Matemática Aplicada - AV2 - UVA

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AV2 – Matemática Aplicada – UVA 2023
Correção
1 - No estudo das integrais numéricas existem métodos alternativos para sua resolução, que são procedimentos analíticos para encontrar a antiderivada de funções. A manipulação dos conceitos envolvidos permite simplificar as integrais e visam à economia de tempo na resolução. As técnicas mais conhecidas são as de integração por partes, por substituição, por funções parciais e por substituição trigonométrica. A fim de auxiliar os cálculos através das técnicas de integração, são usadas frequentemente tabelas que relacionam uma lista de funções às suas antiderivadas.
 
Considerando as técnicas de integração, analise a seguinte situação.
 
Durante a ampliação de um campo em um clube de tiro esportivo, os engenheiros responsáveis necessitaram conhecer a distância total que poderia ser percorrida por um projétil usado com mais frequência no clube. Após dias estudando sobre o assunto, os engenheiros encontraram a seguinte função para a velocidade escalar do projétil:
 
 
 
Assim, utilizando o método de integração por substituição trigonométrica, assinale a alternativa que representa a equação da distância total percorrida pelo projétil, sabendo que  é o ângulo formado com o solo no momento de lançamento.
Alternativas
A)
 
B) Gabarito da questão
  (RESPOSTA CORRETA)
 
 
 
C) 
D) 
 
 
 E) 
2- Dado um número real  e um número irracional , podemos construir, com base nas potências de expoente racional, um único número real positivo , que é a potência de base  e expoente irracional . Seja, por exemplo, a potência . Sabendo quais são os valores racionais aproximados por falta ou por excesso de , obtemos em correspondência os valores aproximados por falta ou por excesso de . Assim, seja ,  e  um número irracional, consideremos os conjuntos  e . Notemos que: (a) todo número de  é menor que qualquer número de , e (b) existem dois racionais  e , tais que , e a diferença  é menor que qualquer número positivo e arbitrário. 
Em correspondência aos conjuntos  e , consideremos os conjuntos  e . Se , demonstra-se que: (a) todo número de  é menor que qualquer número de , e (b) existem dois números  e , que são aproximações por falta e por excesso, respectivamente, de  e que  e  são classes que definem .
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar. v. 2. 3 ed. São Paulo: Atual Editora, 1977.
 
Considerando o exemplo exposto, tem-se as potências de base  e expoente racional , explicitadas em forma de aproximações por falta e excesso, como se observa a seguir.
 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
 
I. Se , então  para todo a irracional.
 
II. Se  é irracional e negativo, então .
 
III. Sabendo que , então .
 
É correto o que se afirma em
Alternativas
A) II, apenas.
B)
II e III, apenas.
C) Gabarito da questão
I, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II e III.
3- As inequações exponenciais são aquelas que apresentam a variável em seu expoente. Para resolvê-las, deve-se ter em mente os conceitos de potenciação, a fim de obter potências de mesma base. A depender do valor da base nos dois membros, duas situações devem ser consideradas, a fim de relacionar seus expoentes, como é esquematizado a seguir.
 
1ª situação: base é um número real maior que 1: 
 
2ª situação: base é um número real entre 0 e 1: 
 
Observa-se, então, que, quando a base é um número real maior que 1, a função é crescente e o sentido da desigualdade entre as potências é o mesmo sentido da desigualdade entre os respectivos expoentes. Ao contrário, quando a base é um número real entre 0 e 1, a função é decrescente e o sentido da desigualdade entre as potências é o contrário do sentido da desigualdade entre os respectivos expoentes.
 
Com base na resolução das inequações exponenciais, considere que uma substância A se decomponha no ambiente a uma velocidade  e que a substância B se decomponha no mesmo ambiente a uma velocidade . Assinale a alternativa que apresenta o intervalo de tempo  (em horas) em que a velocidade de decomposição de A será maior que a de B, assim , desconsiderando o valor negativo, se houver.
Alternativas
A) Gabarito da questão
 
B)
C)
 
D) 
E)
4- O custo de produção de x unidades de um produto é dado em reais pela função C (x) = 0,1 x³ - 10 x² + 7000. O custo médio de produção de x unidades de um produto é denotado por CM(x) e calculado por meio da fórmula:
 
 
Na produção referente a 30 unidades, podemos afirmar que cada uma delas custou, em média:
Alternativas
A) R$ 623,33.  
B) R$ 213,63.
B) - R$ 2.765,77.
D) Gabarito da questão
R$ 23,33.
E) R$ 700,00.
5- Quando uma função racional não tem um limite em um valor específico, os valores da função e o gráfico têm de ir para algum lugar. Uma função específica pode não ter o número 3 em seu domínio, e seu gráfico pode ter uma assíntota vertical no infinito quando x=3. Embora a função não tenha limite, ainda podemos afirmar algo sobre o que está acontecendo à função conforme ela se aproxima de 3 da esquerda e da direita. O gráfico não tem um limite numérico nesse ponto, mas é possível identificar algo no comportamento da função. O comportamento é atribuído aos limites laterais. Um limite unilateral diz o que uma função faz em um valor de x conforme ela se aproxima de um lado ou de outro. 
 
