Apostila Cálculo III

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CÁLCULO III
MICHELE L. MOURÃO FERNANDES
EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIAFACULDADE ÚNICA
1
CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL III
MICHELE L. MOURÃO FERNANDES
Michele L. Mourão Fernandes
Mestra em Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Ca-
tólica de Minas Gerais (PUC-MG) (2012), especialista em Matemática Faculda-
des Integradas de Jacarepaguá (2006) e licenciada em Matemática pela Fa-
culdade Pereira de Freitas (2005). Ministra aulas em cursos de Engenharia no 
Centro Universitário Católica do Leste de Minas Gerais (UNILESTE-MG), além de atu-
ar como professora dos ensinos médio e fundamental no município de Ipatinga-MG.
1
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL
Diretor Geral:
Diretor Executivo:
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© 2020, Faculdade Única.
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor.
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CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL III
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2021
3
4
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas 
quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
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VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
5
SUMÁRIO
1.1 Relembrando a integral definida............................................................................................................8
1.2 Integrais impróprias com limite de integração infinito........................................................10
2.1 Regra de L’Hôpital..........................................................................................................................................19
2.2 Uso da regra de L’Hôpital.........................................................................................................................20
3.1 Sequências..........................................................................................................................................................27
3.2 Séries......................................................................................................................................................................30
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
REGRA DE L’HÔPITAL
4.1 Ordem, grau e forma de uma Edo.....................................................................................................43
4.2 Solução de uma Edo..................................................................................................................................46
4.3 Problema do valor inicial e solução singular.............................................................................49
UNIDADE 4
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIDADE 5
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM
5.1 Equações de variáveis separáveis.......................................................................................................54
5.2 Problema do valor inicial...........................................................................................................................57
5.3 Resolução envolvendo decomposição em frações parciais............................................59
5.4 Equações redutíveis.....................................................................................................................................62
UNIDADE 6
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2ª ORDEM
6.1 Equações exatas e fatores integrantes............................................................................................68
6.2 Equações lineares de segunda ordem...........................................................................................70
6.3 Problema do valor inicial..........................................................................................................................74
6.4 Problemas de valor do contorno.........................................................................................................75
6.5 Transformada de LaPlace.........................................................................................................................77
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UNIDADE 1
Nesta unidade vamos estudar as Integrais Impróprias que são definidas em intervalos 
do tipo : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞), estas integrais são de grande utilidade em diversos 
ramos da Matemática.
UNIDADE 2
Nesta unidade vamos aprender uma regra para resolver as indeterminações dos 
limites, que nem sempre funciona quando simplificamos a função. Essa regra será 
de grande utilidade para o estudo das sequências que será abordada na próxima 
unidade.
UNIDADE 3
Nesta unidade, vamos apresentar o conceito de sequências e séries para a aplicação 
em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).
UNIDADE 4
Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais, 
pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar o 
estudo das EDOs, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução.
UNIDADE 5
Nesta unidade, prosseguiremos com o estudo das Equações Diferenciais ordinárias, 
porém, abordando os seguintes tópicos: Equações Separáveis ou redutíveis, Problema 
do Valor inicial, Resolução envolvendo frações parciais. 
UNIDADE 6
Nesta unidade vamos abordar as equações exatas e os fatores integrantes, bem como 
as Equações diferenciais de segunda ordem. Vamos enunciar as transformadas de 
Laplace, fazendo a abordagem com exemplos práticos.
C
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
IV
R
O
7
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS UNIDADE
01
8
1.1 RELEMBRANDO A INTEGRAL DEFINIDA
 Na definição de Integral definida, consideramos a função a ser integrada num 
intervalo limitado, ou seja, fechado. Agora estenderemos esta definição para funções 
definidas em intervalos do tipo : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞) as integrais de funções com os 
intervalos acima são conhecidas como impróprias, as quais serão tratadas nesta unidade, 
estas integrais são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática.
 O cálculo Diferencial tanto decorre dos processos que definem a equação da reta 
tangente a uma curva, conhecido como problemas das Tangentes, quanto motivado pelo 
entendimento dos procedimentos de variação de grandezas.
 O cálculo Integral origina-se das infinitas tentativas de determinação de áreas e vo-
lumes e comprimentos de arcos, conhecidos como problemas das Áreas.
 Isacc Newton e Gottfried Willeim Leibniz, através de estudos independentes perce-
beram que havia uma conexão entre os dois problemas: um resolvia o outro.
 Seja f uma função definida e contínua num domínio D =[a,b]. Uma função f se diz 
definida em D se ela se descreve por uma equação. Se se diz contínua em 
.
 Se é chamada Integral definida de uma funçãof definida e contínua em 
D e a função f é dita Integrável em D. A integral definida pode ser interpretada como a 
área resultante de uma região neste intervalo [a,b].
