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1 Instituto Superior Dom Bosco ISDB Mecânica dos Sólidos CMateus https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiUsuW-iurUAhVCbrwKHUpVAewQjRwIBw&url=https://www.dreamstime.com/stock-illustration-service-icon-wrench-key-gear-sign-cogwheel-circle-star-speech-bubble-square-buttons-award-medal-check-mark-thank-you-image59705078&psig=AFQjCNH2muAgtLVjTTIWSjeEGR_IiOn6bQ&ust=1499067095354053 https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiUsuW-iurUAhVCbrwKHUpVAewQjRwIBw&url=https://www.dreamstime.com/stock-illustration-service-icon-wrench-key-gear-sign-cogwheel-circle-star-speech-bubble-square-buttons-award-medal-check-mark-thank-you-image59705078&psig=AFQjCNH2muAgtLVjTTIWSjeEGR_IiOn6bQ&ust=1499067095354053 2 EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS VÍNCULOS (Aula 6) TÓPICO 4 3 A acção que restringe o movimento de um corpo Vínculo O que é um VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES As acções ou reacções se transmitem de corpo a corpo através de vínculos Os vínculos determinam as forças reactivas ou reacções. Reacções Só há reacção quando há um movimento impedido 4 A P H R = - P A F H R = - F B B H F A B A parede vertical B não oferece reacção sobre o corpo A A parede vertical B oferece uma reacção horizontal igual e contrária à acção de F O plano H sempre ofereceu uma reacção vertical igual e contrária ao acção do peso P EXEMPLOS SIMPLES DE ACÇÃO E REACÇÃO 5 Na técnica os vínculos são chamados apoios e transmissões ou ligações, conforme a sua situação relativa na estrutura que se estuda. Apoio Ligação ou Transmissão Quando o vínculo é exterior à estrutura Quando o vínculo está contido na estrutura VÍNCULO VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES 6 F F M1 M v b c a b a EXEMPLOS M e M1 – estão unidos por – V; V – é uma ligação MVM1e F – estão unidos por uma soldadura em a; a - é uma ligação C – é apoio em relação a toda estrutura. 7 A acção de um sistema de forças qualquer sobre um ponto é a mesma que a de sua resultante e do seu momento resultante em relação ao ponto considerado. A resultante tende a dar uma translação ao longo de um eixo, passando pelo ponto, e o momento resultante uma rotação em torno de um eixo, passando pelo ponto. Para exprimir comodamente esse facto, diremos que a translação é a resultante de 3 translações segundo três eixos ortogonais e a rotação, a resultante de 3 rotações segundo esses mesmos eixos. VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES 8 Um corpo no espaço tem 6 graus de liberdade: • 3 de translação e; • 3 de rotação. Z X Y Rx Ry O Rz R VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES 9 CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS Este tipo de vínculo, impede somente um único movimento, deixando livres os restantes 5. Z Y X Esfera X Y Z Superfície polida RZ X Y Uma componentes de força 1. VÍNCULOS COM 5 GRAUS DE LIBERTDADE 10 2. VÍNCULOS COM 4 GRAUS DE LIBERTDADE Este tipo de vínculo, impede dois movimentos, deixando livres os restantes 4. Y Z X Y Z X Rolete sobre superfície rugosa Roda sobre trilho Duas componentes de força Rz Ry CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS 11 3. VÍNCULOS COM 3 GRAUS DE LIBERTDADE Este tipo de vínculo, impede três movimentos, deixando livres os restantes 3. X Y Z Superfície rugosa RY RX RZ Três componentes de força CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS 12 4. VÍNCULOS COM 2 GRAUS DE LIBERTDADE Este tipo de vínculo, impede quatro movimentos, deixando livres os restantes 2. RY RZ Duas componentes de força e dois binários Mancal suportando somente carga radial CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS 13 5. VÍNCULOS COM 1 GRAUS DE LIBERTDADE Este tipo de vínculo, impede cinco movimentos, deixando livre apenas um movimento. Pino e suporte RY RZ Três componentes de força e dois binários Rx CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS 