Exerćıcio 02: Considere a superf́ıcie S dada por z = f(x, y) = √x2 + y2. Parametrize esta superf́ıcie e encontre a expressão do seu vetor normal ...

Para parametrizar a superfície S dada por z = f(x, y) = √x^2 + y^2, podemos utilizar coordenadas polares. Vamos substituir x e y por rcosθ e rsenθ, respectivamente. Portanto, a parametrização da superfície S é dada por: x = rcosθ y = rsenθ z = √(x^2 + y^2) = √(r^2cos^2θ + r^2sen^2θ) = √r^2(cos^2θ + sen^2θ) = r A expressão do vetor normal para qualquer ponto sobre a superfície S é dado por: N = (∂z/∂x) i + (∂z/∂y) j - k Calculando as derivadas parciais: ∂z/∂x = ∂(√x^2 + y^2)/∂x = ∂(√r^2cos^2θ + r^2sen^2θ)/∂x = ∂(r)/∂x = 0 ∂z/∂y = ∂(√x^2 + y^2)/∂y = ∂(√r^2cos^2θ + r^2sen^2θ)/∂y = ∂(r)/∂y = 0 Portanto, o vetor normal para qualquer ponto sobre a superfície S é dado por: N = 0 i + 0 j - k = -k O vetor normal é constante e aponta na direção oposta ao eixo z. Não existe nenhum ponto onde o vetor normal não está definido, pois ele é definido para todos os pontos da superfície S.