Considere os vetores −→u = ⟨−2, 1, 2⟩ e −→v = ⟨1,−2,−2⟩. Usando o produto interno, determine os vetores −→w com ||−→w || = 1 tais que −→w seja orto...

Question

Considere os vetores −→u = ⟨−2, 1, 2⟩ e −→v = ⟨1,−2,−2⟩. Usando o produto interno, determine os vetores −→w com ||−→w || = 1 tais que −→w seja ortogonal a −→u e ortogonal a −→v simultaneamente.
Solução: Seja −→w = ⟨a, b, c⟩. Como −→w é ortogonal a −→u , então temos
−→u · −→w = 0 ⇒ −2a+ b+ 2c = 0.
Da mesma forma, como −→w é ortogonal a −→v , então
−→v · −→w = 0 ⇒ a− 2b− 2c = 0.
Podemos operar as duas equações lineares obtidas como a seguir:{−2a+ b+ 2c = 0
a− 2b− 2c = 0
⇒ b = −a, c = (3/2)a.
Logo o vetor −→w é da forma −→w = ⟨a,−a, (3/2)a⟩. Mas sabemos ||−→w ||2 = 1, logo
a2 + (−a)2 + [(3/2)a]2 = 1 ⇒ 17 4 a2 = 1 ⇒ a = ±2 17 .
Concluímos então que
w = ⟨2 √ 17 17 ,−2 √ 17 17 , 3 √ 17 17 ⟩ ou w = ⟨−2 √ 17 17 ,+ 2 √ 17 17 ,−3 √ 17 17 ⟩.

Ed · Answer

O problema pede para encontrar um vetor w que seja ortogonal aos vetores u e v, simultaneamente, e que tenha norma igual a 1.

Para isso, usamos o produto interno. Sabemos que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é igual a zero. Assim, temos:

u . w = (-2a + b + 2c) = 0
v . w = (a - 2b - 2c) = 0

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos que b = -a e c = (3/2)a. Portanto, o vetor w é da forma w = (a, -a, (3/2)a).

Como a norma de w é igual a 1, temos:

||w||² = a² + (-a)² + (3/2)a² = 1
17/4 a² = 1
a² = 4/17

Assim, temos duas soluções possíveis para w:

w1 = (2√17/17, -2√17/17, 3√17/17)
w2 = (-2√17/17, 2√17/17, -3√17/17)

Portanto, os vetores w que satisfazem as condições do problema são w1 e w2.

Considere os vetores −→u = ⟨−2, 1, 2⟩ e −→v = ⟨1,−2,−2⟩. Usando o produto interno, determine os vetores −→w com ||−→w || = 1 tais que −→w seja orto...

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