrá entonces asociada la coordenada 
 
 
La discretización temporal se realizará en nodos 
temporales, entre t=0 y t=T. Escogemos N nodos, 
distribuidos uniformemente en el tiempo. El instante de 
tiempo t=0 corresponderá a n=0 y el instante t=T a 
n=N∆t. Luego 0≤ n ≤ N y 
 
 
  Jjyjy j ,...,3,2,1 1 
1

J
H
y
N
T
t  Nntnt n ,....,2,1,0 
10 
Métodos de Diferencias Finitas 
La discretización se ejemplifica como 
0
1


y
j
0 0  nt
y 
t 
1 1  ntt
2 2  ntt
NntNt  
yy
j

 2
yy
j


2
........ 3
yHy
Jj

 1
Hy
Jj


.
.
.
…… 
….... 
…… 
. 
…… 
. 
…… 
 
…… 
 
∆y 
∆t 
11 
Métodos de Diferencias Finitas 
La solución discretizada se escribirá entonces como: 
 
 
La base de los métodos en diferencias finitas es la 
utilización de expresiones algebraicas que aproximen la 
EDP por un conjunto de ecuaciones en diferencias finitas. 
Recordemos que podemos expresar la derivada de una 
función f en una variable utilizando aproximaciones 
basadas en desarrollos en series de Taylor. Así, 
tendremos que, si los nodos j-1, j y j+1 están separados 
por una distancia x, podemos escribir: 
 
 
 
 njnj tyuu ,
 xO
x
ff
dx
df jj
j








 1
(Hacia adelante) 
12 
Métodos de Diferencias Finitas 
Igualmente: 
 
 
 
 
 
 
Similarmente, la segunda derivada centrada se expresa 
como: 
 
 
 
 
 
 xO
x
ff
dx
df jj
j








 1
 211
2
xO
x
ff
dx
df jj
j








 
(Hacia atrás) 
(Centrada) 
 2
2
11
2
2 2
xO
x
fff
dx
fd jjj
j








 
(Centrada) 
13 
Contenido 
Introducción 
Métodos en diferencias finitas: bases 
Métodos explícitos 
Métodos implícitos 
Mallas 
 
14 
Métodos Explícitos 
En la ecuación (5) 
 
 
 
podemos aproximar, por ejemplo, cada diferencia como: 
 
 
 
2
2
y
u
t
u






 tO
t
uu
t
u
n
j
n
j
n
j











1
 2
2
11
2
2 2
yO
y
uuu
y
u
n
j
n
j
n
j
n
j










 
(Hacia adelante) 
(Centrada) 
15 
Métodos Explícitos 
Luego, sustituyendo en la ecuación (5) tendremos 
 
 
 
Esta aproximación es precisa en orden (∆t,∆y2). 
Reagrupando y despejando u(j,n+1) obtenemos: 
 
 
 
Definiendo 
 
 
 
2
11
1 2
y
uuu
t
uu nj
n
j
n
j
n
j
n
j




 


 njnjnjnjnj uuu
y
t
uu 112
1 2 
 


















2y
t
  
n
j
n
j
n
j
n
j uuuu 11
1 21 
  
16 
Métodos Explícitos 
Luego, la incógnita u(j,n+1) se obtiene utilizando los 
valores en el instante de tiempo anterior, tal como 
muestra la molécula de cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvamos el problema planteado. 
 
  nj
n
j
n
j
n
j uuuu 11
1 21 
  
n+1 
 
n 
j-1 j j+1 
a determinar 
conocidos 
17 
Métodos Explícitos 
Consideremos, por simplicidad, que el fluido tiene las 
siguientes propiedades: 
 
 
 
 
Las placas están separadas una distancia H=1m y 
discretizamos espacialmente con 11 nodos (∆y=0.1m), 
escogemos ∆t=0.002 s. Tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
smkg
mkg
./ 1
/ 1 3




sm / 1 2



 
2.0
1.0
002.0/1
2
2







m
ssxm

n
j
n
j
n
j
n
j uuuu 11
1 2.06.02.0 
 
18 
Métodos Explícitos 
0.02 1.00 0.63 0.33 0.14 0.05 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.018 1.00 0.61 0.31 0.12 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.016 1.00 0.59 0.28 0.10 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.014 1.00 0.56 0.25 0.08 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
T (seg) 0.012 1.00 0.54 0.21 0.06 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.01 1.00 0.50 0.18 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.008 1.00 0.46 0.13 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.006 1.00 0.40 0.09 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.004 1.00 0.32 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0.002 1.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
0 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 
y (m) 
Las velocidades para los primeros instantes de tiempo 
se presentan en la siguiente cuadrícula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Métodos Explícitos 
Invirtiendo los ejes tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
0.9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
0.8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0000.000 0.000 0.000 
0.7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
0.6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 
y(m) 0.5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.006 0.009 0.014 
0.4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.005 0.011 0.019 0.029 0.039 0.050 
0.3 0.000 0.000 0.000 0.008 0.022 0.041 0.061 0.082 0.102 0.123 0.142 
0.2 0.000 0.000 0.040 0.088 0.134 0.177 0.214 0.248 0.278 0.305 0.329 
0.1 0.000 0.200 0.320 0.400 0.458 0.501 0.536 0.565 0.588 0.609 0.626 
0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 
 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 
T(seg) 
20 
Métodos Explícitos 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y
(m
) 
 
u(m/s) 
t=0 s 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y
(m
) 
 
u(m/s) 
t=Dt 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y
(m
) 
 
u(m/s) 
t=2Dt 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y
(m
) 
 
u(m/s) 
t=3Dt 
21 
Métodos Explícitos 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
Métodos Explícitos 
Intentemos “acelerar” el cálculo. Para ello, hagamos 
∆t=0.004 s. Entonces 
 
