[1] Aulas 1,2 e 3

Prévia do material em texto

1IQM – B1 - Módulo 2
de Broglie, 1923
17,22 e 24 de abril de 2024
Princípio da Incerteza de Heisenberg, 1927
 
Movimento harmônico simples e quântico
Oscilador harmônico quântico
Erwin Schrödinger - Funções de onda (Ψ)
Max Born e a probabilidade para se localizar
uma partícula.
2
A natureza ondulatória do elétron está no cerne da teoria da mecânica quântica
que substituiu o modelo de Bohr.
Este princípio fundamental foi proposto pela primeira vez por Louis de Broglie
(1892-1987), em 1924, e confirmado experimentalmente em 1927.
Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. 
Relação de de Broglie, 1923.
Naquela época, portanto, parecia inimaginável que os elétrons - antes
percebidos como partículas dotadas de massa - pudessem também tem uma
natureza de onda.
Para entender completamente a natureza ondulatória do elétron, e completar
esta parte de nosso estudo, analisaremos, cuidadosamente, os fenômenos de
interferência e difração.
Se uma onda eletromagnética podia ter características corpusculares, por que
não poderia uma partícula, como o elétron, ter comportamento ondulatório?
Esta questão foi colocada pelo físico francês Louis de Broglie que defendeu,
em 1923, que todas as partículas deveriam possuir um comportamento ondulatório.
3
Para de Broglie, a natureza essencialmente descontínua da quantização,
expressa pelo surgimento de números quânticos inteiros, apresentava um estranho
contraste com a natureza contínua dos movimentos vinculados à dinâmica
Newtoniana e, também, pela dinâmica Einsteiniana.
https://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod06/m_s05.html
Dualidade onda-corpúsculo. Relação de de Broglie, 1923.
Ele considerou que a interpretação das condições de quantização conduziriam à
introdução de um aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos.
Dever-se-ia atribuir ao elétron, e a todos os corpúsculos, uma natureza
dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de um aspecto ondulatório e de
um aspecto corpuscular interligados pelo quantum de ação (a constante de
Planck).
Para chegar à sua relação fundamental, de Broglie considerou a questão mais simples
possível  um corpúsculo em movimento retilíneo uniforme, com energia e momentum
conhecidos.
4
https://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod06/m_s05.html
Dualidade onda-corpúsculo. Relação de de Broglie, 1923.
Relação de de Broglie: o comprimento de onda de uma partícula era
inversamente proporcional ao seu momento linear, tal como nos fótons.
Na proposta de de Broglie o comprimento de onda, da onda associada a um
corpúsculo de momentum p, é dado por : λ = h/p.
Já que os elétrons, assim como os fótons,
têm comportamento de onda e de partícula,
é de se esperar que os elétrons, quando se comportam como ondas,
tenham frequências e comprimentos de onda dados pelas mesmas
expressões.
5
Então, de Broglie relacionou o comprimento de onda, λ, com a quantidade de
movimento da partícula, mediante a fórmula:
À medida que a massa do corpo ou
sua velocidade aumentam, o
comprimento de onda diminui
consideravelmente.
λ = h / mv
λ = comprimento da onda associada à
partícula de massa m que se move a uma
velocidade v
h = constante de Planck.
Equação de de Broglie
O produto p = mv é, também, o módulo do vetor, ou, a quantidade de movimento da
partícula.
Pela equação se vê que, à medida que a massa do corpo, ou sua velocidade, aumenta,
o comprimento de onda diminui.
Esta hipótese era uma especulação teórica, mas, logo veio a confirmação
experimental !!
6De Broglie, Davisson e Germer , a difração de raios-X
C. Davisson and L. H. Germer, Reflection of electrons 
by a crystal of nickel, Nature 119, 558 (1927).
Em 1927, os físicos norte-americanos
Davisson e Germer descobriram que,
quando um feixe de elétrons de baixa
energia incidia sobre um cristal de níquel,
um padrão de difração era produzido,
semelhante ao de um feixe de Raios-X.
Variando a energia do feixe e,
consequentemente, o momento linear dos
elétrons, a relação de de Broglie pôde ser
confirmada, a partir da análise dos padrões
de difração.
Highlight
7
Vimos as considerações de Bohr sobre quantificação e momento
angular.
Pergunta-se: por que apenas certos momentos angulares deveriam
ser permitidos para o elétron circulando?
Vamos refletir
de Broglie explicou:
- assim como os constituintes das ondas de luz (fótons) são vistos, através do
espalhamento Compton, agindo como partículas, com energia e momentum
definidos, partículas, como os elétrons, poderiam exibir propriedades
ondulatórias.
em que 
Para os fótons, a relação entre o comprimento de onda e o momentum é
p = h / λ.
- de Broglie emitiu a hipótese que o inverso era verdadeiro: para partículas
com um momentum p, o comprimento de onda seria:
Então, para de Broglie, qualquer partícula, não somente fótons, se deslocando com
um momentum p, poderia ter um λ que obedeceria à relação p = h / λ:
Uma partícula com grande momentum linear tem curto comprimento de onda.
em que 
8
k = vetor onda 
da partícula.
Equação de de Broglie
Momentum linear – informação complementar 9
 O momentum linear é um vetor quantidade (tem 
direção e magnitude, tal qual a velocidade). 
 A magnitude de p é relacionada com a velocidade v 
da partícula, através da equação: p = m v 
 O p de uma partícula, propriedade vetorial, aponta 
na direção do movimento.
10
Momentum e momento – informação complementar
Momentum é o produto da massa pela velocidade de um corpo. É um
vetor quantidade. O momentum é independente do referencial.
O momento de uma força atuando em torno de um eixo pode ser definido como o
efeito da rotação produzida em torno de um eixo. É o produto da magnitude da força
atuante e a distância perpendicular da linha de força (tangencial ao eixo de rotação)
do ponto de rotação. O momento de uma força pode ser uma grandeza escalar ou
vetorial. Depende do eixo em questão.
https://homework.study.com/explanation/what-is-the-difference-between-moment-and-momentum-
in-physics.html
Momentum é o produto da massa pela velocidade de um corpo;
- é uma quantidade vetorial (pode ser positiva ou negativa);
- é independente do referencial;
- é a quantidade de movimento em qualquer corpo em movimento.
Momento é a força rotacional agindo em torno de um ponto devido ao torque;
- é um conceito que possibilita uma medida do efeito de uma propriedade
física em torno de um eixo;
- pode ser uma grandeza escalar ou vetorial;
- depende do eixo em questão;
- pode ser qualquer período de tempo.
Momento é um conceito que possibilita uma medida do efeito de uma propriedade
física em torno de um eixo.
Lembremo-nos do momentum angular e do momento de inércia
O momentum angular de um objeto rígido é definido como o produto
do momento de inércia e da velocidade angular.
É uma grandeza vetorial e é derivável a partir da expressão para o
momentum angular de uma partícula
11
O comprimento de onda de de Broglie (λ = h/p) foi escolhido de tal modo que a 
órbita de raio r contivesse um número inteiro n de ondas de matéria:
 
