Ava - Subst 1 - Cálculo Diferencial e Integral III

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1)
Para o cálculo de volumes de regiões tridimensionais, um dos recursos que podemos empregar é a integral tripla, desde que possamos representar corretamente a região e indicar os limites de integração correspondentes.
Seja o sólido tridimensional limitado superiormente pelo paraboloide ao longo do eixo z de equação:
z = 9 - x² - y²
e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0.
Qual é o volume do sólido apresentado?
Alternativas:
a)
9/2.
b)
4π.
c)
8π.
d)Alternativa assinalada
81π/4.
e)
81π/2.
2)
Dada uma região multidimensional, se calcularmos a integral múltipla correspondente da função densidade, podemos identificar a massa associada e, empregando esse resultado em conjunto com outras integrais, podemos ainda identificar o centro de massa da região.
Nesse contexto, considere o sólido S delimitado superiormente pelo plano de equação x + 2y – 2z + 20 = 0, inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = 0, e limitado na região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.
Qual é a massa desse sólido S, sabendo que a função densidade associada é ρ(x,y,z) = x?
Alternativas:
a)Alternativa assinalada
34/3.
b)
13.
c)
25/2.
d)
20/3.
e)
18.
3)
A um conjunto de pontos do espaço cartesiano que atendem a uma equação da forma f(x,y,z)=0, com f uma função contínua, damos o nome de superfície. De acordo com o perfil da função f, a superfície pode assumir múltiplos formatos.
Associado a uma superfície, podemos construir diversas estruturas, como é o caso dos planos tangentes.
Para a superfície z = 2x - y², assinale a alternativa que indica a equação do plano tangente passando pelo ponto (1, 1, 1):
Alternativas:
a)
2x + 2y - z - 1 = 0.
b)Alternativa assinalada
2x - 2y - z + 1 = 0.
c)
2x - 2y + z + 3 = 0.
d)
x - y = 0.
e)
x + 2y - z + 5 = 0.
4)
O cálculo das integrais triplas é feito em regiões tridimensionais, considerando variações para x, y e z. Dependendo da estrutura da região, podemos utilizar coordenadas cartesianas ou alterar para coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Seja a função de três variáveis:
f(x,y,z) = 3x + 4y - z
Calcule a integral tripla de f na região R = [0,1] x [0, 4] x [-1, 2], e assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Alternativas:
a)
72.
b)
96.
c)Alternativa assinalada
108. 
d)
112.
e)
138.
5)
Suponha que um reservatório de água tem o formato de um cilindro, conforme a equação x² + y² = 25, sendo sua base localizada no plano xy (z = 0) e todas as dimensões medidas em metros. Foi colocada uma tampa na parte superior desse reservatório, a qual corresponde à região de interseção entre o cilindro e o plano x + y + 4z = 36.
Qual é a capacidade desse reservatório, em metros cúbicos, após a colocação da tampa?
Alternativas:
a)
10π.
b)
125π/2.
c)
125π.
d)Alternativa assinalada
225π/2
e)
225π.