9
 Analisando graficamente, temos:
Figura 1: Representação gráfica da integral da função x ao cubo no intevarlo [1, 2]
Fonte: A Autora (2021)
 Portanto, dizemos que a área abaixo dessa curva no intervalo é de 15/4 = 3,75 u.a. 
(unidade de área).
FIQUE ATENTO
10
1.2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS COM LIMITE 
DE INTEGRAÇÃO INFINITO
 Iremos trabalhar com três tipos de intervalor de integração, : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞) 
e detalharemos abaixo o método para a resolução de cada uma das integrais impróprias.
 Tendo a integral , inicialmente iremos substituir o extremo infinito do inter-
valo por uma constante a, e após aplicando o conceito de limite, temos (2):
 Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite.
 Tendo a integral , de modo análogo ao item anterior, iremos substituir o ex-
tremo infinito por uma constante b, aplicando limite temos (3): 
 Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite .
 Por fim, se temos a integral , inicialmente iremos dividir a integral em uma 
soma de duas integrais, como demonstrado por (4): 
 Quando aplicamos essa propriedade, recaímos em integrais do tipo I e II, e a resolve-
remos da mesma forma item I e II, vale ressaltar que quando o limite existir dizemos que a 
integral converge e caso não, diverge.
11
FIQUE ATENTO
12
Figura 2: Gráfico de convergência do exemplo 3
Fonte: A autora (2021)
13
 Analisando graficamente temos:
Figura 3: Gráfico de convergência do exemplo 4
Fonte: A autora (2021)
14
Quando é que uma integral converge e quando diverge?
 Se o limite der um número finito, ela é dita convergente.
 Se esse limite der ±∞ a integral é dita divergente.
VAMOS PENSAR?
 Arctg 0 = 0, para encontrarmos os valores do arctg t quando tende a menos infinito 
e arctag s quando tende a mais infinito precisamos lembrar do ciclo trigonométrico.
15
Figura 4: Ciclo trigonométrico
Fonte: A autora (2021)
 Portanto, teremos:
 Analisando graficamente:
Figura 5: Gráfico de convergência do exemplo 4
Fonte: A autora (2021)
Para enriquecer seus conhecimentos acerca das integrais impróprias, aqui vão algumas su-
gestões:
•O livro “Cálculo, Vol. 1” (2018) de Jon Rogawski e Colin Adams aborda o tema de forma clara 
e fácil de entender, tendo um texto leve e prático sem, contudo, descuidar do rigor da mate-
mática aplicada. Disponível em: https://bit.ly/3cuf2dU. Acesso em: 24 de nov. de 2020.
•Leia também o material sobre o assunto do prof. Adriano Pedreira Cattai, da Universidade 
Federal da Bahia. Disponível em: https://bit.ly/3m0DJ4V. Acesso em: 24 de nov. de 2020.
BUSQUE POR MAIS
16
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Sabendo que a integral , diverge, o seu valor será:
a) 1.
b) 2. 
c) 3.
d) 4. 
e) 
2. Sabendo que a integral imprópria , diverge, o seu valor será igual a:
a) 1.
b) e.
c) 
d) 4.
e) 5. 
3. O valor da integral , sabendo que ela diverge.
a) 0. 
b) 
c)
d) 4.
e) 6.
4. O valor da integral , sabendo que ela diverge será:
a)
b)
c)
d)
e)
5. Sabendo que a integral , diverge, seu valor será:
a)
b)
c)0.
d) 1.
e) -1.
6. Sabendo que , diverge, o seu valor será:
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a) 2.
b) 3.
c) 1.
d) 8.
e) 7.
7. Sabendo que a integral , diverge, seu valor será:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 0.
8. O valor da integral , sabendo que ela diverge, será:
a)
b)
c) 1
d) 0
e) 
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Figura 9: Estrutura das bases nitrogenadas que compõem os ácidos nucleicos
Fonte: Nelson e Cox (2019, p. 283)
 As bases nitrogenadas possuem uma conformação estrutural que permite sua 
ligação com uma base nitrogenada correspondente (Figura 10), assim, no DNA a adenina 
se liga à timina, enquanto a guanina se liga a citosina, enquanto no RNA a uracila assume 
a posição da timina ao se ligar a adenina de forma complementar (NELSON; COX, 2019; 
MARQUES; BALDINI, 2017; VOET; VOET; PRATT, 2014).
 
REGRA DE L’HÔPITAL UNIDADE
02
19
2.1 REGRA DE L’HÔPITAL
 Nesta unidade iremos estudar a Regra de L’Hôpital, que é utilizada para limites que 
possuem inderteminações do tipo 0/0 ou . Essa regra será de grande utilidade para o 
estudo das sequências que será abordada na próxima unidade.
