28- (1984-1) Obtenha a solução geral da equação y′′ + y = cscx, 0 < x < π.

Para resolver essa equação diferencial homogênea, primeiro encontramos a equação característica: r² + 1 = 0 r² = -1 r = ± i Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Podemos tentar uma solução particular na forma de y_p(x) = A cos(x) + B sin(x). y_p'(x) = -A sin(x) + B cos(x) y_p''(x) = -A cos(x) - B sin(x) Substituindo na equação original, temos: -A cos(x) - B sin(x) + A cos(x) + B sin(x) = csc(x) Simplificando, temos: -A sin(x) = csc(x) Multiplicando ambos os lados por -sin(x), temos: A = -sin(x) * csc(x) = -1 / cos(x) Portanto, uma solução particular é: y_p(x) = -cos(x) / cos(x) = -1 A solução geral da equação diferencial não homogênea é: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) - 1