de onde se tira a quantização do momento angular, previamente postulado por Bohr :
12Equação de de Broglie
Um aspecto que chamou a atenção de de Broglie, foi o fato de que as regras de
quantização envolviam números inteiros. Ora, sabia-se, desde muito tempo, que os
números inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física onde fenômenos
ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica e ótica.
Highlight
13
Aplicado ao elétron no átomo, os resultados de de Broglie sugerem que as
órbitas circulares permitidas são ondas estacionárias, das quais segue a
quantização do momento angular de Bohr.
A hipótese de de Broglie encontrou suporte quantitativo em um experimento
de Davisson e Germer, e independentemente por G. P. Thomson em 1927.
Seus estudos de difração de elétrons de um arranjo cristalino de átomos de
níquel confirmaram que os ângulos de difração dependem da energia incidente (e,
portanto, momentum).
Resumo até o momento …
14
Os trabalhosde Planck, Einstein, de Broglie, ... revolucionaram a maneira de pensar
sobre a matéria, especialmente as partículas atômicas.
O elétron havia se tornado um corpo estranho, tendo propriedades tanto de
ondas, quanto de partículas, sem ser exatamente um, ou outro.
Do modelo de Thomson ao modelo de Bohr, o elétron havia sido representado por
um ponto, se movendo, ou não, no espaço. Depois de tantos cientistas formulando
hipóteses e tendo comprovações experimentais, isso não era mais possível. Havia se
tornado necessário propor um novo modelo que explicasse os átomos, a matéria.
As leis do movimento de Newton são determinísticas: o presente determina o
futuro.
O que se quer dizer com isso?
Por exemplo, isso significa que, se duas bolas forem atingidas, em idênticas
condições e sucessivamente, com a mesma velocidade e na mesma posição, elas cairão
exatamente no mesmo lugar.
O mesmo princípio não se aplica aos elétrons.
Então, o físico alemão Werner Heisenberg, em 1927, demonstrou que não se pode,
com precisão e simultaneamente, determinar posição e velocidade de um elétron.
Portanto, não se pode saber sua trajetória.
Vejamos os princípios de Heisenberg.
Introdução ao Princípio de Incerteza de Heisenberg
15
O Princípio da Incerteza de Heisenberg (1927)
ou
 Princípio da Indeterminação  relações de 
incerteza.
 A posição e o momentum de uma partícula não podem ser medidos, 
simultaneamente, com alta precisão:
 há um mínimo para o produto das incertezas de x versus p;
 