 Inicialmente, vamos lembrar o processo para resolução do seguinte limite, 
observe que substituindo o x = 1 no limite, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e para 
resolver o problema podemos simplificar a fração:
 Concluímos, então, que o valor do limite é ½. Porém, não são todos os limites que 
conseguimos simplificar, dessa forma, utilizaremos a regra de L´Hôpital. Essa regra será 
usada em indeterminações do tipo 0/0 ou .
FIQUE ATENTO
 A Regra de L’hôpital consiste em derivarmos as funções apresentadas, toda vez que 
chegarmos nas indeterminações citadas acima. Vamos utilizar três exemplos para aplicar-
mos a regra.
20
FIQUE ATENTO
2.2 USOS DA REGRA DE L’HÔPITAL
21
22
Lembre-se: O limite de uma constante é a própria constante.
Podemos aplicar L’Hôpital quantas vezes forem necessárias para “tirarmos” a indetermina-
ção da função.
VAMOS PENSAR?
• Leia o texto “A derivada e suas diferentes abordagens: uma proposta para a introdução do 
seu conceito” de Ferreira, Zuin e Oliveira (2017). Nesta leitura você encontrará um breve pano-
rama do Cálculo Diferencial e as diferentes abordagens do conceito das Derivadas. Disponí-
vel em: https://bit.ly/3rA17qO. Acesso em: 12 de fev. de 2021.
• Consulte o cap. 5 do livro “Cáculo Diferencial e Integral” de Silva (2017). Nele você encontrará 
o conceito de derivada e suas propriedades e também mais exemplos sobre a Regra de L’ho-
pital. Disponível em: https://bit.ly/2O47pkV. Acesso em: 12 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3rA17qO
https://bit.ly/2O47pkV
23
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) -1.
b) 1.
c) 2.
d) -2.
e) 3.
2. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) -2.
b) -4.
c) -3.
d) -1.
e) 0.
3. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) 1/3.
b) 2/3.
c) 1.
d) 4/3.
e) 2.
4. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) 1.
b) 0.
c) 3.
d) 4.
e) 2.
5. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) -2.
b) -1.
c) 2.
d) 3.
e) 0.
6. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) 1.
24
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
7. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :
a) 1/7.
b) 2/7.
c) 3/7.
d) 4/7.
e) 5/7.
8. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite: 
a) 1/6.
b) 1/3.
c) 1.
d) 2/5.
e) 3.
25
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
UNIDADE
03
26
 Nesta unidade vamos apresentar o conceito de sequências e séries, para a aplicação 
em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).
3.1 SEQUÊNCIAS
 Segundo Dante (2005), Conjunto é uma coleção de objetos, de pessoas, de números, 
de pontos, de figuras geométricas etc. Por exemplo, considere os seguintes conjuntos A1 = 
{2,3,8,9}; A2 = {2,3,3,3,3,8,8,8,8,9,9,9} e A3 = {9, 2,3,8}, como os conjuntos A1, A2 e A3 possuem 
os mesmos elementos, dizemos que eles são iguais.
 Agora, se a considerarmos essa lista de objetos disposta ordenadamente, com uma 
ordem preestabelecida vamos denominá-la de sequência ou sucessão. Assim, a sequência 
A1 = {2,4,8,9}; A2 = {2,3,3,3,3,8,8,8,8,9,9,9} ou A3 = {9, 2,4,8} são todas diferentes.
 Como nossos objetos de estudo são os números reais, uma sequência deve ser com-
preendida como toda lista ordenada de números reais dispostos por uma lei de formação, 
de modo que é possível identificar cada termo ou elemento dessa sequência.
 Assim, toda sequência deve ser compreendida como uma lista ordenada de nú-
meros reais {a1, a2, a3, ...,a_n ,...} interpretada como uma função que associa cada = 
{1,2,3,...,n,...}, a um, e somente um, número real, a(n) =an. Em geral, todas as sequências têm 
o mesmodomínio, o conjunto 
3.1.1 GRÁFICO DE UMA SEQUÊNCIA
 Considere a sequência , onde cada valor de , produz um único an, 
formando assim pares ordenados (n, an).
Observe:
 
Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a repre-
sentação gráfica dos pontos acima.
 Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a 
representação gráfica dos pontos acima.
27
Figura 6: Representação gráfica dos pontos
Fonte: A autora (2021)
 O gráfico da sequência an é o conjunto dos pares ordenados (n, an) , .
3.1.2 FORMANDO SEQUÊNCIAS
 Em algumas sequências podemos definir ou reconhecer sua lei de formação, para 
isso necessitamos de alguns termos dessa sequência, alguns são de forma intuitiva, em 
outros é necessário o uso de alguns artifícios matemáticos. 
