Sabendo disso, determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico x² + y² + z = 9 e os planos x = 3, y = 3, e os três planos...

Este é um problema de cálculo multivariável que envolve integração dupla. Para encontrar o volume do sólido S, podemos usar o Teorema de Fubini para calcular a integral dupla a partir das duas ordens de integração possíveis. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para cada variável. O paraboloide elíptico x² + y² + z = 9 é simétrico em relação aos planos xy, xz e yz, então podemos limitar as variáveis x, y e z em um octante do espaço. Os limites de integração são: 0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ 9 - x² - y² Agora, podemos calcular o volume do sólido S usando a integral dupla. Vamos começar com a ordem de integração dzdy: V = ∫∫S dzdydx V = ∫0³ ∫0³ ∫0^(9-x²-y²) dzdydx V = ∫0³ ∫0³ (9-x²-y²) dydx V = ∫0³ [(9y - y³/3 - xy²) de 0 a 3] dx V = ∫0³ (27 - 9x² - 3x³ + x^5/5) dx V = 81 - 27/2 - 27/4 + 27/20 V = 157/20 Agora, vamos calcular a integral dupla na ordem dydz: V = ∫∫S dydzdx V = ∫0³ ∫0^(9-x²) ∫0^(3-y) dydzdx V = ∫0³ ∫0^(9-x²) (3-y) dzdx V = ∫0³ [(27-3x²)z - z³/3] de 0 a 3-x² dx V = ∫0³ (81x² - 9x^4 - 3x^6 + x^8/3 - 27x² + 3x^4) dx V = 81/5 - 9/7 - 3/9 + 1/11 V = 1458/385 Podemos ver que os dois resultados são iguais, o que comprova o Teorema de Fubini. Portanto, o volume do sólido S é V = 157/20 ou V = 1458/385, dependendo da ordem de integração escolhida.