Questão 5/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:

"Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, c...

Question

Questão 5/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:

"Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral:

I
=
∫
x
d
x
6
√
x
2
+
2
".

Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovani Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 150

Considerando as discussões realizadas na Videoaula 1 - Método da Substituição da Aula 02 - Técnicas de Integração - Método da Substituição, assinale a alternativa que apresenta o resultado do valor da integral 
I
.

A	 
2
5
4
√
(
x
2
+
2
)
3
+
C
 
	B	
1
5
3
√
(
x
2
+
2
)
2
+
C
	C	
3
5
6
√
(
x
2
+
2
)
5
+
C
	D	
2
5
5
√
(
x
2
+
2
)
4
+
C
	E	
3
5
5
√
x
2
+
2
)
3
+
C

Ed · Answer

Para resolver essa integral utilizando o método da substituição, é necessário fazer a substituição u = x² + 2.

Assim, temos que du/dx = 2x, o que implica em dx = du/2x. Substituindo na integral, temos:

I = ∫ dx/(6√(x²+2)) = ∫ du/(12u^(1/2))

Agora, basta integrar u^(1/2) e multiplicar por 1/12:

I = (1/6)∫ du/u^(1/2) = (1/6) * 2u^(1/2) + C = (1/3)(x²+2)^(1/2) + C

Portanto, a alternativa correta é a letra A: 2/5(4√(x²+2))^3 + C.

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