Livro 02 se matemática 8 ano

Prévia do material em texto

LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
8.° ANO - LIVRO 2
ENSINO FUNDAMENTAL
SAE DIGITAL S/A
Curitiba
2021
SAE DIGITAL S/A
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 1PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 1 08/12/2020 14:14:1108/12/2020 14:14:11
Catalogação na Publicação (CIP)
Ensino Fundamental : Matemática : 8.o ano: livro 2 : professor – 1. ed. – 
Curitiba, PR : SAE Digital S/A, 2021.
88 p.
ISBN: 978-65-5593-634-6
1. Ensino Fundamental. 2. Matemática. 3. Educação. 
I. Título.
 CDD: 510
  CDU: 501:371.1
© 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A. 
R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150 
Mossunguê – Curitiba – PR 
0800 725 9797 | Site: sae.digital 
Direção editorial Lucélia Secco
Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier
Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo
Coordenação pedagógica Cristiane Sliva, Jardiel Loretto Filho
Edição Anna Chiarello Marcon, Eliane Peixoto de Lima, Janile Oliveira, Rodrigo Zeni Stocco, Janayna Goulart
Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Pamela de Fátima Leal, Priscila Sousa, 
Thainara Gabardo, Victor Truccolo
Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo
Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves
Projeto gráfico Evandro Pissaia, Fernanda Angeli Andreazzi, Gustavo Ribeiro Vieira
Arte da capa Carlos Morevi, Deny Machado, Guilherme Reginato, Scarllet Anderson
Iconografia Jhennyfer Pertille
Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson
Diagramação André Lima, Bruna Aparecida de Andrade, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Xavier de Carvalho, Luana Santos, 
Luciana Nesello Kunsel, Luisa Piechnik Souza, Mariana Oliveira, Mateus Bonn, Ralph Glauber Barbosa, Raphaela 
Candido, Silvia Santos, Thaísa Werner, Thiago Figueiredo Venâncio
Coordenação de processos Janaina Alves
Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro
Colaboração externa Gabrielly Halas (Leitura Pedagógica), Sincronia Design Gráfico (Diagramação), Thais Bressan Nacif (Revisão)
Autoria Ednei Leite de Araújo, José Wilson Cardoso, Márcia Martins Romeira Sakai, Rosenilda de Souza Nagata, Sandra 
Saldanha Franchin
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 2PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 2 08/12/2020 14:14:1108/12/2020 14:14:11
MATEMÁTICA III
Programação anual de conteúdos – Matemática – 8.o ano
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
1
1. Conjuntos 
numéricos
1. Ampliando 
os conjuntos 
, ,  e 
• Ampliando os conjuntos dos naturais, dos inteiros e dos racionais
• Representação numérica dos números racionais
• Dízimas periódicas e geratriz de uma dízima
• Representação percentual dos números racionais e aplicações
• Os números irracionais
EF08MA04
EF08MA05 7
2. Números reais
• Definição de conjunto dos reais 
• Representação na reta numérica
• Operações básicas com os reais e suas propriedades
• Expressões numéricas envolvendo as quatro operações
SAE + 9
3. Potências e raízes
• Propriedades da potenciação
• Potências de base 10 e notação científica
• Radiciação e propriedades
• Extraindo raízes quadradas aproximadas
• Expressões numéricas
EF08MA01
EF08MA02 7
2. Estatística e 
probabilidade
1. Gráficos, pesquisas 
e medidas 
estatísticas
• Gráficos de barras, colunas, linhas e setores
• Medidas de tendência central e de dispersão
• Pesquisas censitária e amostral
• Planejamento e execução de pesquisa amostral
EF08MA23
EF08MA24
EF08MA25
EF08MA26
EF08MA27
4
2. Probabilidade
• Espaço amostral
• Eventos
• Princípio multiplicativo 
• Cálculo de probabilidades
• Resolver e elaborar problemas
EF08MA03
EF08MA22 4
3. Polinômios
1. Expressões literais
• Expressões algébricas e numéricas
• Valor numérico de uma expressão algébrica
• Classificação de expressões algébricas
EF08MA06 5
2. Monômios
• Composição de um monômio
• Grau de um monômio
• Operações com monômios
EF08MA06 7
3. Definição e 
operações
• Composição de um polinômio
• Grau de um polinômio
• Adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios
EF08MA06 7
Li
vr
o 
2
4. Expressões 
algébricas I
1. Produtos notáveis
• Quadrado da soma e da diferença de dois termos
• Produto da soma pela diferença de dois termos
• Cubo da soma e da diferença de dois termos
• Múltiplos e divisores
EF08MA06 9
2. Fatoração, múltiplos 
e divisores
• Fator comum em evidência e agrupamento
• Diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito
• MMC e MDC entre monômios e polinômios
EF08MA06 9
5. Introdução às 
frações 
algébricas
1. Frações algébricas • Quociente de dois polinômios • Denominador de uma fração algébrica EF08MA06 9
2. Simplificação 
e equivalência 
de frações
• Simplificações de frações algébricas
• Frações algébricas equivalentes EF08MA06 7
6. Geometria I
1. Geometria no plano
• Ponto, reta e plano
• Postulados
• Semirreta, segmento de reta, medida de um segmento, segmentos 
congruentes, ponto médio de um segmento
• Segmentos consecutivos, colineares e adjacentes
SAE + 4
2. Ângulos
• Definição de ângulo
• Medida de um ângulo
• Ângulos congruentes, consecutivos e adjacentes
• Bissetriz de um ângulo
• Mediatriz de um segmento
• Ângulos: agudo, reto, obtuso e raso
• Ângulos complementares e suplementares
• Ângulos opostos pelo vértice
EF08MA15
EF08MA17 5
3. Polígonos
• Regiões convexa e côncava
• Polígonos convexos
• Elementos de um polígono
• Perímetro de um polígono
• Diagonais de um polígono
• Transformações geométricas
EF08MA16
EF08MA18 7
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 3PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 3 08/12/2020 14:14:1208/12/2020 14:14:12
MATEMÁTICAIV
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
3
7. Expressões 
algébricas II
1. Operações com 
frações algébricas
• Frações algébricas equivalentes
• Adição, subtração, multiplicação e divisão de frações algébricas 
• Potenciação de frações algébricas
EF08MA06 7
2. Equações do 
segundo grau 
e fracionárias
• Equações fracionárias
• Resolução de equações fracionárias
• Equações do segundo grau do tipo ax2 = b
EF08MA06
EF08MA09 7
3. Sequências 
recursivas e não 
recursivas
• Sequências geométricas recursivas e não recursivas
• Sequências numéricas recursivas e não recursivas
EF08MA10
EF08MA11 6
8. Equações e 
inequações 
do 1.º grau
1. Equações e 
desigualdades
• Equações literais
• Inequações do 1.º grau, conjunto universo e conjunto verdade
• Representação geométrica das soluções de uma inequação
• Princípios de equivalência, aditivo e multiplicativo em uma desigualdade
• Resolução de uma inequação
SAE + 9
2. Sistemas de 
equações com 
duas variáveis
• Soluções de um sistema de equações
• Métodos resolutivos de um sistema de equações do 1.º grau com duas 
incógnitas
• Representação gráfica de sistemas de equações no plano cartesiano
EF08MA07
EF08MA08 9
9. Geometria II
1. Retas
• Retas paralelas e transversais e suas propriedades
• Relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal
SAE + 5
2. Volume e 
capacidade
• Medidas de capacidade, múltiplos e submúltiplos
• Volume do paralelepípedo, cubo, cilindro
EF08MA20
EF08MA21 7
Li
vr
o 
4
10. Plano cartesiano
1. Coordenadas 
cartesianas
• Coordenadas cartesianas
• Gráfico de uma equação do 1.º grau com duas incógnitas
EF08MA07
EF08MA08 7
2. Gráfico e 
interpretação 
geométrica
• Gráfico de um sistema de equações 
• Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações
EF08MA07
EF08MA08
EF08MA12
EF08MA13
7
11. Polígonos
3. Triângulos
• Elementos dos triângulos e suas relações
• Classificação quanto aos lados e aos ângulos
• Mediana, altura e bissetriz e construções geométricas
• Congruência de triângulos 
• Propriedades do triângulo retângulo e do isósceles
EF08MA15
EF08MA17
EF08MA19
14
4. Quadriláteros
• Elementos dos quadriláteros
• Soma dos ângulosinternos e externos de um polígono qualquer
• Paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e trapézio
EF08MA14
EF08MA19 11
12. Circunferência 
e círculo
1. Definições e 
relações entre as 
circunferências
• Definições: circunferência e círculo
• Elementos da circunferência
• Comprimento da circunferência e área do círculo
• Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
• Posições relativas de duas circunferências
EF08MA19 5
2. Ângulos na 
circunferência
• Ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento
• Congruência de arcos
• Correspondência entre arcos e cordas
• Ângulos com vértices que não pertencem à circunferência
• Circunferência inscrita no triângulo e no quadrilátero
SAE + 5
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 4PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 4 08/12/2020 14:14:1208/12/2020 14:14:12
MATEMÁTICA V
Conheça as seções, os boxes e os ícones do seu livro
Esta seção apresenta exercícios mais 
desa� adores e de � xação que devem ser 
resolvidos no caderno.
VAMOS PRATICAR MAIS?
É um espaço que apresenta relações entre o conteúdo que você 
está estudando e as tecnologias referentes a ele. 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
ATIVIDADES
Geralmente esta seção está no � nal de cada 
capítulo. Seu objetivo é levá -lo a rever os con-
teúdos estudados. 
PARA SABER MAIS
Indica o momento de aprofundar ou ampliar 
algum aspecto do conteúdo que você está 
estudando no capítulo.
CONEXÃO
Este é um espaço que apresenta texto e 
atividades que fazem a articulação entre 
diversos conteúdos.
INTERAÇÃO
Quando aparecer esta seção, será proposto um 
trabalho em grupo, como debate, pesquisa e 
elaboração de painel.
PARA IR ALÉM
Aqui você encontra dicas de leituras, músicas 
ou vídeos para aprofundar seu conhecimento.
COLOCANDO EM PRÁTICA
É um espaço que apresenta exercícios resolvidos 
para você compreender a sua sistematização.
TER ATITUDE
Esta seção apresenta uma proposta para um 
trabalho prático.
DESENVOLVER E APLICAR
Esta seção propõe atividades investigativas e 
motivadoras para você resolver individualmente. 
DE OLHO NA PROVA
É uma seção exclusiva para o 9.º ano e apre-
senta questões de provas para auxiliar você a 
ingressar no Ensino Médio.
EM TEMPO
É o momento de recordar uma ideia ou uma 
fórmula já estudada. Pode apresentar, também, 
a explicação ou o signi� cado de um termo ou 
de um conteúdo apresentado no texto.
Este ícone indica que há uma Realidade 
aumentada que pode ser acessada com 
o celular ou tablet.
Quando aparecer este ícone, será a hora 
de exercitar a oralidade com os colegas 
de turma.
Esta seção aparece quando há necessi-
dade de explicar os procedimentos para 
realização de uma atividade.realização de uma atividade.COMO
FA
ZE
R
Este ícone indica o 
desenvolvimento 
da educação para o 
consumo consciente.
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 5PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 5 08/12/2020 14:14:1508/12/2020 14:14:15
MATEMÁTICAVI
Anotações
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 6PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 6 08/12/2020 14:14:1508/12/2020 14:14:15
us
tw
o 
ga
m
es
Matemática
Unidade 4 | Expressões algébricas I
Capítulo 1 | Produtos notáveis ................................................................................ 70
Capítulo 2 | Fatoração, múltiplos e divisores ................................................. 83
Unidade 5 | Introdução às frações algébricas
Capítulo 1 | Frações algébricas ............................................................................... 96
Capítulo 2 | Simplificação e equivalência de frações ............................. 103
Unidade 6 | Geometria I
Capítulo 1 | Geometria no plano ........................................................................ 112
