Aula 8

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Instituto Superior Dom Bosco ISDB
Mecânica 
dos
Sólidos 
CMateus
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TÓPICO 5
ANÁLISE DE 
ESTRUTURAS
(AULA 8)
INTRODUCÃ0
Os problemas estudados nos capítulos
anteriores diziam respeito ao equilíbrio de um
unico corpo rígido, e todas as forças
consideradas consideradas eram externas ao
corpo rígido. Consideremos, agora, problemas
tratando do equilíbrio de estruturas compostas
de várias partes interligadas.
INTRODUCÃ0 – (CONT)
Esses problemas tratam não penas da
determinação das forças externas que agem
sobre a estrutura, mas também da
determinação das forças que mantêm unidas
várias partes da estrutura. Do ponto de vista
da estrutura como um todo, essas forças são
forças internas.
TRELIÇAS
Definição: 
Estruturas reticuladas cujas barras estão
ligadas entre si nas suas extremidades por
rotulas ou articulações (nós articulados) e
com o exterior por apoios, designam-se por
treliças.
As treliças são sistemas práticos e
económicos de sustenção, por isso são
muito correntes em engenharia civil: suporte
de uma cobertura, pontes, sistemas de
transporte para energia eléctrica, etc.
TRELIÇAS – (CONPONENTES)
Número de Incógnitas: 
número de barras (b) + número de reações (r)
Número de equações: (para cada nó n)
b + r = 2 n : Estaticamente Determinada 
(Treliça isostática)
b + r > 2 n : Estaticamente Indeterminada 
(Treliça hiperestática)
b + r < 2 n : Treliça Instável (Treliça hipostática)
CASSIFACAÇÀO QUANTO A SUA DETERMINAÇÃO
ESTÁTICA (GRAU DE INDETERMINAÇÃO)








0
0
y
x
F
F
CASSIFACAÇÀO QUANTO A CONDIÇÃO DE 
DEFORMAÇÃO DA ESTRUTURA
Para garantir que a estrutura seja geometricamente 
indeformável tem que existir uma relação para entre o 
numero dos nós,n, barras, b, e reacções de apoios, r.
2 n = b + r → Indeformáveis
2 n > b + r → Deformáveis
2 n < b + r → Indeformáveis
CASSIFACAÇÀO QUANTO A CONDIÇÃO DE 
DEFORMAÇÃO DA ESTRUTURA
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A LEI DE FORMAÇÃO
A treliça é simples se poder ser obtida a partir de configurações
indeformáveis pela adição de duas barras partindo de nós
já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas
novas barras)
TRELIÇA SIMPLES
CLASSIFICACAO QUANTO A LEI DE FORMACAO
TRELIÇAS COMPOSTAS
treliça é composta quando for formada por duas treliças simples
ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou 
paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não
concorre no nó citado.
A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de 
duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços 
nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins 
de cálculo estático.
CLASSIFICACAO QUANTO A LEI DE FORMACAO
EXEMPLO DE TRELIÇAS COMPOSTAS
CLASSIFICACAO QUANTO A LEI DE FORMACAO
Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, 
quando não é simples nem composta. Observe que não 
podemos afirmar se ela é isostática pela simples análise
de b + r = 2 n que é uma condição necessária mas não
suficiente para garantir a isostaticidade.
EXEMPLO DE TRECIÇA COMPLEXA
TRECIÇA COMPLEXA
METODOS DE RESOLUCAO DAS TRELICAS 
ISOSTATICAS SIMPLES
0 cálculo dos esforços normais nas barras de uma treliça 
isostática simples pode ser feito de três maneiras:
-Método dos nós
- Método de Ritter ou das seções
-Método de Cremona
No curso vamos nos ater aos dois primeiros métodos , já que 
o método de Cremona, por ser um método gráfico está em 
desuso com a aplicação da mecanização dos cálculos 
(informática).
CALCULO DOS ESFORCOS NORMAIS NAS BARRAS 
PELO METODO DE NÓS
É o método natural de resolução que consiste em se estudar 
o equilíbrio de cada nó isolado.
Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam 
apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 
barras). Aplicamos as equações de equilíbrio estático:
Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem 
determinadas (2 incógnitas), 2 equações não bastam para a 
solução do sistema.








