Sistemas lineares

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Dados os números reais a1, a2,..., na, 
b, uma equação da forma 
 
É chamada equação linear na qual 
x1, x2, ..., xn são variáveis, a1, a2, ..., 
na são os respectivos coeficientes 
das variáveis, e b é o termo 
independente 
> uma solução é uma sequência de 
n números reais indicado por (b1, b2, 
..., bn), tal que 
 
> exemplo 
A equação 2x1 – x2 + x3 = 1 tem 
como solução a terna ordenada (1, 
1, 0) pois 
2 . 1 – 1 + 0 = 1 
Um sistema de m equações lineares e 
n incógnitas é um conjunto de 
equações do tipo: 
 
Uma solução é uma n-upla (c1, c2, ..., 
cn) de números reais que é solução 
de cada uma das equações do 
sistema 
 
 
 
> exemplo 
Dado o sistema 
 
Uma solução de S é (0, 3, 4). Notemos 
que essa solução não é única, em 
particular a terna 
(8/5, 11/5, 0) também é uma solução 
de S 
> se tivermos b1 = b2 = ... = bn = 0 no 
sistema S, tal sistema será dito 
homogêneo. Neste caso, a n-upla (0, 
..., 0) é uma solução de S 
Sistema compatível 
Um sistema é compatível quando 
admite solução 
→ Sistema determinado 
Quando admite uma única solução 
> exemplo 
O sistema 
 
É compatível e determinado, pois sua 
única solução é x=3 e y=4 
→ Sistema indeterminado 
Um sistema compatível é 
indeterminado quando admite mais 
de uma solução (admite infinitas 
soluções) 
> exemplo 
O sistema 
 
É compatível e indeterminado, pois 
admite soluções 
 
Sistema incompatível 
Quando não admite solução 
> exemplo 
O sistema 
 
É incompatível, pois a expressão 3x + 
9y não pode ser simultaneamente 
igual a 12 e igual a 15 para os 
mesmos valores de x e y 
São sistemas que admitem as mesmas 
soluções 
> exemplo 
Os sistemas 
 
São equivalentes, pois admitem a 
mesma solução: x=10 e y=2 
Um sistema de equações lineares se 
transforma em um sistema equivalente 
quando se efetuam as seguintes 
operações elementares: 
 Permutação de duas 
equações 
 Multiplicação de uma 
equação por um número real 
diferente de 0 
 Substituição de uma equação 
por sua soma com outra 
equação previamente 
multiplicada por um número 
real diferente de zero 
Em geral, dado um sistema de 
equações lineares, desejamos 
determinar um sistema equivalente 
mais simples, isto é, onde as 
soluções sejam evidentes 
Um sistema 
 
Pode ser escrito na forma matricial 
 
Ele também pode ser escrito como 
A . X = B, onde 
 
 
 
> uma outra matriz que podemos 
associar ao sistema é 
 
Que chamamos de matriz 
ampliada do sistema 
 
> exemplo 
O sistema 
 
Tem a forma matricial 
 
A seguir veremos que a matriz 
ampliada desse sistema 
 
Pode ser reduzida a matriz 
 
Através de operações 
equivalentes às operações 
efetuadas nas equações do 
sistema, essa é a matriz ampliada 
do sistema 
 
São 3 as operações elementares 
sobre as linhas de uma matriz: 
1 – Permutação de dias linhas (Li 
→ Lj) 
> exemplo: L2 → L3 
 
2 – Multiplicação de uma linha 
por um número K diferente de zero 
(Li → KLi) 
> exemplo: L2 → -3L2 
 
3 – Substituição de uma linha por 
sua soma com outra linha 
multiplicada por um número K 
diferente de zero (Li → Li + KLj) 
> exemplo: L3 → L3 + 2L1 
 
> definição: Sejam A e B matrizes 
m x n, dizemos que A e B são 
equivalentes se B pode ser obtida 
de A através de operações 
elementares 
> teorema: dois sistemas que 
possuem matrizes ampliadas 
equivalentes são equivalentes 
Uma matriz está em forma 
escalonada reduzida por linhas 
se tem as seguintes propriedades: 
1 – Se uma linha não consistir só 
de zeros, então o primeiro número 
não nulo da linha é 1. Chamamos 
esse número 1 de líder ou pivô. 
2 – Se existirem linhas constituídas 
somente de zeros, elas estão 
agrupadas nas linhas inferiores da 
matriz. 
3 – Em quaisquer duas linhas 
sucessivas que não consistem só 
de zeros, o pivô da linha inferior 
ocorre à direita do pivô da linha 
superior 
4 – Cada coluna que contém um 
pivô tem zeros nas demais 
entradas 
> Dizemos que uma matriz que tem 
as três primeiras propriedades 
está em forma escalonada por 
linhas ou em forma escalonada 
> exemplos 
1 - 
A matriz está em forma 
escalonada, mas não em forma 
escalonada por linhas, pois a 4° 
propriedade não é satisfeita 
2 - 
A matriz acima não está em forma 
escalonada, pois a primeira 
propriedade não é satisfeita 
3 - 
A matriz acima não satisfaz a 
primeira nem a segunda 
propriedade 
4 - 
A matriz acima está em forma 
escalonada reduzida por linhas 
> procedimento de eliminação 
 
> passo 1: localize a coluna mais 
à esquerda que não seja 
constituída só de zeros 
> passo 2: mudar a primeira linha 
com outra linha, se necessário 
> passo 3: se a entrada que está 
no topo da coluna encontrada 
no passo 1 é a, multiplique a 
primeira linha por 1/a para obter 
um pivô 
> passo 4: some múltiplos 
convenientes da primeira linha às 
linhas inferiores para obter zeros 
nas entradas abaixo do pivô 
> passo 5: esconda a primeira 
linha da matriz e recomece 
aplicando o passo 1 à submatriz 
resultante. Fazer isso até que toda 
a matriz esteja em forma 
escalonada 
 
A matriz acima está em forma 
escalonada, para obter a forma 
reduzida: 
> passo 6: começando com a 
última linha não nula e 
trabalhando de baixo pra cima, 
some múltiplos convenientes de 
cada linha às linhas superiores 
para introduzir zeros nas entradas 
acima do pivô 
• se aplicarmos somente os cinco 
primeiros passos do procedimento 
anterior, obteremos uma matriz na 
forma escalonada, isso cama 
eliminação gaussiana 
• o procedimento até o 6° passo 
produz uma matriz escalonada 
reduzida por linhas e é chamado 
eliminação de Gauss-Jordan 
> exemplos 
1 – Resolva o sistema 
 
Algumas vezes é preferível resolver 
um sistema por eliminação 
gaussiana, quando isso é feito, o 
correspondente sistema pode ser 
resolvido por uma técnica 
chamada de retro substituição 
2 -Resolva 
 
3 – Resolva