Capítulo 2 | Ângulos .................................................................................................... 122
Capítulo 3 | Polígonos ................................................................................................. 137
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 69PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 69 08/12/2020 14:14:1708/12/2020 14:14:17
70 MATEMÁTICA
71MATEMÁTICA
Everything Y
ou Need
/Shutte
rstock Em geral, as pessoas inserem os quadros em uma 
moldura antes de colocá-los na parede. O preço da mol-
dura varia conforme o modelo, o material utilizado, a 
qualidade do material e assim por diante. Formem grupos 
e discutam a seguinte situação:
Um quadro no formato de um quadrado será colo-
cado em uma moldura, conforme o esboço ao lado. 
Sabendo que a moldura ocupa uma área de 1 700 cm2, 
qual é a área do quadro?
INTERAÇÃO
x5 cm 5 cm
5 cm
5 cm
x
Fr
am
e 
A
rt
/S
hu
tt
er
st
oc
k
Produtos notáveis
Vamos supor que a medida do lado de um cubo de Rubik com 3 
cubinhos é 6 cm, ou seja, cada cubinho tem 2 cm. A área é dada por 
6 2 = 6 · 6 = 36 cm2.
Para calcular a área de um cubo com 4 cubinhos de lado, cuja 
medida é 2 cm maior que a do lado de um cubo de 3 cubinhos, deve-
mos fazer:
(6 + 2) 2 = (6 + 2) · (6 + 2) = 8 · 8 = 64 cm2
No caso de um cubo com 2 cubinhos de lado, 
cuja medida do lado é 2 cm menor que a do lado 
de um cubo de 3 cubinhos, tem-se:
(6 – 2)2 = (6 – 2) · (6 – 2) = 4 · 4 = 16 cm2
Como esse cálculo seria feito se as medidas 
fossem desconhecidas?
Na álgebra, alguns produtos similares aos realizados anteriormente aparecem com muita frequência 
e podem ajudar a responder às perguntas. São eles: 
(x – y)2 = (x – y) · (x – y)(x + y)2 = (x + y) · (x + y)
Além desses produtos, outra expressão muito comum é a seguinte:
(x + y) · (x – y)
Como não sabemos os valores assumidos por x e por y, utilizamos o cálculo algébrico para desen-
volver esses produtos. Pela importância que eles representam no cálculo algébrico, esses produtos são 
denominados produtos notáveis. A partir de agora, vamos estudar alguns deles e as regras práticas 
para obtenção de cada um.
Ba
na
na
 W
al
ki
ng
/S
hu
tt
er
st
oc
k
Everything Y
ou Need
/Shutte
rstock
Everything Y
oYoY u Need
/Shutte
rstock
un
idade
70
1. Produtos notáveis
O cubo mágico é um quebra-cabeça tridimensional inventado por Ernő Rubik e, por isso, também é 
conhecido como cubo de Rubik. Ele tem várias versões, algumas muito complexas, sendo a 3 × 3 × 3 a mais 
comum. Hoje em dia, existem até campeonatos nos quais os participantes devem montar o cubo de Rubik 
no menor tempo possível.
Imagine que o cubo de Rubik mais comum tem lado igual a 6 cm. Para obtermos uma de suas versões, 
devemos aumentar x cm ou diminuir y cm da medida do lado.
Como podemos calcular a área de uma das faces dessa versão do cubo de Rubik? 
4
Expressões algébr
icas I
• Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado da diferença de dois 
termos
• Produto da soma pela diferença 
de dois termos
• Cubo da soma de dois termos
• Cubo da diferença de dois termos
• Produto do binômio (x + a) 
pelo binômio (x + b)
Escola Digital
Objetivos do capítulo
• Reconhecer produtos 
notáveis.
• Resolver problemas 
envolvendo geometria e 
produtos notáveis.
• Desenvolver o quadrado da 
soma ou da diferença de dois 
termos.
• Desenvolver produtos da 
soma pela diferença de dois 
termos.
• Desenvolver o cubo da 
soma ou da diferença de dois 
termos.
• Desenvolver o produto do 
binômio (x + a) pelo binômio 
(x + b).
Realidade aumentada
• Problemas envolvendo 
produtos notáveis
• Comparando os produtos 
notáveis
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, será traba-
lhada a habilidade EF08MA06 da 
BNCC, que é a de resolver e ela-
borar problemas que envolvam 
cálculo do valor numérico de 
expressões algébricas utilizando 
as propriedades das operações. 
Com foco no desenvolvimento 
de produtos notáveis, serão 
propostas atividades de fixação 
e contextualizadas.
A imagem de abertura 
apresenta um cubo de Rubik. 
Comente com os alunos que, 
além do cubo 3 × 3 × 3, existem 
também os cubos 2 × 2 × 2, 
4 × 4 × 4 e 5 × 5 × 5. Na pergun-
ta inicial, espera-se queo aluno 
se questione sobre a possibili-
dade de efetuar contas do tipo 
(x + a)2, a ∈ .
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 70PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 70 08/12/2020 14:14:5808/12/2020 14:14:58
71MATEMÁTICA
71MATEMÁTICA
Everything Y
ou Need
/Shutte
rstock Em geral, as pessoas inserem os quadros em uma 
moldura antes de colocá-los na parede. O preço da mol-
dura varia conforme o modelo, o material utilizado, a 
qualidade do material e assim por diante. Formem grupos 
e discutam a seguinte situação:
Um quadro no formato de um quadrado será colo-
cado em uma moldura, conforme o esboço ao lado. 
Sabendo que a moldura ocupa uma área de 1 700 cm2, 
qual é a área do quadro?
INTERAÇÃO
x5 cm 5 cm
5 cm
5 cm
x
Fr
am
e 
A
rt
/S
hu
tt
er
st
oc
k
Produtos notáveis
Vamos supor que a medida do lado de um cubo de Rubik com 3 
cubinhos é 6 cm, ou seja, cada cubinho tem 2 cm. A área é dada por 
6 2 = 6 · 6 = 36 cm2.
Para calcular a área de um cubo com 4 cubinhos de lado, cuja 
medida é 2 cm maior que a do lado de um cubo de 3 cubinhos, deve-
mos fazer:
(6 + 2) 2 = (6 + 2) · (6 + 2) = 8 · 8 = 64 cm2
No caso de um cubo com 2 cubinhos de lado, 
cuja medida do lado é 2 cm menor que a do lado 
de um cubo de 3 cubinhos, tem-se:
(6 – 2)2 = (6 – 2) · (6 – 2) = 4 · 4 = 16 cm2
Como esse cálculo seria feito se as medidas 
fossem desconhecidas?
Na álgebra, alguns produtos similares aos realizados anteriormente aparecem com muita frequência 
e podem ajudar a responder às perguntas. São eles: 
(x – y)2 = (x – y) · (x – y)(x + y)2 = (x + y) · (x + y)
Além desses produtos, outra expressão muito comum é a seguinte:
(x + y) · (x – y)
Como não sabemos os valores assumidos por x e por y, utilizamos o cálculo algébrico para desen-
volver esses produtos. Pela importância que eles representam no cálculo algébrico, esses produtos são 
denominados produtos notáveis. A partir de agora, vamos estudar alguns deles e as regras práticas 
para obtenção de cada um.
Ba
na
na
 W
al
ki
ng
/S
hu
tt
er
st
oc
k
(6 – 2)
Como esse cálculo seria feito se as medidas 
fossem desconhecidas?
Na álgebra, alguns produtos similares aos realizados anteriormente aparecem com muita frequência 
Everything Y
ou Need
/Shutte
rstock
un
idade
70
1. Produtos notáveis
O cubo mágico é um quebra-cabeça tridimensional inventado por Ernő Rubik e, por isso, também é 
conhecido como cubo de Rubik. Ele tem várias versões, algumas muito complexas, sendo a 3 × 3 × 3 a mais 
comum. Hoje em dia, existem até campeonatos nos quais os participantes devem montar o cubo de Rubik 
no menor tempo possível.
Imagine que o cubo de Rubik mais comum tem lado igual a 6 cm. Para obtermos uma de suas versões, 
devemos aumentar x cm ou diminuir y cm da medida do lado.
Como podemos calcular a área de uma das faces dessa versão do cubo de Rubik? 
4
Expressões algébr
icas I
• Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado da diferença de dois 
termos
• Produto da soma pela diferença 
de dois termos
• Cubo da soma de dois termos
• Cubo da diferença de dois termos
• Produto do binômio (x + a) 
pelo binômio (x + b)
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Reforce que a área do quadrado pode ser calculada de diferentes maneiras: 
multiplicando a medida da base pela medida da altura, elevando a medida do lado ao 
quadrado ou, ainda, somando as áreas das figuras que, juntas, compõem o quadrado. 
Permita ao aluno que escolha a melhor forma, mas, sempre que tiver oportunidade, 
reforce outras maneiras de resolver as situações. 
Destaque que a ideia de produtos notáveis é muito utilizada para facilitar a resolu-
ção de algumas equações e que eles servem de ferramenta para isso.
Na seção Interação, proponha aos alunos que conversem, elaborem uma estra-
tégia e, então, determinem a área do quadro. Incentive-os a dividir a figura em partes, 
pois isso pode facilitar a elaboração de uma estratégia.
Resposta
As respostas da seção Interação
são:
(x + 10)2 – x2 = 1 700
x = 80 cm
Área do quadro: 6 400 cm2
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 71PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 71 08/12/2020 14:15:0008/12/2020 14:15:00
72 MATEMÁTICA
73MATEMÁTICA
1. Determine geometricamente:
a) (x + 3)2 b) (x + 4)2
2. Em seu caderno, desenvolva algebricamente os produtos notáveis da atividade anterior.
3. Em seu caderno, calcule:
a) (x + 2)2
b) (5x + 3)2
c) 
2
3
5
2
x
��
�
�
�
�
�
d) x �
�
�
�
�
�
�
3
5
2
4. O quadrilátero ABCD é um quadrado. A área do quadrado menor equivale 
a 36 unidades de medida, e a área do retângulo é 6x. Determine a área do 
quadrado ABCD. 
ATIVIDADES
A B
C
36 6x
D
Quadrado da diferença de dois termos
Considerando a expressão (x – y)², que representa o quadrado da diferença de dois termos, vamos 
desenvolvê-la algebricamente.
• Inicialmente, de acordo com a definição de potência, temos:
(x – y)² = (x – y) · (x – y)
• Efetuando a multiplicação de polinômios, pela propriedade distributiva, temos:
(x – y) · (x – y) =
= x² – xy – yx + y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² – 2xy + y²
• Obtemos a seguinte igualdade:
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
72 MATEMÁTICA
Quadrado da soma de dois termos
Considerando a expressão (x + y)2, que representa o quadrado da soma de dois termos, vamos 
desenvolvê-la algebricamente.
• Inicialmente, de acordo com a definição de potência, temos: 
(x + y)² = (x + y) · (x + y)
• Efetuando as multiplicações indicadas, pela propriedade distributiva, temos:
(x + y) · (x + y) =
= x² + xy + yx + y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² + 2xy + y²
• Obtemos, assim, a seguinte igualdade: 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o seguinte problema:
Dados dois segmentos de medidas x e y, como podemos calcular a área do quadrado que tem a 
medida do lado igual a (x + y)?
Solução:
Considerando dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y, temos:
x y
Usando esses dois segmentos, vamos construir o quadrado pedido no problema:
Esse quadrado tem lado (x + y) como medida, e sua área 
pode ser expressa de duas formas:
x2 xy xy y2
(x + y)2
ou
x2 + 2xy + y2
Soma das áreas das
�guras que formam
o quadrado.
Podemos escrever, então, que:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas 
vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
x2 y22xy= + +
Quadrado 
da soma
de dois termos.
Quadrado do 
1.º termo.
Quadrado do 
2.º termo.
Duas vezes o 
produto do 
1.º pelo 2.º .
(x + y)2
Como esse produto notável resulta em três monômios, que se originaram do quadrado de um 
binômio, dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito.
Quadrado da soma de dois termos
x
x + y
y
x y
x y
x2
y2xy
xy
Encaminhamento 
metodológico
Na abordagem deste 
conteúdo, é importante re-
solver muitos exemplos para 
que os alunos percebam como 
utilizar a propriedade deduzi-
da. Para auxiliar na fluidez do 
desenvolvimento do conteúdo, 
é interessante que o estudante 
perceba que o resultado desse 
produto notável é um trinômio 
quadrado perfeito, pois isso 
facilitará a utilização desse 
conteúdo em fatoração.
Orientação para RA
Esta Realidade aumentada 
traz um vídeo com uma situa-
ção-problema que pode ser re-
solvida por meio de um produto 
notável. Além disso, é exibida 
uma breve explicação da fórmu-
la geral. Após a apresentação 
do vídeo aos alunos, refaça com 
eles o exemplo alterando o 
tamanho dos lados.
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 72PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 72 08/12/2020 14:15:0408/12/2020 14:15:04
73MATEMÁTICA
73MATEMÁTICA
 