14 6. VÍNCULOS COM 0 GRAUS DE LIBERTDADE Este tipo de vínculo, impede qualquer movimento relativo dos corpos em contacto. É uma ligação rígida ou encastramento. O RY RZ RX X MZ MX MY Y Z Três componentes de força e três binários RX RZ RY MX MZ MY Apoio fixo ou encastramento CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS 15 Na prática frequentemente, os sistemas são susceptíveis de se deslocar num único plano, em que actuam todas as forças que solicitam a estrutura. Em consequência, há apenas 3 graus de liberdade e portanto somente 3 tipos de vínculos a considerar. CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO 16 RZ RZ 1. VÍNCULOS DO 1º GÉNERO Este tipo de vínculo, possui 2 graus de liberdade – é o chamado apoio simples, de 1º grau ou apoio de Charriot RZ Rx RZ Representaçã o simplificada CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO 17 EXEMPLOS N1 N2 T M A A reacção tem a direcção da normal comum à superfícies dos corpos no seu ponto de contacto e está aplicada nesse ponto. A reacção tem a direcção do tirante e é dirigida para o ponto de suspensão do tirante . Tirante Superfície polida 18 2. VÍNCULOS DO 2º GÉNERO Este tipo de vínculo, possui 1 único grau de liberdade – é designado apenas por articulação ou rótula. RZ RX RX RZ RZ RX Representaçã o simplificada CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO 19 3. VÍNCULOS DO 3º GÉNERO O grau de liberdade para este tipo de vínculo é zero. Isto é todos os movimentos são impedidos – é designado por encastramento rígido. RX RZ M Representaçã o simplificada CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO 20 O estudo do equilíbrio dos corpos ligados basea-se no seguinte axioma: Todo o corpo ligado se pode considerar livre, se se suprimirem as ligações (vínculos) e se substituirem pelas forças de ligação (reacções). B C A D K P P B A C K D ND NA T Corpo Livre As intensidades das reacções são incógnitas. Podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio das forças que actuam sobre o corpo. CORPO LIVRE 21 RaY RaX RaY F A B X Y F RaY RaX A B Tb X Y P R T Corpo suspenso por um fio Uma barra fixa por uma articulação e apoiada por um fio Uma barra fixa por duas articulações fixa e móvel. EXEMPLOS DE DETERMINAÇÃO DE REACÇÕES No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, ou seja a situação quando a as forças externas que agem sobre um corpo rígido formam um sistema equivalente a zero, temos S F = 0 S MO = S (r x F) Decompondo cada força e cada momento em seu componentes retangulares, as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são expressas através de seis equações de escalares: SFx = 0 SFy = 0 SFz = 0 SMx = 0 SMy = 0 SMz = 0 Estas equações podem ser usadas para determinar forças desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações de desconhecidas exercidas sobre ele por seu apoios. EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO SFx = 0 SFy = 0 SMA = 0 Onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. No caso do equilíbrio das estruturas bidimensionais, cada uma das reações exercida sobre a estrutura pelo seu suporte poderia envolver uma, duas ou três incógnitas, dependendo do tipo de suporte ou vínculo. No caso de uma estrutura bidimensional, três equações de equilíbrio são utilizadas na forma mais geral, nomeadamente EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES Estas equações podem ser usadas para resolver o caso de três incógnitas. Embora estas três equações de equilíbrio não possam ser acrescentadas a equações adicionais, qualquer uma delas pode ser substituída por outra equação. Portanto, podemos escrever conjuntos alternativos de equilíbrio equações, tais como SFx = 0 SMA = 0 SMB = 0 O ponto B é escolhido de forma a que a linha AB não seja paralela ao eixo dos y, ou SMA = 0 SMB = 0 SMC = 0 Onde os pontos A, B e C não estão em linha recta. EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES Umavez que