ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL E EDO

Prévia do material em texto

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL E EDO
Caroline Alaide Cardoso dos Santos
01557383
Engenharia Civil
PROBLEMA PROPOSTO
A Lei do Resfriamento de Newton descreve a taxa na qual um objeto se resfria em relação à diferença de temperatura entre o objeto e seu ambiente. A lei foi formulada pelo físico inglês Isaac Newton no século XVII.
A Lei de resfriamento de Newton estabelece que a taxa na qual um objeto se resfria é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e seu ambiente. Em outras palavras, quanto maior a diferença de temperatura, mais rapidamente o objeto se resfria. Uma das aplicações da lei de resfriamento de Newton, seria a determinação de um modelo para o resfriamento na produção de blocos cerâmicos.
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. 
Mediante essas informações, resolva o seguinte problema:
Ao ser retirado do forno o bloco cerâmico tende a trocar o calor com o ambiente, logo se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do bloco cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?
1- Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
2- Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30º.
3- Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto, contendo o máximo de 20 a 30 linhas, expondo sua argumentação, acerca do solicitado.
SOLUÇÃO
1- Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo em relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. Essa relação pode ser expressa pela seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
dT/dt = -k(T - T_a)
Onde:
· T(t): Temperatura do corpo em função do tempo (t)
· k: Constante de resfriamento do material (depende do material e das condições de contorno)
· T_a: Temperatura do ambiente (considerada constante)
Na interpretação da EDO:
· dT/dt: Taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo.
· -k: Constante negativa que indica que a temperatura do corpo está diminuindo.
· (T - T_a): Diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente.
2- Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30º.
Para determinar o tempo necessário para que a temperatura do bloco cerâmico chegue em 30°C devemos resolver a seguinte equação:
Dados:
T1 = 100°C (temperatura inicial);
T2 = 60°C (temperatura final);
t1 = 0 min (tempo inicial);
t2 = 20 min (tempo final);
Ta = 20°C (temperatura ambiente).
· Colocando na fórmula 
k = -ln(T2 - Ta) / (t2 - t1) 
k= ln(60º-20º)/ (20-0)
k= 0.0183 min ^ -1
· Substituindo k, Ta e T(t) = 30°C na EDO
dT/dt = -0.0183 (30 - 20) = -0.183 °C/min
· Determinando o tempo t para o bloco atingir 30ºC
T(t) = T1 + (T1 - Ta) * exp(-kt)
30 = 100 + (100 - 20) * exp(-0.0183 * t)
t = 58.5 minutos 
3- Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto, contendo o máximo de 20 a 30 linhas, expondo sua argumentação, acerca do solicitado.
A aplicação da Lei de Newton no resfriamento de blocos cerâmicos se mostra muito importante para otimizar o processo produtivo e garantir a qualidade final do produto. Através da modelagem matemática, podemos estimar com precisão o tempo necessário para que um bloco atinja a temperatura desejada, assegurando uniformidade e minimizando perdas.
O modelo matemático revela que o tempo de resfriamento depende de diversos fatores, como a temperatura inicial do bloco, a temperatura ambiente, a constante de resfriamento (que varia de acordo com o material e geometria do bloco) e as condições do ambiente (convecção, radiação).
Compreender a influência de cada variável permite aos fabricantes manipularem o processo de resfriamento para alcançar resultados específicos. Por exemplo, aumentar a ventilação do ambiente pode acelerar o resfriamento, enquanto aumentar a massa do bloco pode retardar.
A Lei de Newton também permite identificar pontos críticos no processo de resfriamento, como zonas de maior concentração de calor ou áreas com resfriamento irregular. Essa informação auxilia na otimização do design dos blocos e na definição de estratégias de controle de temperatura mais eficientes.
A aplicação da Lei de Newton no resfriamento de blocos cerâmicos oferece diversos benefícios, como:
Maior controle e previsibilidade do processo, melhor qualidade do produto, otimização da produção, redução de perdas: Minimiza o descarte de blocos com defeitos causados por resfriamento inadequado.