Considere a sequência abaixo:
bn = { 2,4,6,8,10, 12,....}
Observe que:
b1 = 2 = 2.1
b2 = 4 = 2.2
b3 = 6 = 2.3
...
Portanto, podemos concluir que bn = 2.n 
Consideremos agora a seguinte sequência:
an ={1,3,5,7,9,....}
Observe que:
a1 = 1 
a2 = 3 = 2.2 -1
a3 = 5 = 2.3 – 1
a4 = 7 = 2.4 – 1
....
Portanto, podemos concluir que an= 2n -1.
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• Na dissertação defendida por Belini (2015) “A razão áurea e a sequência de 
Fibonacci”, você vai encontrar uma abordagem sobre o número de ouro e uma 
importante sequência que é a de Fibonacci. Disponível em: https://bit.ly/3cvpmlY. 
Acesso em: 12 de fev. de 2021. 
• Consulte o capítulo 02 do livro “Cálculo Diferencial e Integral” de Silva (2017). 
Nele você encontrará as propriedades e aplicações das sequências dos números 
reais. Disponível em: https://bit.ly/2O2nJ5G. Acesso em: 16 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
3.1.3 ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA OU
DIVERGÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA
Vamos analisar agora se uma sequência converge ou diverge: 
 Dizemos que uma sequência a(n) converge (5) se:
 (a sequência converge para L) 
 Dizemos ainda que uma sequência diverge (6) se:
 a sequência diverge.
https://bit.ly/3cvpmlY
https://bit.ly/2O2nJ5G
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3.2 SÉRIES
 Vimos que a sequência pode ser obtida ou representada por uma lei de formação, a 
qual nos fornece termo a termo a sequência. Agora pegarmos essa sequência e somarmos 
todos os seus termos até o infinito teremos a série. Logo:
Seja uma sequência a(n) = {an}, como demonstrado por (7).
30
 Podemos obter uma lei de formação para a soma dos termos Sn que será chamada 
de somas parciais da sequência (8).
 Obtemos o resultado fazendo a relação (9):
 Após resolvermos o limite, podemos verificar se a série em questão é convergente ou 
divergente.
FIQUE ATENTO
3.2.1 SÉRIE DE POTÊNCIA
 Se C0, C1, C2, são constantes e x uma variável, temos a relação (10):
31
 É uma série de potência em x. Apresentaremos a seguir dois exemplos de séries de 
potência. Exemplos:
3.2.2 RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
 Para resolvermos uma série de potência e encontrar seu raio de convergência, va-
mos utilizar o teste de razão.
 Dada uma série vamos supor que:
 Então a série será: 
 Se p<1 a série será absolutamente convergente;
 Se p>1 a série será divergente;
 Se p=1 o teste será inconclusivo.
32
VAMOS PENSAR?
 II. Expandindo nossa série, utilizando as propriedades das potências e resolvendo o 
fatorial. Temos:
FIQUE ATENTO
33
FIQUE ATENTO
 é um produto notável, portanto, podemos aplicar a Regra do Quadrado 
da soma de dois termos.
(2n+2)(2n+1), podemos aplicar a Propriedade distributiva.
 Substituindo n por ∞, teremos uma indeterminação , aplicando L’Hôpital nova-
mente, temos:
 Raio de convergência e intervalo:
 Sabemos que , multiplicando cruzado temos que |x|<8, assim, o raio de conver-
gência é 8.
 O intervalo de convergência encontramos resolvendo a inequação modular. -8<x<8 
34
FIQUE ATENTO
Se |x|< a → -a < x < a
Se |x| >a → x < -a ou x > a 
3.2.3 SÉRIES DE TAYLOR
 A fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por um polinômio, 
com erro estimado.
 O polinômio de Taylor, considerando uma função derivável infinitas vezes e, C per-
tencente ao intervalo até a ordem n. O polinômio de Taylor (11), de ordem n de f em C é :
 Quando n vai para o infinito temos a série de Taylor (12):
 Quando c=o temos a série de MacLaurin (13):
35
36
VAMOS PENSAR?
Para chegarmos à fórmula:
Temos que pensar o seguinte: 
 A série está oscilando em negativo colocamos n=1, por isso, colocamos (-1);
 Como o primeiro termo da série é positivo, temos que colocar o 
 Como o x está elevado em termos ímpares o nosso , lembrando que colo-
camos nosso n começando no 1.
37
38
VAMOS PENSAR?
Para chegarmos à fórmula:
Temos que pensar o seguinte: 
 Como o primeiro termo da série é negativo começamos por (-1), como 
estamos começando com n=0 o expoente do (-1) tem que ser n+1;
 Como todos nossos expoentes são pares podemos concluir que ;
 Temos que dividir pela mesma potência fatorial.