1. Determine geometricamente:
a) (x + 3)2 b) (x + 4)2
2. Em seu caderno, desenvolva algebricamente os produtos notáveis da atividade anterior.
3. Em seu caderno, calcule:
a) (x + 2)2 b) (5x + 3)2 
c) 
2
3
5
2
x
��
�
�
�
�
� d) x �
�
�
�
�
�
�
3
5
2
 
4. O quadrilátero ABCD é um quadrado. A área do quadrado menor equivalea 36 unidades de medida, e a área do retângulo é 6x. Determine a área do 
quadrado ABCD. 
ATIVIDADES
A B
C
36 6x
D
Quadrado da diferença de dois termos
Considerando a expressão (x – y)², que representa o quadrado da diferença de dois termos, vamos 
desenvolvê-la algebricamente.
 • Inicialmente, de acordo com a definição de potência, temos:
(x – y)² = (x – y) · (x – y)
 • Efetuando a multiplicação de polinômios, pela propriedade distributiva, temos:
(x – y) · (x – y) =
= x² – xy – yx + y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² – 2xy + y²
 • Obtemos a seguinte igualdade:
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
72 MATEMÁTICA
Quadrado da soma de dois termos
Considerando a expressão (x + y)2, que representa o quadrado da soma de dois termos, vamos 
desenvolvê-la algebricamente.
 • Inicialmente, de acordo com a definição de potência, temos: 
(x + y)² = (x + y) · (x + y)
 • Efetuando as multiplicações indicadas, pela propriedade distributiva, temos:
(x + y) · (x + y) =
= x² + xy + yx + y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² + 2xy + y²
 • Obtemos, assim, a seguinte igualdade: 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o seguinte problema:
Dados dois segmentos de medidas x e y, como podemos calcular a área do quadrado que tem a 
medida do lado igual a (x + y)?
Solução:
Considerando dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y, temos:
x y
Usando esses dois segmentos, vamos construir o quadrado pedido no problema:
Esse quadrado tem lado (x + y) como medida, e sua área 
pode ser expressa de duas formas:
x2 xy xy y2
(x + y)2
ou
x2 + 2xy + y2
Soma das áreas das
�guras que formam
o quadrado.
Podemos escrever, então, que:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas 
vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
x2 y22xy= + +
Quadrado 
da soma
de dois termos.
Quadrado do 
1.º termo.
Quadrado do 
2.º termo.
Duas vezes o 
produto do 
1.º pelo 2.º .
(x + y)2
Como esse produto notável resulta em três monômios, que se originaram do quadrado de um 
binômio, dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito.
x
x + y
y
x y
x y
x2
y2xy
xy
Encaminhamento metodológico
Na atividade 1 da seção Atividades, informe aos alunos que, como a medida de x é 
desconhecida, o registro pode ser feito de acordo com suas escolhas.
Resposta
1. 
a) Uma possível resposta:
x
3
x 3
b) Uma possível resposta:
x
4
x 4
2. 
a) x2 + 6x + 9
b) x2 + 8x + 16
3. 
a) x² + 4x + 4
b) 25x2 + 30x + 9
c) 4
9
20
3
25
2x x
+ +
d) x
x2 6
5
9
25
+ +
4. (x + 6)2 = x2 + 12x + 36
EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 73EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 73 14/12/2020 14:02:5014/12/2020 14:02:50
74 MATEMÁTICA
75MATEMÁTICA
1. Utilizando o quadrado da diferença de dois termos, desenvolva algebricamente as expressões 
a seguir.
a) (a – 3)2 = 
b) (x – 5)2 = 
c) (2x – 1)2 = 
d) (3y – 2)2 = 
e) (7x – 4)2 = 
f) (6a – 5)2 = 
g) (2x3 – 10)2 = 
h) 3
5
2
2
x
��
�
�
�
�
� = 
ATIVIDADES
Produto da soma pela diferença de dois termos
Considerando a expressão (x + y) · (x – y), que representa o produto da soma pela diferença de dois 
termos, vamos desenvolvê-la algebricamente:
(x + y) · (x – y) =
= x² – xy + yx – y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² – y²
Obtemos a seguinte igualdade: 
(x + y) · (x – y) = x2 – y2
Em uma folha, construa um quadrado de lado x. A partir desse quadrado, determine geome-
tricamente esta igualdade:
(x + y) · (x – y) = x2 – y2
DESENVOLVER E APLICAR
Tanto algebricamente como geometricamente, podemos escrever:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
menos o quadrado do segundo termo.
y2· = –
Quadrado do 
2.º termo.
(x + y)
Diferença dos
dois termos.
(x – y) x2
Quadrado do 
1.º termo.
Soma dos dois
termos.
O resultado desse produto notável é formado por dois monômios: o primeiro monômio é o qua-
drado do primeiro termo, e o segundo monômio é o quadrado do segundo termo. Por isso, dizemos 
que ele representa a diferença de dois quadrados.
74 MATEMÁTICA
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o seguinte problema:
Dados dois segmentos de medidas x e y, como podemos calcular a área do quadrado que tem 
como lado o segmento de medida (x – y)?
Solução:
Usando os segmentos x e y, vamos construir o quadrado pedido no problema.
y
x
(x – y) (x – y)
(x – y)
(x – y)
y(x – y) y2
y
y
xx
x
y
y(x – y)
xx
x
x
x – y
x – yx – y
x – y
O quadrado pedido no problema tem um lado (x – y) e sua área pode ser escrita nas formas (x – y)2 
ou x2 – 2xy + y2.
Podemos escrever, então, que:Podemos escrever, então, que:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
( )x x− =y 2 2
Quadrado da diferença
de dois termos.
Quadrado do 1. Duas vezes o produto
termo.
xy– 2
Quadrado do 2.
 termo.ddo 1. pelo 2. .
+ y2
Como esse produto notável resultou em três monômios, vindos do quadrado de um binômio, 
dizemos que ele também é um trinômio quadrado perfeito.
O quadrilátero ABCD é um quadrado que foi dividido em 4 quadriláteros menores. Observe 
as medidas indicadas e faça em seu caderno o que se pede.
2
y
y
2
A
D C
B
1 3
2
a) Determine a medida do lado do quadrado 1.
b) Determine a medida da área do quadrado 2.
c) Determine a área do retângulo 3. 
d) Determine a área do quadrado 1.
DESENVOLVER E APLICAR
Encaminhamento 
metodológico
Na abordagem deste 
conteúdo, é importante resolver 
muitos exemplos para que os 
alunos percebam como utilizar 
a propriedade deduzida. Para 
auxiliar na fluidez do desenvol-
vimento do conteúdo, é interes-
sante que o estudante perceba 
que o resultado desse produto 
notável é um trinômio quadra-
do perfeito, pois isso possibi-
litará ao aluno mais facilidade 
em utilizar esse conteúdo em 
fatoração. 
É interessante construir 
esse quadrado aos poucos, 
com os alunos, para que eles 
percebam que podem calcular, 
primeiro, a área total fazen-
do a área do quadrado maior 
e, depois, subtrair as demais 
áreas, encontrando os valores 
das medidas dos lados dos 
quadriláteros.
Na seção Desenvolver e 
aplicar, se possível, faça a ativi-
dade com outros valores.
Resposta
a) y – 2 
b) A área do quadrado 2 é 4 u.a.
c) O lado maior do retângulo 
3 mede (y – 2) e o lado menor 
mede 2. Logo, a área do 
retângulo 3 é 2(y – 2) = 2y – 4.
d) Sabemos que a área do 
quadrado 1 é igual à área 
do quadrado ABCD menos a 
área dos retângulos menos 
a área do quadrado 2. Então, 
temos:
y2 – (2y – 4) – (2y – 4) – 4 = 
= y2 – 2y + 4 – 2y + 4 – 4 = 
= y2 – 4y + 4 = (y – 2)2
Orientação para RA
Esta Realidade aumentada 
apresenta um jogo em que o 
aluno deve indicar qual expres-
são algébrica corresponde ao 
produto notável solicitado.
Sugestão de atividade
1. Utilizando a regra dos 
produtos notáveis, calcule:
a) (2x + 3y)²
 Solução:
Para essa sugestão, é interessante relem-
brar as propriedades de multiplicação de 
potências de mesma base.
(2x + 3y)2 = 
= (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 =
= 4x2 + 12xy + 9y2
b) (a4 – xy)2
 Solução:
(a4 – xy)2 = (a4)2 – 2 · a4 · xy + (xy)2 =
= a8 – 2a4xy + x2y2
2. Utilize a figura a seguir e seus 
conhecimentos de Geometria para 
interpretar: 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
b
b
b a
a
a
 Solução:
Área total = a2 + b2.
Área dos retângulos = 2ab.
Área do quadrado = (a – b)2.
Área do quadrado =
área total – área dos retângulos.
(a – b)2 = (a2 + b2) – (2ab) ⇒
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 74PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 74 08/12/2020 14:15:1208/12/2020 14:15:12
75MATEMÁTICA
75MATEMÁTICA
1. Utilizando o quadrado da diferença de dois termos, desenvolva algebricamente as expressões 
a seguir.
a) (a – 3)2 = 
b) (x – 5)2 = 
c) (2x – 1)2 = 
d) (3y – 2)2 = 
e) (7x – 4)2 = 
f) (6a – 5)2 = 
g) (2x3 – 10)2= 
h) 3
5
2
2
x
��
�
�
�
�
� = 
ATIVIDADES
Produto da soma pela diferença de dois termos
Considerando a expressão (x + y) · (x – y), que representa o produto da soma pela diferença de dois 
termos, vamos desenvolvê-la algebricamente:
(x + y) · (x – y) =
= x² – xy + yx – y² = Como xy e yx são iguais, podemos somá-los.
= x² – y²
Obtemos a seguinte igualdade: Obtemos a seguinte igualdade: 
(x + y) · (x – y) = x2 – y2
Em uma folha, construa um quadrado de lado x. A partir desse quadrado, determine geome-
tricamente esta igualdade:
(x + y) · (x – y) = x2 – y2
DESENVOLVER E APLICAR
Tanto algebricamente como geometricamente, podemos escrever:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
menos o quadrado do segundo termo.
y2· = –
Quadrado do 
2.º termo.
(x + y)
Diferença dos
dois termos.
(x – y) x2
Quadrado do 
1.º termo.
Soma dos dois
termos.
O resultado desse produto notável é formado por dois monômios: o primeiro monômio é o qua-
drado do primeiro termo, e o segundo monômio é o quadrado do segundo termo. Por isso, dizemos 
que ele representa a diferença de dois quadrados.
74 MATEMÁTICA
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o seguinte problema:
Dados dois segmentos de medidas x e y, como podemos calcular a área do quadrado que tem 
como lado o segmento de medida (x – y)?
Solução:
Usando os segmentos x e y, vamos construir o quadrado pedido no problema.
y
x
(x – y) (x – y)
(x – y)
(x – y)
y(x – y) y2
y
y
xx
x
y
y(x – y)
xx
x
x
x – y
x – yx – y
x – y
O quadrado pedido no problema tem um lado (x – y) e sua área pode ser escrita nas formas (x – y)2 
ou x2 – 2xy + y2.
Podemos escrever, então, que:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
( )x x− =y 2 2
Quadrado da diferença
de dois termos.
Quadrado do 1. Duas vezes o produto
termo.
xy– 2
Quadrado do 2.
 termo.ddo 1. pelo 2. .
+ y2
Como esse produto notável resultou em três monômios, vindos do quadrado de um binômio, 
dizemos que ele também é um trinômio quadrado perfeito.
O quadrilátero ABCD é um quadrado que foi dividido em 4 quadriláteros menores. Observe 
as medidas indicadas e faça em seu caderno o que se pede.
2
y
y
2
A
D C
B
1 3
2
a) Determine a medida do lado do quadrado 1.
b) Determine a medida da área do quadrado 2.
c) Determine a área do retângulo 3. 
d) Determine a área do quadrado 1.
DESENVOLVER E APLICAR
Encaminhamento metodológico
Explique aos alunos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Para facilitar o 
estudo de fatoração, proporcione aos estudantes a percepção de que esse resultado 
pode ser denominado diferença de dois quadrados. Para a seção Desenvolver e aplicar, 
providencie antecipadamente uma folha de sulfite A4 para cada aluno ou forme duplas.
Resposta
1. 
a) a2 – 6a + 9
b) x2 – 10x + 25
c) 4x2 – 4x + 1
d) 9y2 – 12y + 4
e) 49x² – 56x + 16
f ) 36a2 – 60a + 25
g) 4x6 – 40x3 + 100
h) 9
25
12
5
4
2x x
− +
A resposta para a seção 
Desenvolver e aplicar é:
Usando dois segmentos, 
x e y, construímos a figura 1, 
que é um retângulo cujos lados 
medem (x + y) e (x – y). 
Figura 1.
y
y
y
x
x
(x – y)
(x + y)
(x + y) · (x – y)
Recortando na linha 
pontilhada, podemos formar a 
figura 2.
Figura 2.
x
y
y
(x
2
 – y
2
)
x
(x – y)
y
2
A área do retângulo na 
figura 1 é: (x + y) · (x – y).
A área do retângulo na 
figura 2 é: x² – y².
Como as áreas das figuras 
1 e 2 são iguais, podemos escre-
ver a igualdade:
(x + y) · (x – y) = x² – y²
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 75PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 75 08/12/2020 14:15:1408/12/2020 14:15:14
76 MATEMÁTICA
76 MATEMÁTICA
1. Desenvolva algebricamente as expressões a seguir utilizando o quadrado da soma pela dife-
rença de dois termos.
a) (3 + x) · (3 – x) = 
b) (x + 4) · (x – 4) = 
c) (7 + b) · (7 – b) = 
2. Observe as igualdades a seguir, diga quais são verdadeiras e corrija as falsas.
I. (b – 2c)2 = b2 – 4bc + 4c2 
II. (3y – a) · (3y + a) = 3y2 – a2 
III. (2c + a)2 = 2c2 + 4ac + a2 
ATIVIDADES
Cubo da soma de dois termos
Dados dois termos, x e y, deseja-se calcular (x + y)3. Sabe-se que:
(x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = (x + y) · (x2 + 2xy + y2) =
= x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 =
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Portanto:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
1. Utilizando as regras dos produtos notáveis, desenvolva em seu caderno as expressões a seguir.
a) (2a + 1)3 b) (x2 + 2)3 c) (3x + 4y)3 d) (2a2+2)3
ATIVIDADES
Cubo da diferença de dois termos
Dados os termos x e y, deseja-se calcular (x – y)3. De modo similar ao desenvolvimento do produto 
anterior, temos:
(x – y)3 = (x – y) · (x – y)2 = (x – y) · (x2 – 2xy + y2) =
= x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3 =
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Portanto:
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Resposta
As respostas para a primei-
ra seção Atividades são:
1. 
a) 9 – x2
b) x2 – 16
c) 49 – b2
2. Verdadeira: I.
Correções das falsas:
II. (3y – a) · (3y + a) = 
= (3y)2 – a2 = 9y2 – a2
III. (2c + a)2 = 
= (2c)2 + 2 · (2c) · a + a2 = 
= 4c2 + 4ac + a2
As respostas para a segun-
da seção Atividades são:
1. 
a) 8a3 + 12a2 + 6a + 1
b) x6 + 6x4 + 12x2 + 8
c) 27x3 + 108x2y + 144xy2 + 64y3
d) 8a6 +24a4 +24a2 + 8
77MATEMÁTICA
1. O desenvolvimento de (x – 1)3 corresponde a: 
2. Se P = x3 – 3x2 – 2 e Q = 3x + 1, a expressão P + Q é igual a (x – 2)3 ou a (x – 1)3? 
ATIVIDADES
Produto de binômios 
Produto de (x + a) por (x + b) 
Dados os dois fatores (x + a) e (x + b), deseja-se calcular (x + a) · (x + b). Algebricamente, temos:
(x + a) · (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab
Portanto,
(x + a) · (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Produto de (x + a) por (x – b) 
Dados os dois fatores (x + a) e (x – b), deseja-se calcular (x + a) · (x – b). Algebricamente, temos:
(x + a) · (x – b) = x2 – bx + ax – ab = x2 + (a – b)x – ab
Portanto,
(x + a) · (x + b) = x2 + (a – b)x – ab
No caso de o produto ser entre (x – a) e (x + b), o resultado é obtido da mesma maneira.
Produto de (x – a) por (x – b) 
Dados os dois fatores (x – a) e (x – b), deseja-se calcular (x – a) · (x – b). Algebricamente, temos:
(x – a) · (x – b) = x2 – bx – ax + ab = x2 – (a + b)x + ab
Portanto,
(x – a) · (x – b) = x2 – (a + b)x + ab
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 76PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 76 08/12/2020 14:15:1508/12/2020 14:15:15
77MATEMÁTICA
76 MATEMÁTICA
1. Desenvolva algebricamente as expressões a seguir utilizando o quadrado da soma pela dife-
rença de dois termos.
a) (3 + x) · (3 – x) = 
b) (x + 4) · (x – 4) = 
c) (7 + b) · (7 – b) = 
2. Observe as igualdades a seguir, diga quais são verdadeiras e corrija as falsas.
I. (b – 2c)2 = b2 – 4bc + 4c2 
II. (3y – a) · (3y + a) = 3y2 – a2 
III. (2c + a)2 = 2c2 + 4ac + a2 
ATIVIDADES
Cubo da soma de dois termos
Dados dois termos, x e y, deseja-se calcular (x + y)3. Sabe-se que:
(x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = (x + y) · (x2 + 2xy + y2) =
= x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 =
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Portanto:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
1. Utilizando as regras dos produtos notáveis, desenvolva em seu caderno as expressões a seguir.
a) (2a + 1)3 b) (x2 + 2)3 c) (3x + 4y)3 d) (2a2+2)3
ATIVIDADES
Cubo da diferença de dois termos
Dados os termos x e y, deseja-se calcular (x – y)3. De modo similar ao desenvolvimento do produto 
anterior, temos:
(x – y)3 = (x – y) · (x – y)2 = (x – y) · (x2 – 2xy + y2) =
= x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3 =
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Portanto:
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Encaminhamento metodológico
Explique aos alunos que o produto dos binômios (x + a) e (x + b) é igual ao qua-
drado da incógnita somado à (ou subtraído da) incógnita multiplicada pela soma das 
constantes e, por último, somado com o (ou subtraído do) produto das constantes.Esse 
conceito será importante na fatoração do trinômio do 2.º grau.
Resposta
As respostas para a primeira seção Atividades são:
1. x3 – 3x2 + 3x – 1 
2. (x – 1)3
77MATEMÁTICA
1. O desenvolvimento de (x – 1)3 corresponde a: 
2. Se P = x3 – 3x2 – 2 e Q = 3x + 1, a expressão P + Q é igual a (x – 2)3 ou a (x – 1)3? 
ATIVIDADES
Produto de binômios 
Produto de (x + a) por (x + b) 
Dados os dois fatores (x + a) e (x + b), deseja-se calcular (x + a) · (x + b). Algebricamente, temos:
(x + a) · (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab
Portanto,
(x + a) · (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Produto de (x + a) por (x – b) 
Dados os dois fatores (x + a) e (x – b), deseja-se calcular (x + a) · (x – b). Algebricamente, temos:
(x + a) · (x – b) = x2 – bx + ax – ab = x2 + (a – b)x – ab
Portanto,
(x + a) · (x + b) = x2 + (a – b)x – ab
No caso de o produto ser entre (x – a) e (x + b), o resultado é obtido da mesma maneira.
Produto de (x – a) por (x – b) 
Dados os dois fatores (x – a) e (x – b), deseja-se calcular (x – a) · (x – b). Algebricamente, temos:
(x – a) · (x – b) = x2 – bx – ax + ab = x2 – (a + b)x + ab
Portanto,
(x – a) · (x – b) = x2 – (a + b)x + ab
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 77PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 77 08/12/2020 14:15:1608/12/2020 14:15:16
78 MATEMÁTICA
79MATEMÁTICA
2. Utilizando os conceitos de área de quadrado e retângulo, obser-
ve a figura e obtenha o resultado de (a + b + c)2. (Esse é o produto 
notável conhecido como quadrado da soma de três termos.)
3. Sabendo que y2 + n2 = 53 e yn = 14, determine o valor de (y + n)2.
4. Sabendo que o lado de um quadrado vale (x – 3), determine a expressão que representa a sua 
área. 
5. Desenvolva e reduza os termos semelhantes das expressões a seguir:
a) (–x + 2)² + (–x – 2)² 
b) (x + 2) · (x – 1)² 
6. Assinale a sentença verdadeira e corrija as falsas.
a) (2x – 1)2 = 4x2 – 1
c) (x + 1) · (x + 1) = x2 – 2x + 1
b) 1
2
2
1
2
4
2
2x x x+





