[1706]CalculoII (2)

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cálculo II
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
UnisulVirtual 
Palhoça, 2009
Disciplina na modalidade a distância
4a edição revista
Design instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Calculo II.indb 1 26/2/2009 09:25:48
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual - Educação Superior a Distância
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Rafael Back
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Calculo II.indb 2 26/2/2009 09:25:48
3
cálculo II
SumárIo
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Disciplina Cálculo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Plano de estudo da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unidade 1 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Unidade 2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Unidade 3 Técnicas de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Unidade 4 Tópicos especiais de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Unidade 5 Aplicações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Unidade 6 Aplicações físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Unidade 7 Aplicações no contexto econômico-financeiro . . . . . . . 235
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Respostas e comentários dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Calculo II.indb 3 26/2/2009 09:25:48
Calculo II.indb 4 26/2/2009 09:25:48
5
cálculo II
Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo II.
O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autôno-
ma . Aborda conteúdos especialmente selecionados e adota lin-
guagem que facilite seu estudo a distância . 
Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho/a . 
Não se esqueça de que sua caminhada nesta disciplina também será 
acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorialda UnisulVir-
tual . Entre em contato, sempre que sentir necessidade, seja por cor-
reio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Apren-
dizagem . Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo/a, pois sua 
aprendizagem é nosso principal objetivo .
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual
ApreSentAção
Calculo II.indb 5 26/2/2009 09:25:48
Calculo II.indb 6 26/2/2009 09:25:49
7
cálculo II
Díva Marília Flemming 
Elisa Flemming Luz 
Christian Wagner
Programa da Disciplina
Unidade 1 Integração
Unidade 2 Integral definida
Unidade 3 técnicas de integração
Unidade 4 tópicos especiais de integração
Unidade 5 Aplicações geométricas
Unidade 6 Aplicações físicas
Unidade 7 Aplicações no contexto econômico-financeiro
Calculo II.indb 7 26/2/2009 09:25:49
515
F62 Flemming, Diva Marília
Cálculo II : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa 
Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Karla Leonora 
Dahse Nunes ; [assistente acadêmico Michele Antunes Corrêa]. – 4. 
ed. rev. – Palhoça : UnisulVirtual, 2009.
348 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-060-8
1. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Christian. III. Nunes, 
Karla Leonora Dahse. IV. Corrêa, Michele Antunes. V. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2009 Nenhuma parte desta publicação pode ser 
reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Edição - Livro didático
Professores Conteudistas
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
[3a ed. rev. e atual.]
Assitente Acadêmico
Michele Antunes Corrêa
[4a ed. revista]
Capa
Equipe UnisulVirtual
Projeto Gráfico e Diagramação
Daniel Blass
Revisão
B2B
Calculo II.indb 8 26/2/2009 09:25:49
9
pAlAvrAS doS 
profeSSoreS
Ao fazer a escolha de um curso na modalidade a distância você 
assume uma grande responsabilidade, pois você vai ser o principal 
personagem da construção dos seus conhecimentos . Mas, não se 
preocupe, pois você não estará sozinho nesta caminhada . Estamos 
bem perto de você com cada uma das palavras, fórmulas ou alge-
brismos colocados neste texto didático .
Você está lidando com uma área de conhecimento que para mui-
tos pode ser considerada difícil e pesada . Entretanto, podemos ter 
um outro olhar – a Matemática que promove mudanças na sua 
vida, na sua mente, no seu coração . É isso mesmo! O seu envolvi-
mento emocional com a Matemática vai promover mudanças na 
sua vida, afinal é aqui que vamos discutir problemas!
Calculo II.indb 9 26/2/2009 09:25:49
10
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Estamos felizes por poder compartilhar com você toda a nossa 
motivação e inspiração pela educação matemática .
No Cálculo I, você teve a oportunidade de conhecer quatro per-
sonagens que nos acompanharam no desenvolvimento das fun-
ções, limites e derivadas . Agora estamos iniciando novas aventu-
ras com o SiSoSi, o Phil, o Rec e a Teca .
Seja bem vindo à nossa comunidade virtual, na qual estamos in-
seridos, compartilhando dúvidas, dificuldades, vitórias e alegrias!
Um grande abraço!
