Sejam −→u,−→v vetores L.I. Prove que o vetor ‖−→u‖.−→v + ‖−→v‖.−→u está contido na bissetriz do ângulo formado por u e v.

Para provar que o vetor ‖−→u‖.−→v + ‖−→v‖.−→u está contido na bissetriz do ângulo formado por u e v, precisamos mostrar que esse vetor é perpendicular à reta que passa pela origem e divide o ângulo formado por u e v em duas partes iguais. Podemos começar calculando o produto escalar entre o vetor ‖−→u‖.−→v e o vetor ‖−→v‖.−→u: (‖−→u‖.−→v) . (‖−→v‖.−→u) = (‖−→u‖)(‖−→v‖)(−→v . −→u) + (‖−→u‖)(‖−→v‖)(−→u . −→v) = −(‖−→u‖)(‖−→v‖)(−→u . −→v) + (‖−→u‖)(‖−→v‖)(−→u . −→v) = 0 Como o produto escalar entre os dois vetores é zero, eles são perpendiculares. Portanto, o vetor ‖−→u‖.−→v + ‖−→v‖.−→u está contido na bissetriz do ângulo formado por u e v.