A transformada de Laplace de funções periódicas pode ser usada para resolver equações diferenciais envolvendo funções que se repetem com um período...

A transformada de Laplace de funções periódicas pode ser usada para resolver equações diferenciais envolvendo funções que se repetem com um período fixo. A fórmula geral para a transformada de Laplace de uma função periódica g(t) com período T é dada por L left curly bracket g left parenthesis t right parenthesis right curly bracket equals left parenthesis 1 divided by T right parenthesis L g left curly bracket left parenthesis t divided by T right parenthesis right curly bracket space spaceo uL left curly bracket g left parenthesis t right parenthesis left curly bracket equals left parenthesis 1 divided by s right parenthesis left parenthesis L left curly bracket g left parenthesis t divided by T right parenthesis right curly bracket minus g left parenthesis 0 right parenthesis right parenthesis plus g left parenthesis 0 right parenthesis divided by s onde L{g(t)} é a transformada de Laplace da função g(t) e L{g(t/T)} é a transformada de Laplace da função g(t/T) e T é o período da função. Essa fórmula é útil para simplificar o processo de resolução de equações diferenciais com funções periódicas. Considere a função periódica h(t) = sin(ωt), onde ω é uma constante positiva e o período é T = 2π/ω. Utilize a transformada de Laplace e as seguintes asserções para determinar H(s), a transformada de Laplace de h(t): I) A transformada de Laplace de sin(ωt) é omega divided by left parenthesis s squared plus omega squared right parenthesis II) A função h(t) é periódica com período T = 2π/ω III) A transformada de Laplace de uma função periódica g(t) com período T éL left curly bracket g left parenthesis t right parenthesis right curly bracket equals fraction numerator 1 over denominator 1 minus e to the power of negative T s end exponent end fraction integral subscript 0 superscript T e to the power of negative s t end exponent g left parenthesis t right parenthesis d t IV) A transformada de Laplace de h(t) é H left parenthesis s right parenthesis equals fraction numerator left parenthesis 1 minus e to the