 = + +
d) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
7. Qual é a forma mais simples de escrever o polinômio (a – b)2 + (a + b) · (a – b) – (a + b)2?
8. Desenvolva os produtos notáveis a seguir.
a) (x3 + 1)2
b) 
x y
2 4
2
−






a
a
b
b
c
c
78 MATEMÁTICA
1. Analise se a sentença a seguir é verdadeira ou falsa. Se for falsa, corrija-a em seu caderno.
(x – 1) · (x + 1) = x2 – 2x + 1
ATIVIDADES
Para esta atividade, forme uma dupla. Cada um de vocês deve, primeiro, elaborar uma situa-
ção-problema contextualizada para cada uma das figuras a seguir utilizando o que aprendeu neste 
capítulo. Em seguida, troquem suas produções para que cada um resolva as situações-problema 
criadas pelo outro. 
Figura 1.
a
a
b
b
Figura 2.
a
a
b
b
Houve alguma divergência entre a sua resposta e a resposta de seu colega? Se sim, o que pode 
tê-la causado?
INTERAÇÃO
1. Em um condomínio será construída uma área de lazer como a representada na figura. Qual 
parte está sendo representada pelas expressões?
a) a2 
b) 2ab 
c) b2 
d) (a + b)2 
ATIVIDADES
a b
b
a
Jardim
Ja
rd
im
Salão de festas
Piscina
Encaminhamento 
metodológico
Na atividade proposta 
na seção Interação está sen-
do desenvolvida a habilidade 
EF08MA06 da BNCC ao solicitar 
aos alunos que elaborem uma 
situação-problema envolvendo 
produtos notáveis. É provável 
que apareçam situações-proble-
ma diferentes.
Resposta
1. A sentença é falsa. O correto 
é (x – 1) · (x + 1) = x2 – 1.
As respostas para a seção 
Interação são pessoais.
As respostas para a segun-
da seção Atividades são:
1. 
a) Piscina
b) Jardins
c) Salão de festas
d) Área de lazer
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 78PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 78 08/12/2020 14:15:1908/12/2020 14:15:19
79MATEMÁTICA
79MATEMÁTICA
 2. Utilizando os conceitos de área de quadrado e retângulo, obser-
ve a figura e obtenha o resultado de (a + b + c)2. (Esse é o produto 
notável conhecido como quadrado da soma de três termos.)
3. Sabendo que y2 + n2 = 53 e yn = 14, determine o valor de (y + n)2.
4. Sabendo que o lado de um quadrado vale (x – 3), determine a expressão que representa a sua 
área. 
5. Desenvolva e reduza os termos semelhantes das expressões a seguir:
a) (–x + 2)² + (–x – 2)² 
b) (x + 2) · (x – 1)² 
6. Assinale a sentença verdadeira e corrija as falsas.
a) (2x – 1)2 = 4x2 – 1 b) 
c) (x + 1) · (x + 1) = x2 – 2x + 1 d) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
7. Qual é a forma mais simples de escrever o polinômio (a – b)2 + (a + b) · (a – b) – (a + b)2?
8. Desenvolva os produtos notáveis a seguir.
a) (x3 + 1)2 
b) 
x y
2 4
2
−






a
a
b
b
c
c
1
2
2
1
2
4
2
2x x x+





 = + +
78 MATEMÁTICA
 
 
 
1. Analise se a sentença a seguir é verdadeira ou falsa. Se for falsa, corrija-a em seu caderno.
(x – 1) · (x + 1) = x2 – 2x + 1
ATIVIDADES
Para esta atividade, forme uma dupla. Cada um de vocês deve, primeiro, elaborar uma situa-
ção-problema contextualizada para cada uma das figuras a seguir utilizando o que aprendeu neste 
capítulo. Em seguida, troquem suas produções para que cada um resolva as situações-problema 
criadas pelo outro. 
Figura 1.
a
a
b
b
Figura 2.
a
a
b
b
Houve alguma divergência entre a sua resposta e a resposta de seu colega? Se sim, o que pode 
tê-la causado?
INTERAÇÃO
1. Em um condomínio será construída uma área de lazer como a representada na figura. Qual 
parte está sendo representada pelas expressões?
a) a2 
b) 2ab 
c) b2 
d) (a + b)2 
ATIVIDADES
a b
b
a
Jardim
Ja
rd
im
Salão de festas
Piscina
Resposta
2. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
3. 81
4. x2 – 6x + 9
5. 
a) 2x2 + 8
b) x3 – 3x + 2
6. Verdadeira: D
Correções das falsas:
a) (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1
b) 
1
2
2
1
4
2 4
2
2x x x+




 = + +
c) (x + 1) · (x + 1) = x2 + 2x + 1
7. a2 – 4ab – b2
8. 
a) x6 + 2x3 + 1
b) x
4
xy
4
y
16
2 2
− +
EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 79EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 79 14/12/2020 14:02:5914/12/2020 14:02:59
80 MATEMÁTICA
81MATEMÁTICA
3. Observe a expressão [3 + (x – y)] · [3 – (x – y)]. Essa expressão é o produto de uma soma por 
uma diferença. Qual é essa soma? Qual é essa diferença?
4. Calculando o produto do exercício anterior, qual é o polinômio que se obtém?
5. (IFAL-2016) Simplifique a seguinte expressão de produtos notáveis: (2x + y)2 – (2x – y)2 – 4xy. 
Qual é o resultado obtido?
a) 4xy b) 2xy c) 0
d) –2xy e) –4xy
6. Desenvolva as expressões a seguir.
a) 2 1
2
2
x +





 b) 4
1
2
2
a−






c) x + x
2
1
2
1





⋅ −






d) x−






1
2
x
e) xy−






1
10
2
7. Utilizando o produto notável adequado, desenvolva e simplifique as expressões a seguir:
a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 + 2(2x + 1) · (2x – 1)
b) a a a
a
−





⋅





⋅ −





−
1
2
1
2
1
4
1
16 2
2
2
+ +
c) (x + 3) · (x – 3) – (x + 2) · (x – 2) d) (3x + 2)2 – (2x + 3)2 + (1 + 3x)
e) 4 1 2 2 3 5
2 2 2
x x x−( ) ( )

− −( )+ +
8. Calcule os seguintes produtos:
a) (2x + 1) · (–6x2 – 5x + 3) b) (a2 – 1) · (2a2 – 2a + 1)
c) (2x2 – 3x + 3) · (x – 3) d) (4a2 – 3ay + 2y2) · (2a – y)
9. O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas dimensões. Nessas 
condições, determine o polinômio que representa o volume do paralelepípedo abaixo.
x
x – 2
x – 4
10. Mostre que o sucessor do produto de dois números pares ou ímpares consecutivos é sempre 
um quadrado perfeito.
11. (IFAL) A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a:
a) 3x2 – 2x + 1. b) x2 – 6x + 1. c) (2x + 1)2.
d) (x – 3)2. e) (x – 2)2 – (x + 1)2.
12. (OBM-2015) Qual é o valor da expressão:
2015 2015 2014 2014 2014 20152 2− ⋅ − + ⋅
a) 0 b) 1 c) 2 015
d) 2 029 e) 4 029
80 MATEMÁTICA
c) (3x + 2y)2
d) ( )x- 3 2
9. Simplifique a expressão a seguir utilizando o produto notável adequado.
(a² + b²)² – 2(ab)²
10. Calcule (x + 3) · (x + 4).
11. No cubo a seguir, a medida da aresta é representada pelo binômioa + 2b. Obtenha um polinô-
mio com 4 termos que represente o volume desse cubo, lembrando que o volume do cubo é 
igual à medida de sua aresta elevada ao cubo.
a + 2b
1. Utilizando a regra dos produtos notáveis, desenvolva as expressões a seguir:
a) (2x + 3y)2 b) (a4 – xy)2
c) (4 – xy2) · (4 + xy2) d) (x2 – 2)2
e) (x2 – 2) · (x2 + 2) f) 
2. Assinale a alternativa que corresponde à resposta correta em relação ao desenvolvimento de 
(x + 3x)2.
a) 16x2 b) 14x2
c) 12x2 d) 8x2
VAMOS PRATICAR MAIS?
1
1
1
1
2 2
x x
















⋅
















+ +
Resposta
8. 
c) 9x² + 12xy + 4y2
d) x x2 2 3 3− +
9. a4 + b4
10. x2 + 7x + 12
11. a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento, é apre-
sentada aos alunos a seção 
Vamos praticar mais?, com ati-
vidades, na maioria, de fixação 
sobre os conteúdos estudados. 
Essas atividades devem ser 
resolvidas no caderno.
Resposta
1. 
a) 4x² + 12xy + 9y²
b) a8 – 2a4xy + x2y2
c) 16 – x2y4
d) x4 – 4x2 + 4
e) x 4 – 4
f ) 
1 2
14 2x
+
x
+
2. A
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 80PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 80 08/12/2020 14:15:3208/12/2020 14:15:32
81MATEMÁTICA
81MATEMÁTICA
 3. Observe a expressão [3 + (x – y)] · [3 – (x – y)]. Essa expressão é o produto de uma soma por 
uma diferença. Qual é essa soma? Qual é essa diferença?
4. Calculando o produto do exercício anterior, qual é o polinômio que se obtém?
5. (IFAL-2016) Simplifique a seguinte expressão de produtos notáveis: (2x + y)2 – (2x – y)2 – 4xy. 
Qual é o resultado obtido?
a) 4xy b) 2xy c) 0
d) –2xy e) –4xy
6. Desenvolva as expressões a seguir.
a) 2 1
2
2
x +





 b) 4
1
2
2
a−






c) x + x
2
1
2
1





⋅ −






d) x−






1 2
x
e) xy−






1
10
2
7. Utilizando o produto notável adequado, desenvolva e simplifique as expressões a seguir:
a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 + 2(2x + 1) · (2x – 1) b) 
c) (x + 3) · (x – 3) – (x + 2) · (x – 2) d) (3x + 2)2 – (2x + 3)2 + (1 + 3x)
e) 4 1 2 2 3 5
2 2 2
x x x−( ) ( )