• No material elaborado pela prof.ª Luiza Amalia Pinto Cantão da Universidade 
Estadual Paulista (UNESP) você encontrará mais exemplos sobre as Séries de 
Thaylon e de Maclaurim. Dipsonivel em: https://bit.ly/2PJKXOI. Acesso em: 16 de fev. 
de 2021.
• No artigo “Series de Fourier” do prof. Ricardo Bianconi você encontrará uma 
abordagem sobre as Séries de Fourier. Disponível em: https://bit.ly/3czjB6U. Acesso 
em: 16 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
39
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (UnBgama-Adaptada) O intervalo de convergência da série de potência abaixo será:
a) (-1,1).
b) (-1,2).
c) (-2,2).
d) (3,0).
e) (1,4).
2. (UnBgama-Adaptada) O intervalo de convergência da série abaixo de potência será:
a) (-1,1).
b) (2,4).
c) (-1,6).
d) (-2,2).
e) (-3,6).
3. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência , analise sua convergência, 
seu limite quando n tende para o infinito será:
a)1.
b) 0.
c) ∞.
d) -1.
e) 2.
4. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência , analise sua convergência, 
seu limite quando n tende para o infinito será:
a) 1.
b) 2.
c) 0.
40
d) ∞.
e) 5.
5. Considere a seguinte sequência { 1; 1/3;1/5;1/7;1/9;...} seu termo geral pode ser dado por:
a)
b) 
c)
d)
e)
6. Quantos múltiplos de 7 existem entre a sequência 52 e 2341’?
a) 327
b) 326
c) 325
d) 340
e) 350
7. A série de Maclaurin da função , será:
a)
b)
c)
d)
e)
8. O raio de convergência da série é:
a) 2.
b) 1.
c) ∞.
d) 3.
e) 4.
41
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIDADE04
42
 Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais 
pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar o estudo 
da EDO, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução.
4.1 ORDEM, GRAU E FORMA DE UMA EDO
 Se as incógnitas dependem apenas da variável x de uma função y em relação a x,y= 
y(x) a equação se diz Equações Diferenciais Ordinais (EDO). Mas se as incógnitas são deri-
vadas parciais, a equação é denominada Equações Diferenciais Parciais ou EDP.
 Observe alguns exemplos de equações diferenciais:
 Toda EDO é uma relação entre as variáveis reais x e y e pelo menos uma função 
, das derivadas de y em relação a x.
 Muitas EDO se colocam na forma de um Polinômio diferencial, o que permite classi-
fica-las quanto à ordem e ao grau das derivadas.
 Um Polinômio Diferencial (14) é todo polinômio da forma:
 Onde as funções são chamadas de coeficientes.
 Quanto ao grau as EDO formam dois grupos: as lineares e as não lineares. Organiza-
das na forma de um polinômio as EDO se classificam quanto ao ordem e quanto ao grau 
da derivada. A ordem é a ordem do termo diferencial de mais alta ordem da equação. O 
grau é dado pelo expoente inteiro não negativo a que está elevado o termo diferencial de 
mais alta ordem da equação. 
 Por exemplo, a equação é Ordem 2 e Grau 1. 
 Em geral Polinômios Diferenciais de Grau 1 são LINEARES. Mais precisamente, Poli-
nômios Diferenciais de Grau 1 são lineares se a função y e suas derivadas são de grau 1 e não 
ocorre produto ou composição destas variáveis.
FIQUE ATENTO
Toda equação linear tem grau1, mas nem toda equação de grau 1 é linear.
43
 Se r(x)=0, o Polinômio Diferencial é dito Equações Homogêneas Associada , 
ou , são Equações Homogêneas associadas, respectivamente, às equa-
ções lineares de ordem 1 e 2.
 As EDO de Ordem n e Grau 1 podem ser descritas numa das formas: 
 Na Forma Implícita: 
 
 Na Forma Explicita:
 
 Na forma IMPLÍCITA as EDO são escritas e na forma EXPLÍCITA AS EDO 
se descrevem . Por exemplo, em relação à x, temos 2x+ . Na 
FORMA IMPLÍCITA e na FORMA EXPLÍCITA 
 Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e 
uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando 
como quociente: . A forma é denomi-
nada Forma Diferencial da EDO dada.
44
FIQUE ATENTO
Toda equação linear tem grau 1, mas nem toda equação de grau 1 é linear.
 Se r(x)=0, o Polinômio Diferencial é dito Equações Homogêneas Associada , 
 ou , são Equações Homogêneas associadas, respectiva-
mente, às equações lineares de ordem 1 e 2.