Profa . Diva Marília Flemming 
Profa . Elisa Flemming Luz 
Prof . Christian Wagner
Calculo II.indb 10 26/2/2009 09:25:49
11
plAno de eStudo 
dA dIScIplInA
O plano de estudo orienta você no desenvolvimento da Discipli-
na . Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto 
do Cálculo Diferencial e Integral II e a organizar o seu tempo de 
estudos .
O processo de ensino e aprendizagem da UnisulVirtual leva em 
conta instrumentos que se articulam e se complementam, portan-
to, a construção de competências e habilidades se dá a partir da 
articulação de metodologias envolvendo diversas formas de ações 
e estratégias mediadoras .
São elementos desse processo:
 O livro didático;
 O espaço virtual de aprendizagem (EVA);
 As atividades de avaliação (complementares, a distância e 
presenciais) .
Calculo II.indb 11 26/2/2009 09:25:49
12
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Ementa da disciplina
Integral indefinida . Métodos de integração . Integral definida . 
Aplicações da Integral definida . Integrais impróprias .
Carga horária
60 horas ou 4 créditos
Objetivo(s)
Geral
Dar ao universitário a oportunidade de construir competências e 
habilidades para analisar, refletir e delinear conclusões no contex-
to da resolução de situações problemas .
Específicos
 Analisar situações problemas cuja modelagem envolve deriva-
das e integrais .
 Calcular integrais por substituições simples e por substituições 
trigonométricas .
 Calcular integrais de funções racionais usando diferentes téc-
nicas de integração .
 Discutir problemas no contexto da Geometria Plana e Espa-
cial .
 Analisar problemas no contexto econômico e financeiro .
 Discutir soluções para problemas da Física que são modelados 
com integrais .
 Utilizar corretamente procedimentos que envolvem o uso de 
ferramentas tecnológicas na resolução de problemas .
Calculo II.indb 12 26/2/2009 09:25:49
13
cálculo II
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conheci-
mentos que você deverá construir para o desenvolvimento de ha-
bilidades e competências necessárias a sua formação . Veja a seguir 
as sete unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, 
bem como os seus respectivos objetivos .
Unidade 1 – Integração
Nesta unidade você terá o primeiro contato com os métodos de 
integração a partir da discussão inicial do conceito de primitivas . 
Você terá a oportunidade de observar nos exemplos, que o pro-
cesso de integração é um processo operacional inverso do proces-
so de derivação .
Unidade 2 – Integral definida
Analisar, discutir e calcular integrais definidas será um dos ob-
jetivos iniciais desta unidade . A discussão de propriedades e a 
aplicação de teoremas vão permitir a modelagem de diferentes 
situações problemas como os que envolvem o cálculo de áreas de 
figuras planas com formatos variados e não convencionais .
Unidade 3 – Técnicas de integração
A variedade de funções que surgem no momento de modelar pro-
blemas exige competências para lidar com técnicas de integração 
mais específicas . Dessa forma, nesta unidade serão discutidas as 
técnicas que envolvem funções trigonométricas e funções racionais .
Unidade 4 – Tópicos especiais de integração
O uso de recursos computacionais facilita muito no momento de 
desenvolver integrais cuja técnica exige tempo adicional para de-
senvolver os algebrismos . Assim, nesta unidade serão discutidos 
exemplos diversos que envolvem expressões quadráticas e exem-
plos que abarcam integrais impróprias .
Calculo II.indb 13 26/2/2009 09:25:49
14
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Unidade 5 – Aplicações geométricas
Considerando-se o grande número de aplicações práticas das 
integrais no contexto geométrico, nesta unidade, dedica-se um 
tempo adicional ao estudo de áreas, volumes e comprimento de 
arcos . Todos os exemplos serão ilustrados com representações 
gráficas envolvendo o uso de recursos tecnológicos .
Unidade 6 – Aplicações físicas
A Matemática e a Física estão interligadas, pois, é a partir dos 
conceitos da Física que temos a oportunidade de discutir proble-
mas de massa, trabalho e pressão . Será importante observar que 
em todos esses problemas citados, as ferramentas básicas da mo-
delagem são as integrais .
