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CÁLCULO II Prof. Tiago Coelho 2023 - 2º Semestre Lista de Exercícios 15 Questão 1. Como realizar a conversão das coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilíndricas (r, θ, z), considerando que r representa a distância radial do ponto ao eixo z, θ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo x, e z representa a altura do ponto em relação ao plano xy? Solução: No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimen- sional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P . Para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos: r2 = x2 + y2 tg θ = y x z = z Questão 2. Calcule a integral tripla∫ ∫ ∫ (x2 + y2 + z2) dV sobre a região delimitada pelo cone z = √ x2 + y2 e o plano z = 2, utilizando coor- denadas cilíndricas. Solução: Inicialmente precisamos conhecer a região E sobre a qual a integral será calculada, para isso note que a projeção de E sobre o plano é o disco x2 + y2 ≤ 4, ou seja, temos r variando de 0 a 2 e θ sendo uma volta completa, e a superfície inferior de E é o cone z = √ x2 + y2 e a superfície superior é o plano z = 2. Assim em coordenadas cilíndricas, temos: E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ 2π; r ≤ z ≤ 2} Agora podemos escrever nossa integral em coordenadas cilíndricas como:∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 2 r (r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + z2)rdzdrdθ =∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 2 r (r2(cos2 θ + sen2 θ) + z2)rdzdrdθ =∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 2 r (r2 + z2)rdzdrdθ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 2 r r3 + z2rdzdrdθ =∫ 2π 0 ∫ 2 0 [ r3z + z3r 3 ]2 r drdθ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 2r3 + 8r 3 − r4 − r4 3 drdθ =∫ 2π 0 [ r4 2 + 4r2 3 − r5 5 − r5 15 ]2 0 dθ =∫ 2π 0 8 + 16 3 − 32 5 − 32 15 dθ = ∫ 2π 0 24 5 dθ = [ 24θ 5 ]2π 0 = 48π 5 1 Cálculo II Lista de Exercícios 14 Questão 3. Determine o valor da integral tripla ∫ ∫ ∫ (x2+y2+z2) dV sobre a região delimitada pelo cilindro x2+ y2 = 1 e os planos z = 0 e z = 4, utilizando coordenadas cilíndricas. Solução: Inicialmente precisamos conhecer a região E sobre a qual a integral será calculada, para isso note que a projeção de E sobre o plano é o disco x2 + y2 ≤ 1, ou seja, temos r variando de 0 a 1 e θ sendo uma volta completa, e a superfície inferior de E é o plano z = 0 e a superfície superior é o plano z = 4. Assim em coordenadas cilíndricas, temos: E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ z ≤ 4} Agora podemos escrever nossa integral em coordenadas cilíndricas como:∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 4 0 (r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + z2)rdzdrdθ =∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 4 0 (r2 + z2)rdzdrdθ = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 4 0 r3 + z2rdzdrdθ =∫ 2π 0 ∫ 1 0 [ r3z + z3 3 r ]4 0 drdθ =∫ 2π 0 ∫ 1 0 4r3 + 64r 3 drdθ =∫ 2π 0 [ r4 + 64r2 6 ]1 0 dθ =∫ 2π 0 1 + 64 6 dθ = ∫ 2π 0 70 6 dθ = [ 35θ 3 ]2π 0 = 70π 3 Questão 4. Como realizar a conversão de uma função em coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) para coordenadas cartesianas (x, y, z), considerando que ρ representa a dis- tância do ponto à origem, θ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo x, e ϕ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo z? Solução: No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada (ρ, θ, ϕ), onde ρ é a distância da origem à P , θ é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas e ϕ é o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP . Para converter de coordenadas esféricas para retangulares usamos: x = ρ senϕ cos θ y = ρ senϕ sen θ z = ρ cosϕ ρ2 = x2 + y2 + z2 Questão 5. Calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = e √ x2+y2+z2 x2 + y2 + z2 sobre a região R no espaço, onde R é definida em coordenadas esféricas como ρ ∈ [0, 2], θ ∈ [0, π 2 ], e ϕ ∈ [0, π]. Solução: Inicialmente precisamos converter nossa integral de coordenadas retangu- lares para coordenadas esféricas, assim:∫∫∫ e √ x2+y2+z2 x2 + y2 + z2 dV =∫ π 0 ∫ π 2 0 ∫ 2 0 eρ ρ2 ρ2 senϕdρdθdϕ = ∫ π 0 ∫ π 2 0 ∫ 2 0 eρ senϕdρdθdϕ Prof. Tiago Coelho 2 Cálculo II Lista de Exercícios 14 ∫ π 0 ∫ π 2 0 e2 senϕ− senϕdθdϕ =∫ π 0 πe2 senϕ 2 − π senϕ 2 dϕ = [ −πe2 cosϕ 2 + π cosϕ 2 ]π 0 = πe2 2 − π 2 + πe2 2 − π 2 = πe2 − π Prof. Tiago Coelho 3
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