 As EDO de Ordem n e Grau 1 podem ser descritas numa das formas: 
 Na Forma Implícita: 
 Na Forma Explicita:
 Na forma IMPLÍCITA as EDO são escritas e na forma EXPLÍCITA AS EDO se 
descrevem . Por exemplo, derivando em relação à x, temos 
. Na FORMA IMPLÍCITA yy^’+x=0 e na FORMA EXPLÍCITA y^’=(-x)/y.
 Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e 
uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando 
como quociente: . A forma é denomi-
nada Forma Diferencial da EDO dada.
45
4.2 SOLUÇÃO DE UMA EDO
 Resolver uma EDO é procurar as funções que a satisfazem ou é encontrar a função 
y=y(x) que originou a EDO. RESOLVER uma EDO é procurar a função y=y(x), definida e 
diferenciável num intervalo l, tal que, quando substituímos, respectivamente, y e suas de-
rivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE. 
 O Intervalo l da solução da EDO, chamado Intervalo de Solução, de Definição, de 
Existência, de Validade ou Domínio da Solução, pode ser ( a, b ), [ a, b ], ( a, b ], [ a, b ) ou 
algum intervalo infinito . Como toda função diferenciável é con-
tínua, desde que a solução de uma EDO é uma função diferenciável, ela é contínua no 
Intervalo de Solução l.
46
 Portanto, este termo é solução da equação diferencial. A EDO, pode ter infinitas so-
luções. Por exemplo, mostra a totalidade das soluções de y = cos x. Como cada 
valor atribuído a determina uma solução, temos infinitas soluções.
O conjunto das n soluções de uma EDO descritas por uma Fórmula contendo n Constantes 
Arbitrárias e Independentes é chamada Família de Soluções ou SOLUÇÃO GERAL, SG, da 
EDO (n).
VAMOS PENSAR?
 A solução Geral de uma EDO é toda fórmula contendo tantas constantes arbitrárias 
e independentes quanto for a ordem da equação.
 A Solução Geral SG de uma EDO pode ser colocada na Forma 
 EXPLICITA: S= , abreviadamente SGE, ou na forma.
 IMPLICITA: S= ,SGI, onde , são n constantes arbitrárias e 
independentes da SG.
 A Solução Particular de uma EDO(n) é toda solução obtida da solução geral por atri-
buição de valores numéricos às constantes arbitrárias.
47
48
 Como a verificação mostrou que as substituições produzem uma identidade, a equa-
ção y=3x é uma solução da EDO ydx-x dy=0.
4.3 PROBLEMA DO VALOR INICIAL 
E SOLUÇÃO SINGULAR
 As Equações Diferenciais Ordinais estão sujeitas a dadas condições iniciais, que de-
finem o valor de cada constante da solução geral que satisfaz a condição inicial 
.
 Por exemplo: A solução geral , onde . A solução particular 
que satisfaz a condição inicial y(0)= π , é obtida substituindo x por zero e y por π na solução 
geral. Temos: Como y(0)= .
 Uma solução identicamente nula no intervalo de solução de uma equação diferen-
cial é chamada de solução trivial.
 Entretanto, nem toda solução de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira or-
dem pode ser obtida da solução geral atribuindo valor numérico à constante arbitrária.
49
• Para aprofundar-se no estudo das EDOs, reforçando os conceitos de ordem, grau, 
classe, operadores lineares, consulte o material “Equações Diferenciais Ordinárias” 
elaborado pelo prof. Ulysses Sodré da Universidade Estadual de Londrina (UEL). 
Disponível em: https://bit.ly/3u7uvGJ. Acesso em: 16 de fev. de 2021. 
• Acesse o livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008) , consulte o capí-
tulo 01 para aprofundar seus conhecimentos sobre os conceitos das EDs e os ca-
pítulos 03, 04 e 05 para conhecer mais sobre as Equações diferenciais de primeira 
ordem. Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3u7uvGJ
https://bit.ly/3flBO9I
50
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Das equações, qual não é linear?
a) 
b) 
c) 
d)
e) 
2. Qual a ordem da equação diferencial? 
 
a) 4.
b) 3.
c) 1.
d) 5.
e) 6.
3. A SG da EDO , onde . A solução particular que satisfaz a 
condição será:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Qual função é solução da EDO ?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. A equação é uma solução de qual EDO?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. Qual função abaixo é solução da EDO ?
51
a) 
b)
c)
d) 
e) 
7. Qual o grau da equação não linear ?
a) 1.
b) 3.
c) 2.
d) 5.
e) 6.
8. Das equações abaixo, qual é linear?
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
52
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM
UNIDADE
05
53
 Nesta unidade prosseguiremos com o estudo das Equações Diferenciais ordinárias, 
porém, abordando os seguintes tópicos: Equações Separáveis ou redutíveis, Problema do 
Valor inicial, Resolução envolvendo frações parciais.