− −( )+ +
8. Calcule os seguintes produtos:
a) (2x + 1) · (–6x2 – 5x + 3) b) (a2 – 1) · (2a2 – 2a + 1)
c) (2x2 – 3x + 3) · (x – 3) d) (4a2 – 3ay + 2y2) · (2a – y)
9. O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas dimensões. Nessas 
condições, determine o polinômio que representa o volume do paralelepípedo abaixo.
x
x – 2
x – 4
10. Mostre que o sucessor do produto de dois números pares ou ímpares consecutivos é sempre 
um quadrado perfeito.
11. (IFAL) A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a:
a) 3x2 – 2x + 1. b) x2 – 6x + 1. c) (2x + 1)2.
d) (x – 3)2. e) (x – 2)2 – (x + 1)2.
12. (OBM-2015) Qual é o valor da expressão:
2015 2015 2014 2014 2014 20152 2− ⋅ − + ⋅
a) 0 b) 1 c) 2 015
d) 2 029 e) 4 029
a a a
a
−





⋅





⋅ −





−
1
2
1
2
1
4
1
16 2
2
2
+ +
80 MATEMÁTICA
 
c) (3x + 2y)2
d) ( )x- 3 2
9. Simplifique a expressão a seguir utilizando o produto notável adequado.
(a² + b²)² – 2(ab)²
10. Calcule (x + 3) · (x + 4).
11. No cubo a seguir, a medida da aresta é representada pelo binômio a + 2b. Obtenha um polinô-
mio com 4 termos que represente o volume desse cubo, lembrando que o volume do cubo é 
igual à medida de sua aresta elevada ao cubo.
a + 2b
1. Utilizando a regra dos produtos notáveis, desenvolva as expressões a seguir:
a) (2x + 3y)2 b) (a4 – xy)2 
c) (4 – xy2) · (4 + xy2) d) (x2 – 2)2
e) (x2 – 2) · (x2 + 2) f) 
2. Assinale a alternativa que corresponde à resposta correta em relação ao desenvolvimento de 
(x + 3x)2.
a) 16x2 b) 14x2
c) 12x2 d) 8x2
VAMOS PRATICAR MAIS?
1
1
1
1
2 2
x x
















