translação de eixos

Vamos determinar um sistema de coordenadas translacionado em relação ao tradicional de forma que as equações de reta dadas não possuam o termo constante, isto é, queremos um sistema de coordenadas cuja origem é \((x_0,y_0)\) e as esquações

\(y=2x-1\\ x+3y=11\)

se transformem em:

\(y=2x\\ x+3y=0\)

Para isso, lembre-se que ao translacionarmos, devemos substituir as variáveis da seguinte forma:

\((x,y)\rightarrow(x-x_0,y-y_0)\)

Substituindo essas transformações nas equações das retas originais, temos:

\(y-y_0=2(x-x_0)-1\\ (x-x_0)+3(y-y_0)=11\)

Desenvolvendo-as, temos:

\(y=2x+y_0-2x_0-1\\ x+3y=11+x_0+3y_0\)

Como não queremos termos constantes, temos:

\(y_0-2x_0-1=0\\ 11+x_0+3y_0=0\)

Isolando \(y_0\) na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

\(11+x_0+3(2x_0+1)=0\Rightarrow x_0=-2\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(y_0=2x_0+1=-3\)

Temos, portanto, que a origem do sistema de coordenadas procurado deve ser:

\(\boxed{(x_0,y_0)=(-2,-3)}\)

nao