0
0
y
x
F
F
CALCULO DOS ESFORCOS NORMAIS NAS BARRAS 
PELO METODO DE NÓS
ROTEIRO:
1 - Cálculo das reações externas (se necessário)
2 - Escolha do 1° nó à ser examinado
3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido
4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre 
com o cuidado de verificar se ela tem apenas duas incógnitas 
(2 barras à serem determinadas)
OBS: Este método apresenta o problema de acumular os 
erros de cálculos que por
acaso forem cometidos.
CALCULO DOS ESFORCOS NORMAIS USANDO O 
METODO DE RITTER (METODO DAS SECCOES)
Vimos que pelo método dos nós, devemos seguir uma 
Ordem de cálculo e Calculamos os esforços em todas as 
barras de uma treliça.
O método de Ritter permite que se calcule os esforços 
normais apenas em algumas barras que possam nos 
interessar.
1 -Calculo das reações externas se necessário
2 - Cortar a treliça por seções de Ritter que devem:
CALCULO DOS ESFORCOS NORMAIS USANDO O 
METODO DE RITTER (METODO DAS SECCOES)
2 - Cortar a treliça por seções de Ritter que devem:
a. Atravessar toda a treliça dividindo-a em 2 partes
b. Interceptar no máximo 3 barras que não sejam ao mesmo 
tempo paralelas ou concorrentes( Os esforços normais destas
barras serão os calculados)
c. Cortada a treliça em duas partes, substitui-se a parte 
retirada pelos esforços normais desenvolvidos pelas barras 
cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as 
partes ficam em equilíbrio.
CALCULO DOS ESFORCOS NORMAIS USANDO O 
METODO DE RITTER (METODO DAS SECCOES)
d. Os esforços normais serão encontrados pelo equilíbrio
das partes, podendo-se dispor além das equações 
fundamentais de equilíbrio estático, da condição de nó 
onde a soma dos momentos em qualquer nó da treliça deve
ser zero, pois rótulas não absorvem momento.
OBS: Este método acrescenta mais condições as já 
conhecidas e usamos as condições que nos parecerem 
mais convenientes, e podemos facilmente mesclarmos
os dois métodos.
Quadros e máquinas são 
estruturas que contêm 
membros multiforce, ou seja, 
membros influenciados por três 
ou mais forças. Os quadros 
são projetados para suportar 
cargas e são geralmente fixos, 
estruturas totalmente restrito.
A B C D
M
As máquinas são projetadas para transmitir ou modificar as 
forças e sempre contêm partes móveis.
MAQUINAS E ESTRUTURAS
Para analisar um quadro,
primeiro consideramos todo o
quadro como um corpo livre e
escrever três equilíbrio
equações. Se o quadro
permanece rígido quando
separado de seus suportes,
as reações envolvem apenas
três incógnitas e podem
ser determinadas a partir destas
equações. Por outro lado, se o quadro deixa de ser rígido 
quando separado a partir dos seus suportes, as reacções podem 
envolver mais do que três incógnitas e não podem ser 
completamente determinadas a partir das equações de equilíbrio 
da moldura.
A B C D
M
Ey
Ex
Dy
Dx
Nós desenhamos o diagrama de corpo livre de cada um os
membros multiforce, notando que, quando dois membros
multiforce estão ligados à dois membros de força mesmo,
elas são postas em prática por esse membro com forças
iguais e opostas de magnitude desconhecida, mas direção
conhecida. Quando dois membros multiforce estão ligadospor um pino, que exercem sobre cada outras forças iguais e
opostas de direcção desconhecida, que deve ser
representada por dois componentes
desconhecidos.Desfazer edições
Então desmembrar o quadro e identificar seus membros como qualquer uma 
das duas forças-membros ou aos membros multiforce; pinos são assumidos 
como parte integrante de um dos membros se conectam.
A
B
C D
M
Ey
Ex
Dy
Dx
B
B
B
As equações de equilíbrio obtidos a partir do corpo livre
diagramas dos membros multiforce pode então ser
resolvido para as várias forças internas. As equações de
equilíbrio também pode ser utilizado para completar a
determinação do reacções nos apoios. Na verdade, se o
quadro é estaticamente determinado e rígido, os
diagramas de corpo livre dos membros multiforce
poderia fornecer tantas equações como existem forças
desconhecidas. No entanto, como sugerido acima, é
aconselhável primeiro considerar o diagrama de corpo
livre de todo o quadro para minimizar o número de
equações que devem ser resolvidos simultaneamente.
Para analisar uma máquina de, nós desmembrar-lo e, seguindo
o mesmo procedimento que para o quadro, desenhar o
diagrama de corpo livre de cada um dos membros multiforce. O
equilíbrio correspondente equações produzir as forças exercidas
pela saída da máquina no termos da entrada forças aplicadas a
ele, bem como a interno forças em várias conexões. Desfazer
edições
MUITO 
OBRIGADO
PROBLEMA 1Ex
Calcule as reacções de apoio e as forças normais nas barras
através do Método dos Nós.
PROBLEMA 2Ex
Calcule as reacções de apoio e as forças normais nas barras
BC, BF e AF através do Método de Ritter.
HE =0kN
VE =100kN
VA =100kN
C
F
BCF
BFF
AFF
2 – Compor as equações de equilíbrio
  0yF
045cos50  ABF VF 
kN
V
F A
BF 7,70
45cos
50100
45cos
50






  0FM
022´250  BCA FV
kN
V
F A
BC 50
2
2´250



  0XF
045  AFBFBC FsenFF 
45senFFF BFBCAF 
50)50(457,70)50(  senFAF
PROBLEMA 3Ex
Determine as componentes horizontal e vertical da força que 
o pino em C exerce no elemento CB da estrutura mostrada.
PROBLEMA 3Ex
PROBLEMA 4 (6.4)
Usando o método dos nós, determine a força em cada
elemento da treliça mostrada na figura. Indique se cada
elemento está sob tração ou sob compressão.
PROBLEMA 6 (6.83)
Determine os componentes das reacções em A e E quando 
uma força de 750 N direcionada verticalmente para baixo é 
aplicada (a) em B, e (b) em D.