⋅
















+ +
Resposta
3. 
Soma: 3 + (x – y) 
Diferença: 3 – (x – y)
4. 9 – x2 – y2 + 2xy
5. A
6. 
a) 16x2
b) a4
c) –5
d) 5x2 + 3x – 4
e) 11x2 + 30x – 20
7. 
a) 4x2 + 2x + 
1
4
b) 16a2 – 4a + 
1
4
c) x
2
4
1−
d) x
1
x
2
2− +2
e) x y xy2 2
1
5
1
100
− +
8. 
a) –12x3 – 16x2 + x + 3
b) 2a4 – 2a3 – a2 + 2a – 1
c) 2x3 – 9x2 + 12x – 9
d) 8a3 – 10a2y + 7ay2– 2y3
9. V = x · (x – 2) · (x – 4) =
= x · (x2 – 4x – 2x + 8) =
= x3 – 6x2 + 8x
10. Produto de dois números 
pares ou ímpares consecutivos: 
x · (x + 2)
Sucessor: x · (x + 2) + 1 = x² + 2x + 
+ 1 = (x + 1)²
11. D
12. E
EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 81EF21_8_MAT_L2_U4_01_LP.indd 81 14/12/2020 14:03:1414/12/2020 14:03:14
82 MATEMÁTICA
82 MATEMÁTICA
Produtos notáveis – Relacionando conceitos
PRODUTOS NOTÁVEIS
cálculos algébricos
aparecem com frequência
quadrado cubo
são
que
como
da
binômio (x + a)
por (x + b)
(x – y) · (x + y) = x2 – y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
soma de dois 
termos
diferença de 
dois termos
produto
do
da
soma pela di-
ferença de dois 
termos
(x + a) · (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 82PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 82 08/12/2020 14:15:4108/12/2020 14:15:41
83MATEMÁTICA
Andrey_Kuz
min/Shu
tterstoc
k
Andrey_Kuz
min/Shu
tterstoc
k
un
idade
• Decomposição em fatores
• Fatoração com fator 
comum em evidência
• Fatoração por agrupamento
• Fatoração da diferença de dois 
quadrados
• Fatoração do trinômio 
quadrado perfeito
• Múltiplos e divisores
• MMC 
• MDC
83
An
dr
ey
_K
uz
m
in
/S
hu
tte
rst
oc
k
Escola Digital
2. Fatoração, múltiplos e divisores
Você não deve se lembrar de quando foi a primeira vez que fez um cálculo mental, mas, com certeza, 
já realizou muitas contas mentalmente. É um processo interessante, especialmente quando não temos à 
mão uma calculadora ou um papel e uma caneta. Há pessoas que levam o cálculo mental tão a sério que 
chegam a participar da Copa do Mundo de Cálculo Mental, fazendo muitos cálculos em poucos minutos.
Você está preparado? É capaz de responder, em um minuto, quanto é 1 0002 – 9992, sem usar calcula-
dora ou papel e lápis?
4
Expressões algébr
icas I
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalha-
remos a habilidade EF08MA06 
da BNCC, que é a de resolver e 
elaborar problemas que envol-
vam o cálculo do valor numé-
rico de expressões algébricas 
utilizando as propriedades 
das operações. Este capítu-
lo tem foco na fatoração de 
polinômios e em encontrar o 
MMC e o MDC deles. Destaque 
durante as aulas que o proces-
so chamado de fatoração é o 
processo inverso do desenvol-
vimento de produtos algébri-
cos. No texto inicial, comente 
com os alunos a importância 
do cálculo mental e ressalte 
que é preciso dominar técnicas 
apropriadas, pois resolver uma 
multiplicação, por exemplo, 
mentalizando o algoritmo 
tradicional pode ser confuso e 
trabalhoso. Quanto à questão 
final, sugira-a como desafio e, 
se desejar, deixe o tempo livre 
e cronometre o menor tempo 
dos alunos.
Dica para ampliar 
o trabalho
[...] considera-se cálculo 
mental um conjunto de procedi-
mentos de cálculo que podem ser 
analisados e articulados diferen-
temente por cada indivíduo para 
a obtenção mais adequada de 
resultados exatos ou aproxima-
dos, com ou sem o uso de lápis 
e papel. Os procedimentos de 
cálculo mental se apoiam nas 
propriedades do sistema de nu-
meração decimal e nas proprieda-
des das operações e colocam em 
ação diferentes tipos de escrita 
numérica, assim como diferentes 
relações entre os números. O 
cálculo mental permite maior fle-
xibilidade de calcular, bem como 
maior segurança e consciência 
na realização e confirmação dos 
resultados esperados, tornando-
-se relevante na capacidade de 
enfrentar problemas.
A IMPORTÂNCIA do cálculo mental 
para a construção do conceito de 
número. Ensinando Matemática, 26 
nov. 2012. Disponível em: http://url.
sae.digital/YNqXbVP. Acesso em: 26 
set. 2019.
Objetivos do capítulo
• Identificar fatores comuns em uma expressão algébrica.
• Escrever umaexpressão na forma fatorada.
• Aplicar o caso mais conveniente na fatoração de uma expressão.
• Encontrar o MMC e MDC de monômios.
• Encontrar o MMC e MDC de polinômios.
Realidade aumentada
• Trinômio quadrado perfeito
• Revendo MMC e MDC
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 83PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 83 08/12/2020 14:16:1908/12/2020 14:16:19
84 MATEMÁTICA
85MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Nos retângulos a seguir, estão indicadas as medidas da área e de um de seus lados. Escreva a 
área dos retângulos na forma fatorada.
a) 
2x + 2 2
b) 
3x²y – 9y 3y
2. Fatore completamente as seguintes expressões:
a) a2 + ab
d) a3 + a2 + a 
b) 2ax + 4a 
e) 12a + 8a2 
c) 3x2 – 3y 
f) 9x2 – 81
ATIVIDADES
Fatoração por agrupamento
Observe, a seguir, três maneiras distintas de calcular a área de um retângulo de medidas a + b e x + y:
x
y
a b
ax
byay
bx
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio ax + bx + ay + by.
x · (a + b)
y · (a + b)
a b
x
y
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio x(a + b) + y(a + b).
ba
x
y
(a + b) · (x + y)
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio (a + b) · (x + y).
As três figuras têm a mesma área, pois têm as mesmas medidas dos lados. Então, podemos escrever:
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b) (x y)� � � � � � � � � � �������� �������
Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na 
forma fatorada:
= x(a + b) + y(a + b) = 
= (a + b) · (x + y)
Agrupamos os termos que têm fator comum.
Em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência.
Colocamos, novamente, em evidência, o fator comum.
1. Escreva o polinômio x3 – 2x2 + x + x2y – 2xy + y na forma fatorada. 
 Solução:
Identificamos os grupos: 
Identificamos o fator comum: 
Colocamos o fator comum em evidência: 
Identificamos o fator comum: 
Colocamos o fator comum em evidência: 
COLOCANDO EM PRÁTICA
 x3 – 2x2 + x + x2y – 2xy + y
Fator comum: x Fator comum: y
x(x2 – 2x + 1) + y(x2 – 2x + 1)
Fator comum: x2 – 2x + 1
(x2 – 2x + 1) · (x + y)
84 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
Decomposição em fatores
Um número composto pode ser escrito como produto de outros números. Por exemplo, o número 
36 pode ser escrito na forma dos seguintes produtos: 
2 · 18 = 3 · 12 = 4 · 9 = 2² · 3² = ...
Dizemos que 22 · 32 é a decomposição em fatores primos de 36, ou seja, escrevemos o número 
36 como produto de números primos. Ainda, dizemos que os produtos são formas fatoradas de 36 
ou fatorações de 36.
Do mesmo modo, existem polinômios que podem ser escritos como produto de outros polinômios, 
ou seja, em forma fatorada.
 Exemplo:
Que expressão algébrica representa a área da figura 
ao lado?
Solução:
A figura nos mostra um quadrado ABCD, um retângulo 
CDEF e um retângulo ABFE. De acordo com a figura, 
podemos escrever:
Área do quadrado ABCD + área do retângulo CDEF = área do retângulo ABFE ou
x xy x x y2 � � ���� ��� ��( )
Polinômio.
Forma fatorada do polinômio.
Nesse caso, o fator x aparece nos dois termos do polinômio e foi colocado em evidência.
Examinaremos, a seguir, alguns casos de fatoração algébrica.
Fatoração com fator comum em evidência
Sabe-se, pela propriedade distributiva, que:
3(x + y) = 3x + 3y, em que 3 e (x + y) são fatores.
Como 3 é um fator comum que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado em evi-
dência, percebemos que x + y é o mesmo que (3x : 3) + (3y : 3) ou 
3x 3y
3 3
x y
+ .
Diante do que foi exposto, podemos dizer que:
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em 
evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão que se obtém dividin-
do-se cada termo do polinômio pelo fator comum.
x2 xy
x y
A D E
FCB
x
Encaminhamento 
metodológico
Comente com os alunos 
que todo número natural dife-
rente de 1 pode ser decomposto 
em fatores. Faça outros exem-
plos com os alunos. Lembre-os 
de que há uma regra prática 
para a decomposição: 
Passo 1: dividimos o 
número pelo seu menor divisor 
primo.
Passo 2: dividimos o 
quociente obtido pelo menor 
divisor primo.
Passo 3: repetimos o passo 
2 até obter como quociente o 
número 1.
O produto dos números 
primos obtido será a nossa 
fatoração.
Posteriormente, comente 
que podemos fatorar um polinô-
mio colocando o fator comum 
em evidência. Após abordar a 
fatoração pelo fator comum 
em evidência e a fatoração por 
agrupamento, faça os exemplos a 
seguir com os alunos:
 Exemplos:
1. Fatore a expressão:
5ab2 + 10a2b2 – 15a3b4
Solução:
Fator comum:
Parte numérica: 
MDC (5, 10, 15) = 5
Parte literal: ab2
Logo, o fator comum é 5ab2.
Dividindo cada termo da ex-
pressão 5ab2 + 10a2b2 – 15a3b4
pelo fator comum, temos:
(5ab2 + 10a2b2 – 15a3b4) : (5ab2) = 
= 1 + 2a – 3a2b2
Portanto: 5ab2 + 10a2b2 – 
– 15a3b4 = 5ab2 (1 + 2a – 3a2b2)
2. Dada a expressão 
mx – nx + 2m – 2n, escreva esse 
polinômio na forma fatorada.
Solução:
mx – nx + 2m – 2n = 
= x (m – n) + 2 (m – n) = 
= (m – n) (x + 2).
Então, (m – n) · (x + 2) é a forma 
fatorada de 
mx – nx + 2m – 2n.
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 84PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 84 08/12/2020 14:16:2308/12/2020 14:16:23
85MATEMÁTICA
85MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Nos retângulos a seguir, estão indicadas as medidas da área e de um de seus lados. Escreva a 
área dos retângulos na forma fatorada.
a) 
2x + 2 2
b) 
3x²y – 9y 3y
2. Fatore completamente as seguintes expressões:
a) a2 + ab
d) a3 + a2 + a 
b) 2ax + 4a 
e) 12a + 8a2 
c) 3x2 – 3y 
f) 9x2 – 81
ATIVIDADES
Fatoração por agrupamento
Observe, a seguir, três maneiras distintas de calcular a área de um retângulo de medidas a + b e x + y:
x
y
a b
ax
byay
bx
