(UERJ 2016) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes...

Sabemos que a área de um círculo é dada por \(\pi r^2\). Onde \(\pi\) vale aproximadamente 3,14 e \(r\) é o raio do círculo.

Também sabemos que a distância entre o ponto \(C_1\) e \(C_2\) mede 6 cm e que é justamente o raio de ambos os círculos, então:

\(A=\pi r^2=3,14\cdot6^2=3,14\cdot36=113,04 \hspace{0,1cm}cm^2\)

Porém, queremos encontrar não apenas a área do círculo, mas de toda a região limitada pelos círculos.

A área da região limitada pelos círculos será dada por:

\(A_t=A_{C_1}+A_{C_2}-A_I\)

Onde \(A_{C_1}\) é a área do círculo 1, \(A_{C_2}\) é a  área do círculo 2 e \(A_I\) é a área da intersecção.

Começaremos encontrando o ângulo \(\alpha\).

Sabendo que a distância entre C1 e R mede 3 cm e que a distância entre C1 e P mede 6 cm, então:

\(\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{CatAdj}{hip}\rightarrow cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3}{6}\rightarrow \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\rightarrow \arccos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=60\)

Se \(\dfrac{\alpha}{2}=60\), isto implica que \(\alpha=120\).

Para encontrar a área da intersecção entre os círculos, basta observar que o setor circular é justamente a terça parte do círculo e que a metade da intersecção é obtida com a subtração da área do triângulo \(C_1QP\) do setor circular . 

\(A_I=\dfrac{\pi r^2}{3}-A_{\Delta}\)

Para encontrar a área do triangulo, devemos encontrar a distância entre P e Q e sabemos que a mesma vale o dobro de x.

Usando Pitágoras no triangulo \(C_1QP\), encontramos facilmente que \(x=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)

Então:

\(A_{\Delta}=\dfrac{B\cdot h}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}\cdot 3}{2}=9\sqrt{3} \hspace{0,1 cm} cm^2\)

Encontrando a área da intersecção:

\(A_I=2\cdot\left(\dfrac{\pi r^2}{3}-A_{\Delta}\right)=2\cdot\left(\dfrac{3,14\cdot6^2}{3}-9\sqrt{3}\right)=2\cdot\left(12\cdot3,14-9\sqrt{3}\right)=2\cdot22,09=44,18\hspace{0,1 cm}cm^2\)

E por fim:

\(A_t=A_{C_1}+A_{C_2}-A_I=\pi r^2+\pi r^2-44,18=2\cdot\pi r^2-44,18=2\cdot3,14\cdot6^2-44,18=181,9\hspace{0,1 cm} cm^2\)

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

A área limitada pelos círculos corresponde à área de dois círculos subtraindo a área da região de intersecção.

Como os círculos possuem raio de 6cm, equivalente à distância entre C1 e C2, temos a área dos dois círculos, que é 2 x  x 6² = 72 cm²

A região de intersecção corresponde aos dois segmentos circulares. Cada segmento é associado a um setor circular de 120°, o que corresponde a um triângulo isósceles de lados congruentes iguais de 6cm, com ângulo de 120° entre eles, conforme a figura abaixo.

De posse desses dados, podemos calcular a área de intersecção:

2 . (A_setor - A_triângulo) = 

A área total equivale a:

72 - (24 -  = 
= 48 +  ≈ 48 . 3,13 + 18 . 1,7 =
= 150,72 + 30,6 = 
= 181,32 ≈ 182 cm² (letra C)