Qual é o algarismo das dezenas da soma 7+77+777+7777+.....+777...77+777...777?

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Perceba que para determinar as dezenas, não precisamos fazer a conta com todos os dígitos, podemos determinar apenas o resto da divisão do resultado por \(100\), mas como fazer isso sem de fato determinar o resultado? É o que veremos.

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Vamos reescrever a soma:

\[x = 7+77+777+7777+\cdots+777\dots77+777\dots777\]

\[x = 7+77+(700+77)+(7700+77)+\cdots+(777\dots00+77)+(777\dots700+77)\]

Considerando que o último número tenha \(n\) dígitos \(7\), ele também é o número \(n\) da sequência, de forma que podemos representar a soma da seguinte forma:

\[x=7+77(n-1)+(7+77+\left.777\dots\right.+777\dots7)\cdot100\]

Ao calcularmos o resto da divisão por \(100\) dos dois lados, ficamos com:

\[x\equiv7+77(n-1)\ (mod\ 100)\]

\[x\equiv7\cdot(11n-10)\ (mod\ 100)\]

Vamos agora verificar como essa sequência se comporta:

\[(7,84,161\equiv61,238\equiv38,315\equiv15,392\equiv92,469\equiv69,546\equiv46,623\equiv23,700\equiv0,777\equiv77,854\equiv54\dots)\]

Cuja sequência de dezenas é:

\[(0,8,6,3,1,9,6,4,2,0,7,5\dots)\]

Pelo visto não há uma fórmula fechada para a sequência.

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Concluímos, portanto, que os dois últimos dígitos do resultado são:

\[\boxed{x\equiv7\cdot(11n-10)\ (mod\ 100)}\]

Sendo \(n\) o número de dígitos do último número.