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio ax + bx + ay + by.
x · (a + b)
y · (a + b)
a b
x
y
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio x(a + b) + y(a + b).
ba
x
y
(a + b) · (x + y)
A área dessa figura pode ser dada 
pelo polinômio (a + b) · (x + y).
As três figuras têm a mesma área, pois têm as mesmas medidas dos lados. Então, podemos escrever:
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b) (x y)� � � � � � � � � � �������� �������
Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na 
forma fatorada:
= x(a + b) + y(a + b) = 
= (a + b) · (x + y)
Agrupamos os termos que têm fator comum.
Em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência.
Colocamos, novamente, em evidência, o fator comum.
1. Escreva o polinômio x3 – 2x2 + x + x2y – 2xy + y na forma fatorada. 
 Solução:
Identificamos os grupos: 
Identificamos o fator comum: 
Colocamos o fator comum em evidência: 
Identificamos o fator comum: 
Colocamos o fator comum em evidência: 
COLOCANDO EM PRÁTICA
 x3 – 2x2 + x + x2y – 2xy + y
Fator comum: x Fator comum: y
x(x2 – 2x + 1) + y(x2 – 2x + 1)
Fator comum: x2 – 2x + 1
(x2 – 2x + 1) · (x + y)
84 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
Decomposição em fatores
Um número composto pode ser escrito como produto de outros números. Por exemplo, o número 
36 pode ser escrito na forma dos seguintes produtos: 
2 · 18 = 3 · 12 = 4 · 9 = 2² · 3² = ...
Dizemos que 22 · 32 é a decomposição em fatores primos de 36, ou seja, escrevemos o número 
36 como produto de números primos. Ainda, dizemos que os produtos são formas fatoradas de 36 
ou fatorações de 36.
Do mesmo modo, existem polinômios que podem ser escritos como produto de outros polinômios, 
ou seja, em forma fatorada.
 Exemplo:
Que expressão algébrica representa a área da figura 
ao lado?
Solução:
A figura nos mostra um quadrado ABCD, um retângulo 
CDEF e um retângulo ABFE. De acordo com a figura, 
podemos escrever:
Área do quadrado ABCD + área do retângulo CDEF = área do retângulo ABFE ou
x xy x x y2 � � ���� ��� ��( )
Polinômio.
Forma fatorada do polinômio.
Nesse caso, o fator x aparece nos dois termosdo polinômio e foi colocado em evidência.
Examinaremos, a seguir, alguns casos de fatoração algébrica.
Fatoração com fator comum em evidência
Sabe-se, pela propriedade distributiva, que:
3(x + y) = 3x + 3y, em que 3 e (x + y) são fatores.
Como 3 é um fator comum que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado em evi-
dência, percebemos que x + y é o mesmo que (3x : 3) + (3y : 3) ou 
3x 3y
3 3
x y
+ .
Diante do que foi exposto, podemos dizer que:
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em 
evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão que se obtém dividin-
do-se cada termo do polinômio pelo fator comum.
x2 xy
x y
A D E
FCB
x
2. 
a) a(a + b)
b) 2a(x + 2)
c) 3(x2 – y)
d) a(a2 + a + 1)
e) 4a(3 + 2a)
f ) 9(x2 – 9) ou 9(x – 3)(x + 3)
Encaminhamento metodológico
Na atividade 2, oriente os alunos na determinação do fator comum. O termo com-
pletamente sugere que o fator com a incógnita fique o mais simplificado possível.
Quando estiver trabalhando com o conceito de Fatoração por agrupamento, 
informe que, para utilizá-lo, precisamos agrupar os termos semelhantes e colocá-los em 
evidência, como está descrito na seção Colocando em prática.
Resposta
1. 
a) 2(x + 1)
b) 3y(x2 – 3)
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 85PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 85 08/12/2020 14:16:2308/12/2020 14:16:23
86 MATEMÁTICA
87MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Fatore os seguintes polinômios:
a) x2 – 81 b) 100 – a2 c) b2
4
25
-
ATIVIDADES
No início deste capítulo, perguntamos se você seria capaz de calcular mentalmente 1 0002 – 9992 
em um minuto. Agora você vai ver como isso é possível.
Observe:
92 – 82 = (9 + 8) · (9 – 8) = 17 · 1 = 17
102 – 92 = (10 + 9) · (10 – 9) = 19 · 1 = 19
252 – 242 = (25 + 24) · (25 – 24) = 49 · 1 = 49
a) Que característica comum os números que foram subtraídos apresentam? 
b) Você percebeu alguma regularidade? Qual?
c) Qual é o resultado de 1 0002 – 9992? 
DESENVOLVER E APLICAR
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Vamos considerar as figuras que já estudamos:
y
x
y
y
xx
x
y
A figura representa um quadrado de 
lado (x + y), cuja área pode ser indicada de 
duas maneiras: 
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
A figura colorida e não hachurada 
representa um quadrado de lado (x – y), cuja 
área pode ser indicada de duas maneiras:
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
De forma geral, podemos dizer que:
x 2xy y = (x y)2 2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
������� ���+ + +
2 2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
x 2xy y = (x y)− + −������� ���e
86 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Os retângulos a seguir estão divididos em retângulos menores. Observe as medidas indicadas 
e escreva a área dos retângulos nas formas fatorada e não fatorada.
a) aax
bx by
b) 1
b
y
3b
2. Fatore completamente as seguintes expressões:
a) 12 + 4a + 3b + ab 
b) 6 + 3a – 2b – ab 
c) 3x + xy + 3y + y2
ATIVIDADES
A área da figura colorida pode ser indicada pelo poli-
nômio x² – y², em que x² é a área do quadrado maior e y² é a 
área do quadrado menor. O polinômio x² – y² expressa uma 
diferença de dois quadrados.
Se recortarmos a figura 1 no pontilhado a seguir, podemos formar uma nova figura. Quando jun-
tamos as duas partes, temos:
(x – y)
x
x
y
y
Figura 1.
(x – y)
x
Figura 2.
y
(x – y)
(x – y)
Observe que a área da figu-
ra 1, expressa por x² – y², e a 
área da figura 2, expressa por 
(x + y) · (x – y), são iguais. Portanto, 
podemos escrever:
2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
x y (x y) (x y)� � � � ���� �������
Na forma fatorada, observe que: 2
2
x x
y y
=
=
raiz quadrada do 1.º termo.
raiz quadrada do 2.º termo.
 Exemplos:
• 25 – y 2 = (5 + y) · (5 – y) • 16y 2 – x 2 = (4y – x) · (4y + x)
Fatoração da diferença de dois quadrados
Considere a seguinte figura:
x2 – y2
x
x
y
y
Encaminhamento 
metodológico
Na atividade 1, inicialmen-
te, os alunos devem determinar 
as medidas dos lados dos polí-
gonos e, para isso, devem obser-
var a área do outro polígono. 
Por exemplo, o retângulo tem 
área ax. Um lado pode medir 1 e 
o outro ax, assim como um lado 
pode medir a e o outro x. Como 
é dada a medida a, o aluno usa 
essa informação e determina 
a medida do outro lado do 
retângulo. 
Na atividade 2, caso os 
alunos tenham dificuldade, 
pode-se desenhar um retân-
gulo, dividi-lo em retângulos 
menores e colocar os valores 
das áreas dentro dos retângulos 
menores (processo inverso do 
que fazemos normalmente). 
Destaque também que, para co-
locar o valor das áreas, deve-se 
tomar cuidado com os fatores 
em comum.
Resposta
1. 
a) (a + b) · (x + y) e 
ax + bx + ay + by
b) (1 + b) · (3 + y) e 
3 + y + 3b + yb
2. 
a) (4 + b) · (3 + a)
b) (3 – b) · (2 + a) 
c) (x + y) · (3 + y)
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 86PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 86 08/12/2020 14:16:2708/12/2020 14:16:27
87MATEMÁTICA
87MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Fatore os seguintes polinômios:
a) x2 – 81 b) 100 – a2 c) b2
4
25
-
ATIVIDADES
No início deste capítulo, perguntamos se você seria capaz de calcular mentalmente 1 0002 – 9992 
em um minuto. Agora você vai ver como isso é possível.
Observe:
92 – 82 = (9 + 8) · (9 – 8) = 17 · 1 = 17
102 – 92 = (10 + 9) · (10 – 9) = 19 · 1 = 19
252 – 242 = (25 + 24) · (25 – 24) = 49 · 1 = 49
a) Que característica comum os números que foram subtraídos apresentam? 
b) Você percebeu alguma regularidade? Qual?
c) Qual é o resultado de 1 0002 – 9992? 
DESENVOLVER E APLICAR
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Vamos considerar as figuras que já estudamos:
y
x
y
y
xx
x
y
A figura representa um quadrado de 
lado (x + y), cuja área pode ser indicada de 
duas maneiras: 
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
A figura colorida e não hachurada 
representa um quadrado de lado (x – y), cuja 
área pode ser indicada de duas maneiras:
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
De forma geral, podemos dizer que:
x 2xy y = (x y)2 2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
������� ���+ + +
2 2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
x 2xy y = (x y)− + −������� ���e
86 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Os retângulos a seguir estão divididos em retângulos menores. Observe as medidas indicadas 
e escreva a área dos retângulos nas formas fatorada e não fatorada.
a) aax
bx by
b) 1
b
y
3b
2. Fatore completamente as seguintes expressões:
a) 12 + 4a + 3b + ab 
b) 6 + 3a – 2b – ab 
c) 3x + xy + 3y + y2
ATIVIDADES
A área da figura colorida pode ser indicada pelo poli-
nômio x² – y², em que x² é a área do quadrado maior e y² é a 
área do quadrado menor. O polinômio x² – y² expressa uma 
diferença de dois quadrados.
Se recortarmos a figura 1 no pontilhado a seguir, podemos formar uma nova figura. Quando jun-
tamos as duas partes, temos:
(x – y)
x
x
y
y
Figura 1.
(x – y)
x
Figura 2.
y
(x – y)
(x – y)
Observe que a área da figu-
ra 1, expressa por x² – y², e a 
área da figura 2, expressa por 
(x + y) · (x – y), são iguais. Portanto, 
podemos escrever:
2 2
Forma fatorada do
polinômio
Polinômio
x y (x y) (x y)� � � � ���� �������
Na forma fatorada, observe que: 2
2
x x
y y
=
=
raiz quadrada do 1.º termo.
raiz quadrada do 2.º termo.
 Exemplos:
• 25 – y 2 = (5 + y) · (5 – y) • 16y 2 – x 2 = (4y – x) · (4y + x)
Fatoração da diferença de dois quadrados
Considere a seguinte figura:
x2 – y2
x
x
y
y
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. 
a) x² – 81 = (x + 9) · (x – 9) 
b) 100 – a² = (10 + a) · (10 – a)
c) b b b2
4
25
2
5
2
5
− = +




