Sejam as retas r : x − 4 2 = y 2 = z + 5 1 e s := ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = 2 λ y = 1 − λ , λ r e a l z = − 2 − 2 λ . O ponto de interseção entre as ...

Question

Sejam as  retas  r : x − 4 2 = y 2 = z + 5 1  e  s := ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = 2 λ y = 1 − λ , λ   r e a l z = − 2 − 2 λ  .   O ponto de interseção entre as retas é o ponto P (a. b, c). Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas e o valor do número p = (3a + 3b + 3 c), com a, b e c reais.

Ed · Answer

Para encontrar o ponto de interseção entre as retas, podemos igualar as equações paramétricas de r e s e resolver o sistema. Temos:

x - 4/2 = y - 1/2λ
y^2 = 1 - λ
z + 5 = -2 - 2λ

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

x - 4/2 = √(1 - y^2) - 1/2λ

Substituindo a terceira equação na primeira, temos:

x - 4/2 = -z - 7/2 + 2

Simplificando, temos:

x = -λ + 5
y = √(1 - λ)
z = -2 - 2λ

Substituindo esses valores na equação da reta r, temos:

(-λ + 5)^2 = 1 - λ
λ^2 - 12λ + 24 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

λ1 = 6 + 2√3
λ2 = 6 - 2√3

Substituindo λ1 e λ2 nas equações paramétricas de r e s, temos:

P1 = (3 + √3, √(1 - 6 - 2√3), -2 - 2(6 + 2√3))
P2 = (3 - √3, √(1 - 6 + 2√3), -2 - 2(6 - 2√3))

Simplificando, temos:

P1 = (3 + √3, -√(2√3 - 5), -14 - 4√3)
P2 = (3 - √3, -√(-2√3 - 5), -14 + 4√3)

Portanto, as retas se intersectam em dois pontos diferentes. Como as retas não são paralelas nem coincidentes, elas são concorrentes.

Para encontrar o valor de p, basta substituir as coordenadas do ponto de interseção na expressão de p:

p = 3(3 + √3) + 3(-√(2√3 - 5)) + 3(-14 - 4√3)
p = -9 - 3√3

Portanto, a alternativa correta é a letra D) As retas são concorrentes e p = -9 - 3√3.

Sejam as retas r : x − 4 2 = y 2 = z + 5 1 e s := ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = 2 λ y = 1 − λ , λ r e a l z = − 2 − 2 λ . O ponto de interseção entre as ...

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