5.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
 As Equações diferenciais Ordinárias (EDO) podem ser escritas:
 Forma normal : 
 ou 
 Forma diferencial: 
 Cada forma determina métodos de resolução.
 A EDO mais simples é a Equação de variáveis separáveis , EVS, assim denominada 
por Leibnitz, pois são resolvidas colocando funções de x com dx e funções de y com dy.
FIQUE ATENTO
 Digamos é SEPARÁVEL, pois integrando, 
temos 
 Muitas EDOs não são aparentemente separáveis, tornam-se separáveis através de 
uma mudança simples de variáveis.
54
,pois o logaritimando deve ser positivo. 
VAMOS PENSAR?
55
56
5.2 PROBLEMA DO VALOR INICIAL
 Nas aplicações procuramos a solução particular y=y(x) que satisfaz uma dada con-
dição , digamos 
57
58
5.3 RESOLUÇÃO ENVOLVENDO DECOMPOSI-
ÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
 Em geral, o número de frações parciais é igual ao grau do denominador. O grau do 
Numerador de cada fração parcial é 1 grau menor do que o grau do termo considerado do 
denominador da fração dada. Os casos Linear e Quadrático são principais, pois podemos 
procurar escrever um polinômio de grau n > 2 como combinação de fatores lineares ou 
quadráticos.
FIQUE ATENTO
REGRA DE DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Se ocorrer no denominador:
• Fator ou Fatores Lineares
59
60
FIQUE ATENTO
Vamos utilizar os conceitos a equação Modular:
Portanto:
61
5.4 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS
62
5.4.1 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS À EQUAÇÃO DO 
SEGUNDO GRAU
 Considere a seguinte equação , qual é o número inteiro 
positivo que representa a diferença entre x e y?
 Vamos reescrever nossa equação:
 
FIQUE ATENTO
Trinômio quadrado perfeito
 Quadrado da soma de dois termos: 
 Quadrado da diferença de dois termos: 
 Trinômio quadrado perfeito, logo, 
 Podemos colocar o sinal negativo em evidência:
 Fazendo x-y=B, temos: 
Reduzimos a equação a uma equação do segundo grau, agora, vamos resolver essa equa-
ção:
Como fazemos para resolver equações do 2º grau? Para resolver uma equação do segundo 
grau da forma , podemos utilizar duas fórmulas, o delta e a de Bhaskara.
VAMOS PENSAR?
63
 Voltando ao artifício x-y=B, temos x-y=10 ou x-y=-9, como o exercício quer o inteiro 
positivo, podemos concluir que x-y=10.
• No artigo “Aplicações das equações diferenciais na modelagem matemática 
da dilatação/contração térmica de cabos da rede elétrica” de Miotto, Cargnelutti, 
Machado (2013), vocêencontrará Aplicações das Equações diferenciais na mode-
lagem matemática. Disponível em: https://bit.ly/3m5tT1p. Acesso em: 16 de fev. de 
2021.
• Acesse o livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008) e consulte o ca-
pítulo 14. Nele você encontrará as aplicações das Equações diferenciais de segun-
da ordem. Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3m5tT1p
https://bit.ly/3flBO9I
64
1. (UFPR-Adaptada) A opção que representa a solução da equação , diferencial de 
variáveis separáveis é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. (UFPR-Adaptada) A opção que representa a solução da equação , diferencial de 
variáveis separáveis é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. (UFPR-Adaptada) Ao resolver o seguinte problema do valor inicial 
, temos como solução:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Considere a seguinte equação:
 , sua solução será:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. A solução da equação é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
FIXANDO O CONTEÚDO
65
6. (UFPEL- Adaptada) A solução geral da EDO é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. (UFPEL-Adaptada) A solução geral da EDO é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. (USERS) A solução da EDO 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
66
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS DE 2ª ORDEM
UNIDADE
06
67
 Nesta unidade vamos abordar as equações exatas e fatores integrantes, bem como 
as Equações diferenciais de segunda ordem. Vamos enunciar as transformadas de Laplace, 
fazendo a abordagem com exemplos práticos.
6.1 EQUAÇÕES EXATAS E FATORES INTEGRANTES
 Uma EDO na forma diferencial é exata, se existe uma função 
u=u(x,y) tal que a diferencial total de u, sendo:
FIQUE ATENTO
Para resolver uma equação exata:
 Verifique se a equação é exata;
 Escolha uma das duas relações 
O resultado obtido numa das relações M ou N é substituído na outra relação para 
obter a função u=u(x,y).
 A solução Geral tem a forma u=(x,y) C_1.