 ⋅ −






Encaminhamento metodológico
Comente com os alunos que a fatoração da diferença de dois quadrados só pode 
ser utilizada em expressões algébricas que apresentam dois monômios elevados ao 
quadrado, e a operação entre eles é uma subtração.
Na seção Desenvolver e aplicar, retomamos a questão inicial do capítulo, porém 
usando fatoração. As duas perguntas anterioresà questão inicial têm o objetivo de 
preparar os alunos para perceberem a regularidade.
Resposta
As respostas para a seção Desenvolver e aplicar são:
a) São consecutivos.
b) Resposta pessoal. Espera-se que o aluno perceba que, quando se subtrai o quadrado 
de um número do quadrado de seu sucessor, o resultado é a soma dos números.
c) 1 999
PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 87PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 87 08/12/2020 14:16:3008/12/2020 14:16:30
88 MATEMÁTICA
89MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
Brincadeiras numéricas
Uma brincadeira matemática muito conhecida é a “mate-
mágica”, que acontece quando uma pessoa pede para que 
você pense em um número, realiza várias operações com esse 
número e consegue, com a sua resposta ao final das operações, 
“descobrir” o número que você pensou. Vejamos, a 
seguir, um exemplo dessa brincadeira.
• Pense em um número qualquer.
• Multiplique-o por 4.
• Ao resultado, some 8.
• Divida o resultado por 2.
• Ao resultado, some 2.
• Divida o resultado por 2.
• O resultado obtido menos 3 é o número pensado.
Incrível isso, não?! Mas, na verdade, isso é pura Matemática. 
Vamos demonstrar algebricamente o funcionamento 
dessa “mágica” matemática:
• Pense em um número qualquer: n
• Multiplique-o por 4: 4n
• Ao resultado, some 8: 4n + 8
• Divida o resultado por 2: 4 8
2
n+
• Ao resultado, some 2: 4 8
2
2
n+
+
• Divida o resultado por 2: 
4 8
2
2
2
n+
+
• O resultado obtido menos 3 é o número pensado:
4 8
2
2
2
3
n
n
+
+
− =
Precisamos, então, demonstrar essa identidade. Para isso, desenvolvemos o primeiro membro 
para encontrarmos a igualdade.
4 8
2
2
2
3
2 2 4
2
2
2
3
2 4 2
2
3
2 6
2
3
2 3
2
3
n n
n n
n
n
+ +
− =
+ +
− = + + − = + −
= + − = +
( )
( )
( )
( 33 3)− =n
Demonstrando a igualdade, é possível afirmar que, independentemente do número escolhido 
inicialmente, o resultado será sempre igual a esse número. Observe que, na demonstração, foi utili-
zado um dos casos de fatoração. Você sabe dizer qual foi?
de
lc
ar
m
at
/S
hu
tt
er
st
oc
k
88 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Fatore cada um deles.
a) x x
2
5
1
25
− +2 b) 
1
4
1
3
1
9
m m− +2
ATIVIDADES
1. Fatore os trinômios a seguir.
a) x² + 2x + 1 b) x + 3x +
9
4
2
ATIVIDADES
Identificando trinômios quadrados perfeitos
Existem trinômios que não são quadrados perfeitos. 
Como reconhecer, então, um trinômio quadrado perfeito?
Para verificarmos se um trinômio é quadrado perfeito, procederemos da seguinte forma:
• inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados perfei-
tos. Para isso, extrai-se a raiz quadrada de cada termo quadrado;
• em seguida, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o 
resultado é igual ao termo que não é quadrado perfeito.
Existem trinômios que não são quadrados perfeitos. 
Como reconhecer, então, um trinômio quadrado perfeito?
Para verificarmos se um trinômio é quadrado perfeito, procederemos da seguinte forma:
•
4x · 2
2x 8x 16+ +
2x 16
x 4
(x + 4)2
1. Elabore uma situação-problema envolvendo a decomposição em fatores de uma expressão 
algébrica. Se julgar necessário, utilize a imagem a seguir como base para a questão. Em seguida, 
entregue-a a um colega e peça-lhe que resolva.
INTERAÇÃO
Orientação para RA
Essa Realidade aumentada apresenta um vídeo com o passo a passo da fatoração 
de um polinômio. Após os alunos assistirem ao vídeo, reproduza as expressões algé-
bricas abaixo no quadro e solicite-lhes que verifiquem quais dessas expressões são 
trinômios quadrados perfeitos.
 Exemplo:
a) 2x2 + 2x + 4
b) x2 + 4x
c) 4x2 + 4x + 1
d) 9 + 6y + y2
e) 9 – 12y + 4y2
 Solução
As respostas corretas são c, d e e.
A expressão a é um trinômio, mas não atende à condição necessária. A expressão 
b não é um trinômio, mas, sim, um binômio.
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação está 
sendo trabalhada a habilidade 
EF08MA06 da BNCC. Aproveite 
para solicitar aos alunos que 
analisem e comparem as res-
postas obtidas para o problema 
elaborado. Explique aos alunos 
que uma expressão algébrica 
(que já está na sua forma reduzi-
da), formada por três parcelas, é 
denominada trinômio. Ainda, o 
trinômio quadrado perfeito é 
obtido quando elevamos um bi-
nômio ao quadrado. Se possível, 
faça os exemplos a seguir:
 Exemplos:
1. x² + 4x + 4
Solução:
x x
x
x
2
2
2
4 4
4
2
↓ ↓
+ +
+
� �
� ��������
( )
Observe ainda que 2 · x · 2 = 4x
2. 4x² – 12xy + 9y²
Solução:
4 12 9
4 9
2 3
2 2
2
2
2
3
2
x xy y
x y
x y
x y
↓ ↓
= =
− +
+
� �
� �
� ����������
( )
Observe ainda que 2 · (2x) · (–3y) =
= –12xy
Resposta
A resposta para a seção 
Interação é pessoal.
As respostas para a primei-
ra seção Atividades são:
1. 
a) (x + 1)2
b) x +





3
2
2
As respostas para a segun-
da seção Atividades são:
1. 
a) x −





1
5
2
b) 1
2
1
3
2
m−





PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 88PG21LP282SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L2_LP.indb 88 08/12/2020 14:16:5008/12/2020 14:16:50
89MATEMÁTICA
89MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
Brincadeiras numéricas
Uma brincadeira matemática muito conhecida é a “mate-
mágica”, que acontece quando uma pessoa pede para que 
você pense em um número, realiza várias operações com esse 
número e consegue, com a sua resposta ao final das operações, 
“descobrir” o número que você pensou. Vejamos, a 
seguir, um exemplo dessa brincadeira.
• Pense em um número qualquer.
• Multiplique-o por 4.
• Ao resultado, some 8.
• Divida o resultado por 2.
• Ao resultado, some 2.
• Divida o resultado por 2.
• O resultado obtido menos 3 é o número pensado.
Incrível isso, não?! Mas, na verdade, isso é pura Matemática. 
Vamos demonstrar algebricamente o funcionamento 
dessa “mágica” matemática:
• Pense em um número qualquer: n
• Multiplique-o por 4: 4n
• Ao resultado, some 8: 4n + 8
• Divida o resultado por 2: 4 8
2
n+
• Ao resultado, some 2: 4 8
2
2
n+
+
• Divida o resultado por 2: 
4 8
2
2
2
n+
+
• O resultado obtido menos 3 é o número pensado:
4 8
2
2
2
3
n
n
+
+
− =
Precisamos, então, demonstrar essa identidade. Para isso, desenvolvemos o primeiro membro 
para encontrarmos a igualdade.
4 8
2
2
2
3
2 2 4
2
2
2
3
2 4 2
2
3
2 6
2
3
2 3
2
3
n n
n n
n
n
+ +
− =
+ +
− = + + − = + −
= + − = +
( )
( )
( )
( 33 3)− =n
Demonstrando a igualdade, é possível afirmar que, independentemente do número escolhido 
inicialmente, o resultado será sempre igual a esse número. Observe que, na demonstração, foi utili-
zado um dos casos de fatoração. Você sabe dizer qual foi?
PARA SABER MAIS
Uma brincadeira matemática muito conhecida é a “mate-
”, que acontece quando uma pessoa pede para que 
você pense em um número, realiza várias operações com esse 
número e consegue, com a sua resposta ao final das operações, 
de
lc
ar
m
at
/S
hu
tt
er
st
oc
k
88 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
2_
U
4_
02
1. Os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Fatore cada um deles.
a) x x
2
5
1
25
− +2 b) 
1
4
1
3
1
9
m m− +2
ATIVIDADES
1. Fatore os trinômios a seguir.
a) x² + 2x + 1 b) x + 3x +
9
4
2
ATIVIDADES
Identificando trinômios quadrados perfeitos
Existem trinômios que não são quadrados perfeitos. 
Como reconhecer, então, um trinômio quadrado perfeito?
Para verificarmos se um trinômio é quadrado perfeito, procederemos da seguinte forma:
• inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados perfei-
tos. Para isso, extrai-se a raiz quadrada de cada termo quadrado;
• em seguida, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o 
resultado é igual ao termo que não é quadrado perfeito.
4x · 2
2x 8x 16+ +
2x 16
x 4
(x + 4)2
1. Elabore uma situação-problema envolvendo a decomposição em fatores de uma expressão 
algébrica. Se julgar necessário, utilize a imagem a seguir como base para a questão. Em seguida, 
entregue-a a um colega e peça-lhe