qualquer conjunto de equações equilíbrio possam ser resolvidas por apenas três incógnitas, as reacções nos apoios de uma estrutura rígida bidimensional não podem ser completamente determinadas se envolvem mais de três incógnitas; são estaticamente indeterminados. Por outro lado, se as reações envolvem menos de três incógnitas, equilíbrio não será mantido sob condições de carga geral; a estrutura é designada de parcialmente vinculada. EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO EM DUAS DIMENSÕES A B F1 F2 Se um corpo rígido sujeito a acçao de duas forças F1 e F2 está em equilíbrio, as duas forças devem ter igual intensidade, igual linha de acção e sentidos opostos. EQUILIBRIO DE UM CORPO SUJEITO À ACÇAO DE DUAS FORÇAS A B F1 F2 C D F3 Um corpo rígido sujeito a acção de três forças F1, F2 e F3 , as linhas de acção das três forças devem ser concorrentes ou paralelas. EQUILIBRIO DE UM CORPO SUJEITO À ACÇAO DE TRÊS FORÇAS S F = 0 S MO = S (r x F) Quando considerado o equilíbrio de um corpo tridimensional, cada uma das reações de suporte exercidas sobre o corpo podem envolver entre uma à seis incógnitas, dependendo do tipo de suporte. No caso geral de equilíbrio de um corpo tridimensional, as seis equações escalares de equilíbrio indicadas no início do presente reexame, devem ser utilizadas e resolvidas por seis incógnitas. Na maior parte dos casos, estas equações são mais facilmente obtidas se, primeiro escrevermos: EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES Exprimem-se as forças F e os vectores posição r em termos de componentes escalares e vectores unitários. O produto vetorial pode então ser calculado quer directamente, quer por meio de determinantes. Observamos que até três componentes da reacção desconhecidos podem ser eliminados desses cálculos por uma escolha criteriosa do ponto O. Igualando a zero os coeficientes dos vectores unitários em cada uma das duas reacções, obtemos as equacções escalares desejadas. EQUILÍBRIO DUM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES Se as reações envolvem mais de seis incógnitas, algumas das equações são estaticamente indeterminados; se envolvem menos de seis incógnitas, o corpo rígido é apenas parcialmente condicionado. Mesmo com seis ou mais incógnitas, o corpo rígido será indevidamente constrangido se a reacções associadas com o dado suporte são paralelas ou se cruzam numa mesma linha. EQUILÍBRIO DUM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES OBRIGADO EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Problema1Ex Um guindaste fixo tem uma massa de 1.000kg e é usado para Suspender um caixote de 2.400kg. O guindaste é mantido na Posição indicada na figura por um pino em A e suporte basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está Localizado em G. Determine os componentes das reacções Em A e B EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Problema2Ex Uma escada de 20kg usada para alavancar prateleiras altas em um depósito está apoiada por duas rodas flangeladas A e B montadas sobre um trilho e por uma roda em C sem flange apoiada sobre um trlho fixo à parede. Um homen de 80kg está em pé sobre a escadab e inclina-se para a direita. A linha de acção do peso combinado W do homen e da escada intercepta o piso no ponto D. Determine as reacções em A, B e C. Problema1 O máximo valor admssivel de cada uma das reacções e de 180𝑁. Desprezando o peso da viga, determine o intervalo de valores da distância d para o qual a viga esta segura. Problema2 Duas hastes AB e DE sao conectadas por uma alavanca BCD como mostrado. Sabendo que a tracção na haste AB e 720 N,determine: a) A tracção da haste DE. b) A reacção em C. Problema3 Determine as reacções em 𝐴 𝑒 𝐵 e Bquando: (a) ℎ = 0 (b) ℎ = 200 𝑚𝑚 Problema4 Para a estrutura e carregamento mostrados na figura, determine as reacções em 𝐴 e 𝐸, quando: (a) 𝛼 = 30° (b)𝛼 = 45° Problema5 Determine as reacções em A e B, quando: (a)𝛼 = 0° (b)𝛼 = 90°