 há, também, um mínimo para o produto das incertezas de energia versus tempo.
Este não é um princípio sobre a incerteza de instrumentos de medida, nem 
uma reflexão sobre a qualidade dos métodos experimentais. 
Ele decorre das propriedades de onda inerentes à descrição da natureza pela 
mecânica quântica.
Mesmo com instrumentos e técnicas perfeitas, a incerteza é inerente à 
natureza de todas as coisas.
 
16O Princípio da Incerteza de Heisenberg
 Dois importantes passos para a compreensão do princípio da incerteza foram 
a dualidade onda-partícula e a hipótese de de Broglie. 
 Como as reflexões são feitas em dimensões atômicas, não se pode mais 
considerar uma partícula como uma esfera rígida porque, quanto menor é sua 
dimensão, mais semelhante a uma onda a partícula se torna.
Não há mais sentido em dizer que se pode determiner, com precisão, a posição e o 
momentum de uma partícula. 
Quando se diz que o elétron atua como uma onda, então, esta onda será a função 
de onda da mecânica quântica, será indicada por Ψ, e estará relacionada à 
probabilidade de se encontrar o elétron em qualquer ponto do espaço. 
Se uma perfeita onda senoidal representa a probabilidade do elétron se propagar 
no espaço, a posição do elétron será incerta.
17
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
18
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/uncer.html#c1
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
19
Uma massa está suspensa por uma força 
elástica e tende a retornar à sua configuração de 
equilíbrio.
 Quando esta força for proporcional à 
distância de equilíbrio (por exemplo, pela Lei de 
Hooke, duplica, quando a distância de equilíbrio 
duplica), o objeto seguirá um movimento harmônico 
simples, ao ser liberado. 
Movimento harmônico simples
A massa em uma mola é exemplo padrão de movimento periódico. 
 Se o deslocamento da massa é plotado em função do tempo, ele irá traçar uma 
onda senoidal pura.
O movimento de uma onda que se propaga em um meio é, também, um 
movimento harmônico simples, porque a onda passa por um determinado ponto deste 
meio.
20
Uma massa em uma mola transforma energia - para frente e para trás - entre a 
energia cinética e a potencial. 
 Se não houver dissipação, pelo princípio de conservação de energia, o movimento 
deveria continuar indefinidamente. 
 Para qualquer objeto real vibrando, isto implica que a vibração continuará a 
transformar energia cinética em potencial, até que toda a energia seja transferida de uma 
forma para a outra. 
 Para definir o objeto em movimento, uma força externa líquida deve produzir 
trabalho sobre a massa para, inicialmente, estirar a mola. 
Vejamos uma quantidade de 
trabalho de 2 J  
Conversão de energia
Frequência no movimento harmônico simples. 21
A frequência do movimento harmônico simples 
parece com uma massa suspensa em uma mola. 
É determinada pela massa m e a rigidez da mola. 
É expressa em termos da constante de força k 
(Lei de Hooke).
Equações do movimento harmônico simples
 A equação para o movimento harmônico simples contém uma descrição completa do 
movimento.
 Os parâmetros do movimento podem ser calculados por: 
Velocidade e aceleração são calculadas por:
E a energia total para um oscilador não amortecido é a soma das energias cinética e 
potencial:
O movimento é descrito por:
 frequência angular = sqrt(constante de força k / m) 
22Oscilador harmônico quântico
Uma molécula diatômica vibra como duas massas sobre uma 
mola, com uma energia potencial que depende do quadrado do 
deslocamento a partir do equilíbrio. 
 
