O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradom...

Question

O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).

I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).

Assinale a alternativa CORRETA:

a) As opções I e III estão corretas.
b) As opções II e IV estão corretas.
c) As opções I e IV estão corretas.
d) As opções II e III estão corretas.

Ed · Answer

Para determinar quais vetores pertencem ao núcleo da transformação $ T(x,y) = (x-y, y-x) $, precisamos encontrar os vetores $ (x, y) $ que ao serem aplicados na transformação resultam em $ (0, 0) $.

Vamos verificar cada opção:

I- Para $ v = (1,1) $:
$ T(1,1) = (1-1, 1-1) = (0,0) $ - Correto.

II- Para $ v = (0,1) $:
$ T(0,1) = (0-1, 1-0) = (-1,1) \neq (0,0) $ - Incorreto.

III- Para $ v = (-2,-2) $:
$ T(-2,-2) = (-2+2, -2+2) = (0,0) $ - Correto.

IV- Para $ v = (1,0) $:
$ T(1,0) = (1-0, 0-1) = (1,-1) \neq (0,0) $ - Incorreto.

Portanto, as opções corretas são I e III. Logo, a alternativa correta é:

a) As opções I e III estão corretas.

O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradom...

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