 Seja P uma equação não exata. Multiplicada por uma função ade-
quada chamada Fatores Integrantes, ela pode ser tornar exata. 
 Para encontrarmos o Fator Integrante podemos recorrer a dois métodos:
68
FIQUE ATENTO
No processo de resolução devemos escolher uma das relações:
69
6.2 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
 Uma Equação Diferencial Ordinária Linear de 2ª ordem tem a forma 
, onde as funções f e g são chamadas coeficientes , e r são funções 
contínuas num intervalo aberto (a.b).
 A Equação Diferencial Ordinária Linear é Homogênea, quando r(x) =0, tem a forma 
.
 Se f e g são funções constantes tais como f(x)=a e g(x)=b, onde a e b são números 
reais , a equação é dita Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda 
Ordem à Coeficientes Constantes.
O estudo das Equações Lineares de 2ª Ordem depende de um importante resultado para 
estruturar o desenvolvimento do raciocínio na pesquisa das soluções.
VAMOS PENSAR?
 Vamos enunciar o Teorema Fundamental das Equações Homogêneas: TFH
 Sejam soluções quaisquer da Equação Diferencial Ordinaria Li-
near Homogênea.
70
 Sejam números reais não, simultaneamente, nulos. Então, a combinação line-
ar. 
 também é soluçai da Equação Diferencial Ordinaria Linear Ho-
mogênea.
6.2.1 SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO
LINEAR DE SEGUNDA ORDEM
 Uma equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de segunda ordem à coefi-
cientes constantes é toda equação na forma:
 A solução geral da equação uma solução de:
FIQUE ATENTO
A Solução geral de uma equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea à co-
eficientes constantes 
71
72
Para encontrar informações sobre os números complexos, como surgiram, sua 
forma algébrica, geométrica e trigonométrica. 
Acesse: https://bit.ly/3m6JzS1. (Acesso em: 16 de fev. de 2021).
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/3m6JzS1
73
6.3 PROBLEMA DO VALOR INICIAL
 Resolver a um problema do valor inicial para uma Equação Ordinária Linear de se-
gunda ordem é encontrar a solução particular que satisfaz (17):
74
FIQUE ATENTO
Resolução de um sistema pelo método da Adição
Para resolver um sistema utilizando o método da adição, pelo menos uma das 
equações deve ser multiplicada por um escalar real de modo que, após a soma das 
equações apenas uma das variáveis seja efetivamente a incógnita do problema. 
Exemplo,
 
Para resolver esse sistema, vamos multiplicar a segunda equação por -2, a fim de 
eliminarmos a variável y.
 
Depois ao encontrar x é só substituir que encontramos y.
 Resolvendo o sistema pelo método da adição , encontramos 
A solução particular será: 
6.4 PROBLEMAS DE VALOR DO CONTORNO
 Para resolver um problema do valor do contorno, para uma EDOL(2) é resolver um 
problema em que a variável dependente y e sua derivada são definidas em pontos diferen-
tes.
75
76
6.5 TRANSFORMADA DE LAPLACE
 A transformada de Laplace (19) tem por objetivo transformar uma função f(t) em ou-
tra F(s) mediante a uma integral específica.
 Onde é chamado de núcleo da transformada. Para transformarmos uma função 
f(t) em outra F(s), vamos recorrer a tabela da transformada.
FIQUE ATENTO
77
78
79
• Para aprofundar seus conhecimentos sobre as transformadas de Laplace, con-
sulte o material do prof. Ulysses Sodré. Disponível em: https://bit.ly/31vyQai. Acesso 
em: 16 de fev. de 2021.
• Consulte o capítulo 14 do livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008). 
Nele você encontrará as aplicações das Equações diferenciais de segunda ordem. 
Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.
BUSQUE POR MAIS
https://bit.ly/31vyQai
https://bit.ly/3flBO9I
80
1. A solução da equação é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. A solução particular da equação .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. A solução particular da equação 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Determinar o valor de de acordo com a condição dada: e uma raiz da 
equação característica é -3.
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
5. A transformada de Laplace da função: é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
FIXANDO O CONTEÚDO
81
6. A transformada de Laplace da função é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. A solução geral da equação é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. As raízes da equação característica 
;
a) 0 e 2
b) -1 e 1
c) 3 e 4
d) -1 e -2
e) 2 e 6
82
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 B
83
BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR., W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo: 
Harbra, 1988. 
BELINI, M. M. A razão áurea e a sequência de Fibonacci. 2015. 86 f. Dissertação (Mestrado 
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Toledo. Anais [...]. Toledo: UTFPR, 2013. Disponível em: https://bit.ly/3m5tT1p.
PENNEY, D. E.; EDWARDS JR., C. H. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
84
graduacaoead.faculdadeunica.com.br