 
 
 
El resultado se muestra a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.0
1.0
004.0/1
2
2







m
ssxm

n
j
n
j
n
j
n
j uuuu 11
1 4.02.04.0 
 
1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 
0.9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 
0.8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 
0.7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.004 0.008 0.012 
0.6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.009 0.016 0.025 0.034 
y(m) 0.5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.020 0.035 0.049 0.065 0.080 
0.4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.026 0.046 0.073 0.096 0.121 0.143 0.165 
0.3 0.000 0.000 0.000 0.064 0.102 0.148 0.184 0.219 0.249 0.276 0.301 
0.2 0.000 0.000 0.160 0.224 0.294 0.340 0.383 0.416 0.445 0.470 0.492 
0.1 0.000 0.400 0.480 0.560 0.602 0.638 0.664 0.686 0.703 0.719 0.732 
0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 
 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04 
t(seg) 
23 
Métodos Explícitos 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La gráfica luce muy parecida a la obtenida 
anteriormente con =0.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Métodos Explícitos 
Para =0.5 obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aun cuando la gráfica luce parecida a las obtenidas 
anteriormente con =0.2 y 0.4 algunas oscilaciones se 
observan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Métodos Explícitos 
Incrementemos =0.52 y =0.55 obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este resultado muestra una tendencia bastante distinta 
a los mostrados anteriormente. ¿Cuál será la razón? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Métodos Explícitos: Implementación MATLAB 
27 
Métodos Explícitos: Implementación MATLAB 
28 
Métodos Explícitos: Implementación MATLAB 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
u
y
29 
Contenido 
Introducción 
Métodos en diferencias finitas: bases 
Métodos explícitos 
Métodos implícitos 
Mallas 
 
30 
Métodos Implícitos 
Si en la ecuación (5) 
 
 
 
aproximamos, en t=(n+1)∆t, la diferencia temporal hacia 
atrás 
 
 
 
pero la espacial como: 
 
 
 
2
2
y
u
t
u






 tO
t
uu
t
u
n
j
n
j
n
j











 11
 2
2
1
1
11
1
1
2
2 2
yO
y
uuu
y
u
n
j
n
j
n
j
n
j
















(Hacia atrás) 
(Centrada) 
31 
Métodos Implícitos 
Luego, sustituyendo en la ecuación (5) tendremos 
 
 
 
Esta aproximación es precisa en orden (∆t,∆y2). 
Reagrupando obtenemos: 
 
 
Éste es el esquema implícito para esta EDP. La molécula 
de cálculo luce como: 
 
 
2
1
1
11
1
1 2
y
uuu
t
uu nj
n
j
n
j
n
j
n
j




 




  nj
n
j
n
j
n
j uuuu 




1
1
11
1 21 
n+1 
 
n 
j-1 j j+1 
a determinar 
conocidos 
32 
Métodos Implícitos 
A diferencia del método explícito, en el método implícito, 
un sistema de ecuaciones debe ser resuelto en cada instante 
de tiempo. Las ecuaciones se escriben para cada nodo: 
 
 
  
 
 
 
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
nnnn
nnnn
nn
uuJj
uuuuJj
uuuuJj
uuuuj
uuuuj
uuj






















1
1
11
1
1
2
2
1
1
1
2
1
3
3
1
4
1
3
1
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
1
 
21 1
213 2
.
.
.
 21 3
21 2
 1




  nj
n
j
n
j
n
j uuuu 




1
1
11
1 21 
Condición de borde y=0 
Condición de borde y=1 
33 
Métodos Implícitos 
Podemos escribir estas ecuaciones como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En forma matricial tendremos: 
 
 
donde la matriz A es dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
n
J
nnnn
nnnn
nn
uu
uuuu
uuuu
uuuu
uuuu
uu






















1
1
11
1
1
2
2
1
1
1
2
1
3
3
1
4
1
3
1
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
1
 
21 
 213 
.
.
.
 21 
 21
 




nn uAu 1
34 
Métodos Implícitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema debe resolverse a cada instante de tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





































1
21
21
21
21
1




A
35 
Métodos Implícitos 
Consideremos, el mismo caso anterior, en el que fluido 
tiene las siguientes propiedades: 
 
 
 
 
Las placas están separadas una distancia H=1m y 
discretizamos espacialmente con 11 nodos (∆y=0.1m), 
escogemos ∆t=0.0052 s. Tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
smkg
mkg
./ 1
/ 1 3




sm / 1 2



 
52.0
1.0
0052.0/1
2
2







m
ssxm

n
j
n
j
n
j
n
j uuuu 




1
1
11
1 52.004.252.0
36 
Métodos Implícitos 
La Matriz A es dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












































10000000000
52.004.252.000000000
052.004.252.00000000
0052.004.252.0000000
00052.004.252.000000
000052.004.252.00000
0000052.004.252.0000
00000052.004.252.000
000000052.004.252.00
0000000052.004.252.0
00000000001
A
37 
Métodos Implícitos 
Implantación MATLAB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
Métodos Implícitos 
Implantación MATLAB (continuación): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Métodos Implícitos 
Implantación MATLAB (continuación): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
u
y
40 
Métodos Implícitos 
Ambos tipos de métodos tienen ventajas y desventajas. 
Discutir las ventajas de cada uno.41 
Contenido 
Introducción 
Métodos en diferencias finitas: bases 
Métodos explícitos 
Métodos implícitos 
Mallas 
 
42 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
Mallas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
Dinámica de Fluidos 
Computacional 
Mecánica de los Fluidos III 
Prof. Armando Blanco Alvarez