STERLING, M. J. Álgebra II para leigos. Rio de Janeiro: Alta Books, 2019 (adaptado).
 
Diante do exposto, considere a função  representada pelo gráfico a seguir.
 
 
O limite da função f(x) quando x tende ao infinito é igual a 
Alternativas
A) .
C) 0.
D) -1.
E) 1.
E) Gabarito da questão
3.
6- Uma função  chama-se quadrática, ou função polinomial do segundo grau, se existem constantes reais a, b e c, com a  0, tais que f(x) = ax2 + bx + c.
 
As raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores x para os quais se tem f(x) = 0, ou seja, ax2 + bx + c = 0, e definimos: (1) se , temos duas raízes reais; (2) se , não existem raízes reais para a função f(x), nesse caso, as raízes serão números complexos dados por , com ; e (3) se , temos duas raízes reais e iguais, .
 
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. A parábola é a curva que serve de modelo para o gráfico da função quadrática. Mas nem toda parábola é o gráfico de uma função desse tipo. As parábolas que serão gráficos de funções quadráticas são aquelas cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Com essas informações, alguns pontos, obtidos atribuindo valores à variável independente x, são suficientes para esboçar o gráfico de uma função quadrática.
 
Valores especiais da variável independente x são as raízes e x = 0. Assim, os pontos (x, 0), x real, são pontos de intersecção da curva com o eixo x, dizemos também que a curva “corta” o eixo x nos pontos (x, 0). Para x = 0, temos f(0) = c, e (0, c) é o ponto de intersecção da curva com o eixo y, ou o ponto onde a curva “corta” o eixo y.
 
GIMENEZ, Carmem Suzane Comitre; STARKE, Rubens. Introdução ao Cálculo. 2. ed. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2010.
 
Com base nessas informações, considere a situação apresentada a seguir.
 
Uma pequena fábrica de máscaras vende seus produtos em pacotes de unidades variáveis, modelada por uma função lucro L(x) = ax2 + bx + c, com a  0, sendo x a quantidade de máscaras contidas em cada pacote. Assim, considere o gráfico da função lucro explicitado a seguir.
 
 
Com base nessas informações, considerando o gráfico da função lucro exposto, julgue os itens a seguir.
 
I. Os pontos (0, 1) e (0, 5) são as raízes da função lucro L(x).
 
II. A equação que modela a função lucro é dada por L(x) = – x2 + 6x – 5.
 
III. O lucro será máximo quando cada pacote possuir 3 unidades.
 
É correto o que se afirma em
Alternativas
A) Gabarito da questão
II e III, apenas.
B) I, apenas.
C) I e III, apenas.
D) I, II e III.
E)II, apenas.
7- Sempre que alguém fixa a sua atenção em tipos de relações quantitativas está, ou a analisar propriedades de uma função conhecida, ou a tentar descobrir as propriedades dumafunção desconhecida. O conceito de função é tão amplo e tão geral que não surpreende encontrar uma imensa variedade de funções ocorrendo na natureza. O que é surpreendente é que um pequeno número de funções especiais interfira numa grande variedade de fenômenos naturais, alguns completamente diferentes. Todo aquele que estuda Matemática, quer como um disciplina abstrata, quer como um instrumento de aplicação a outros domínios científicos, verificará ser indispensável um bom conhecimento das funções logarítmicas e exponenciais e das suas propriedades.
 
APOSTOL, T. M. Cálculo: volume 1. Barcelona: Editora Reverté Ltda, 1988 (adaptado).
 
A fim de estudar a qualidade do solo de uma determinada região, alguns pesquisadores realizaram análises dos possíveis poluentes químicos que nele se encontram. Foi encontrada certa substância que se decompõe neste solo, de acordo com a seguinte equação exponencial: , em que t indica o tempo em anos, D(t) expressa a concentração da substância (g/cm³) no instante t, e M é uma constante. Os dados desse processo de decomposição são exemplificados na figura a seguir.
 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa que corresponde ao tempo  no qual a concentração dessa substância em gramas é igual a 243 g/cm³. 
Alternativas
A) 5.
B) Gabarito da questão
6.
D) 8.
E) 4.
F) 7.
8- Na Matemática, as funções exponencial e logarítmica são inversas. Isso significa que uma desfaz o cálculo da outra. Abordando mais especificamente o logaritmo, ele representa o expoente ao qual se deve elevar a base  para se obter o logaritmando . Matematicamente, temos:
 
 
em que  é a base,  é o logaritmando,  é o logaritmo, sendo  e  números reais e positivos e .
 
A função  é uma função logarítmica de base . O domínio de uma função representa os valores de  para os quais a função é definida. Nesse sentido, para determinar o domínio da função logarítmica , é preciso levar em consideração as condições de existência do logaritmo. Assim, a base deve ser um número real, positivo e diferente de 1 e o logaritmando deve ser um número real e positivo.
 
Uma vez conhecidas as principais características da função logarítmica, assinale a alternativa que apresenta o conjunto dos números reais  que satisfazem a inequação a seguir.
 
Alternativas
A)
B) Gabarito da questão
C)
D)
E)