21. (FCC 2016/TRF 3ª Região) Cristiano e Rodolfo resolveram fazer investimentos ao mesmo tempo. Cristiano investiu um determinado valor em reais e ...

Vamos lá! Para resolver essa questão, precisamos utilizar a fórmula do montante, que é dada por: M = C * (1 + i)^t Onde: M = Montante C = Capital (valor investido) i = taxa de juros t = tempo Vamos começar calculando o montante do investimento de Cristiano: M_c = C * (1 + i_c)^t Sabemos que o investimento de Cristiano valorizou 75%, então a taxa de juros é de 0,75. Como não foi informado o tempo, vamos considerar que seja o mesmo para ambos os investimentos. Assim, temos: M_c = C * (1 + 0,75)^t M_c = C * 1,75^t Agora, vamos calcular o montante do investimento de Rodolfo: M_r = C * (1 + 0,4) * (1 + 0,6)^t M_r = C * 1,4 * 1,6^t M_r = C * 2,24^t Para descobrir em qual situação o montante total de Rodolfo é maior que o de Cristiano, precisamos comparar as duas expressões: C * 1,75^t < C * 2,24^t Dividindo ambos os lados por C * 1,75^t, temos: 1 < (2,24/1,75)^t 1 < 1,28^t Tomando logaritmo em ambos os lados, temos: log(1) < log(1,28^t) 0 < t * log(1,28) t > 0 Como o tempo é positivo, podemos afirmar que o montante total do investimento de Rodolfo é maior que o de Cristiano. Agora, precisamos descobrir em quanto porcento: M_r = C * 2,24^t M_c = C * 1,75^t M_r/M_c = (C * 2,24^t)/(C * 1,75^t) M_r/M_c = 2,24^t/1,75^t M_r/M_c = (2,24/1,75)^t M_r/M_c = 1,28^t Tomando logaritmo em ambos os lados, temos: log(M_r/M_c) = log(1,28^t) log(M_r/M_c) = t * log(1,28) t = log(M_r/M_c)/log(1,28) Substituindo pelos valores das alternativas, temos: (A) t = log(1,45)/log(1,28) = 1,98 (B) t = log(1,35)/log(1,28) = 1,47 (C) t = log(1,21)/log(1,28) = 0,67 (D) t = log(1,28)/log(1,28) = 1 (E) t = log(1,14)/log(1,28) = 0,22 Portanto, a alternativa correta é a letra (A), ou seja, o montante total do investimento de Rodolfo é maior que o de Cristiano em 45%.