Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x2 – 2xy)i + (y2 – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábo...

Para calcular o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial ao percorrer um trajeto, podemos utilizar a fórmula: W = ∫ F · dr Onde F é o campo vetorial e dr é o vetor deslocamento ao longo do trajeto. Nesse caso, o campo vetorial é F(x,y) = (x^2 – 2xy)i + (y^2 – 2xy)j. O vetor deslocamento dr pode ser parametrizado pela parábola y = x^2, no sentido do crescimento das ordenadas. Assim, podemos escrever dr = dx i + (2x dx) j. Substituindo F e dr na fórmula do trabalho, temos: W = ∫ [(x^2 – 2xy) dx + (y^2 – 2xy)(2x dx)] Integrando em relação a x, considerando os limites de -1 a 1, obtemos: W = ∫[-x^3 + 2x^2y - 2xy^2 + 2x^2y - 4xy^2] dx Simplificando, temos: W = ∫[-x^3 + 4x^2y - 6xy^2] dx Integrando termo a termo, temos: W = [-x^4/4 + 4x^3y/3 - 3xy^2] de -1 a 1 Substituindo os limites de integração, temos: W = [-(1^4)/4 + 4(1^3)y/3 - 3(1)y^2] - [(-1^4)/4 + 4(-1^3)y/3 - 3(-1)y^2] Simplificando, temos: W = [-1/4 + 4/3y - 3y^2] - [1/4 - 4/3y + 3y^2] W = -1/4 + 4/3y - 3y^2 - 1/4 + 4/3y - 3y^2 W = -1/2 + 8/3y - 6y^2 Portanto, o trabalho realizado pela partícula no campo vetorial F(x,y) = (x^2 – 2xy)i + (y^2 – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C definido pela parábola y = x^2, do ponto (-1,1) ao ponto (1,1), no sentido do crescimento das ordenadas, é dado por -1/2 + 8/3y - 6y^2.