Para uma molécula diatômica, a frequência 
natural será dada por:
na qual a massa reduzida é:
Os níveis de energia são quantizados em valores igualmente espaçados. Os 
níveis de energia de um oscilador harmônico quântico são:
 
 Esta forma de frequência é a mesma que aquela para o oscilador harmônico simples 
clássico. A diferença mais surpreendente para o caso quântico é o chamado "ponto 
zero-vibracional" do estado fundamental n = 0. Isto implica que moléculas não estão 
totalmente em repouso, mesmo na temperatura do zero absoluto. 
Oscilador harmônico quântico 23
Em sistemas reais, somente para os níveis mais baixos, os espaçamentos de energia 
são iguais, e o potencial é uma boa aproximação do modelo "massa em uma mola", tipo 
potencial harmônico. 
Os potenciais não harmônicos, que aparecem no potencial de moléculas diatômicas, 
são úteis para o mapeamento detalhado das energias potenciais de tais sistemas. 
Um movimento que se repete com precisão pode ser descrito por  
período (τ) - é o tempo necessário para completar um ciclo, em segundos / ciclo;
frequência (ν) -é o número de ciclos por segundo, em 1/segundo ou Hertz (Hz);
 amplitude (A) - o deslocamento máximo a partir do equilíbrio.
 
 E, se o movimento periódico está sob a forma do deslocamento de uma onda, 
precisa-se, também, de 
 velocidade de propagação (v) ;
 comprimento de onda (λ) - distância de repetição da onda. 
Descrição do movimento periódico
De acordo com esse Princípio é impossível descrever perfeitamente o estado de um 
sistema como, por exemplo, a posição e velocidade de um elétron no interior do átomo, 
simultaneamente. 
24
Vimos o Princípio da Incerteza de Heisenberg 
Esta função é chamada função de onda, advindo daí o qualificativo ondulatório 
dado a esta mecânica. 
Quanto ao movimento de um sistema de partículas, é preciso conhecer uma função 
complexa Ψ. Esta função depende das coordenadas (x1, x2,..xN) das partículas e do 
tempo t. 
De Broglie propôs que um comprimento de onda para uma partícula 
fosse definido por : λ = h / p 
Vimos de Broglie
25
Erwin Schrödinger
A dinâmica de sistemas microscópicos
A função de onda de 
Erwin Schrödinger (1887–1961);
a probabilidade segundo Max Born
26
i é o imaginário
Erwin Schrödinger - Funções de onda (Ψ)
27
Esta equação é escrita de diversas formas, dependendo do nível de
conhecimento que se vai adquirindo quanto aos conceitos embutidos na equação de
Schrödinger. Em função do tempo a equação se torna:
A equação acima mostra y em função do tempo e o deslocamento da partícula
está sendo estudado em função do eixo x.
É uma equação diferencial de primeira ordem, em t, e de segunda ordem, em x.
Observar, também, que a energia potencial, às vezes, é escrita como V(x) ou
U(x).
Erwin Schrödinger - Funções de onda (Ψ)
28Se esta equação for independente do tempo, ela se torna:
, em que E corresponde à
energia total do sistema.
é denominado operador Hamiltoniano. 
Progressivamente veremos seus detalhes. 
29Erwin Schrödinger - Funções de onda (Ψ)
30
Paper_Pearson_frances.pdf
Esta função contém todas as informações sobre um sistema.
Max Born e a probabilidade para se localizar uma partícula
31Por Born, esta função de onda, em si, não possui significado físico, 
mas, sim, o quadrado de seu módulo: 
Ψ* = complexo conjugado de Ψ = imaginário conjugado de Ψ, 
 representa a probabilidade de se encontrar, no instante t, as 
diversas partículas constituindo o sistema, nos pontos de coordenadas x 
(ou seja, x1, x2,...xn).
Max Born
32Max Born
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32