Unidade 7 – Aplicações no contexto econômico-financeiro
Nesta unidade você vai observar e analisar problemas do contexto 
econômico e financeiro cuja modelagem envolve os conceitos e o 
cálculo de integrais definidas . De forma bastante simples, os pro-
blemas são modelados e resolvidos .
Calculo II.indb 14 26/2/2009 09:25:49
15
unIdAde 1 
IntegrAção
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá estar apto a:
 Identificar primitivas de funções elementares.
 calcular integrais imediatas. calcular integrais usando o método de substituição.
 calcular integrais usando o método de integração por partes.
Plano de estudo da unidade
Para início de conversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Seção 1 primitivas e Integrais Indefinidas. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Seção 2 método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Seção 3 método de Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Síntese da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
À primeira vista, o que você vê! 
Você vê uma taça? Ou você vê algo 
mais? Olhe com mais atenção!!!
Calculo II.indb 15 26/2/2009 09:25:55
Calculo II.indb 16 26/2/2009 09:25:55
17
 
Para início de conversa
Nesta unidade, você dará continuidade ao estudo do Cálculo Di-
ferencial e Integral que foi iniciado no Cálculo I . Para entender 
o processo de integração, será importante rever os conceitos de 
derivação que foram estudados no Cálculo I .
Já na primeira seção, o estudo das integrais irá considerar um 
procedimento matemático que consiste no processo inverso da 
derivação .
O termo integral como utilizamos no Cálculo foi abordado por 
Johann Bernoulli (1667-1748) e publicado por seu irmão 
mais velho Jakob Bernoulli (1654-1705). As integrais eram 
consideradas simplesmente como derivadas “inversas”. Apesar 
de serem irmãos, Johann e Jakob tinham uma relação que se 
caracterizou como ciumenta e melindrosa. No entanto, a famí-
lia Bernoulli tem destaque importante na história do Cálculo.
Calculo II.indb 17 26/2/2009 09:25:56
18
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Após entender a integral como procedimento inverso à deriva-
ção, será o momento de realizar cálculos a partir de fórmulas que 
estarão relacionadas na tabela de integrais . Você irá utilizar alge-
brismos matemáticos elementares e, principalmente, as regras de 
derivação que foram estudadas no Cálculo I .
Nas últimas seções, você conhecerá importantes métodos de inte-
gração: substituição e por partes . Estes métodos estarão presentes 
em várias integrais que serão resolvidas nas demais unidades e, 
sendo assim, formarão uma base conceitual para sua caminhada 
no estudo do Cálculo .
Já nesta primeira unidade, vale lembrar a importância de um es-
tudo sistemático para que os conceitos relacionados à integração 
sejam construídos por etapas . Assim como no Cálculo I, será 
importante a resolução de exercícios para que os conteúdos sejam 
fixados e você possa seguir em frente sem lacunas em seu apren-
dizado .
Calculo II.indb 18 26/2/2009 09:25:56
19
cálculo II  unidade 1
Para introduzir a integral indefinida, é importante termos sempre 
em mente que estamos diante de um procedimento matemático 
que lembra uma operação inversa ao processo de derivação .
Lembre-se: subtração é uma operação inversa da adição; divisão 
é uma operação inversa da multiplicação etc . Agora vamos dizer 
que integração é um procedimento inverso à derivação .
Seção 1 
Primitivas e integrais indefinidas
Calculo II.indb 19 26/2/2009 09:25:56
20
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Observe a tabela que segue:
Derivada
f(x) = F'(x)
Função (observar que C é uma constante arbitrária)
F(x)
x
2x
2
2x
2
+ 4
2x
2
– 1
2x
2
+ C
x2
3x
3
3x
3
+ 5
3x
3
+ C
x3
4x
4
4x
4
+ 5
4x
4
+ C
ex
ex ex + 4
ex + C
1
x
ln x ln x + 2
ln x + C
Tente responder às seguintes perguntas simplesmente observan-
do os dados da tabela:
 Qual é a função cuja derivada é f (x) = x ?
 Qual é a função cuja derivada é f (x) = x2 ?
 Qual é a função cuja derivada é f (x) = x3 ?
 Qual é a função cuja derivada é f (x) = ex ?
 Qual é a função cuja derivada é f (x) = 1
x
 ?
Calculo II.indb 20 26/2/2009 09:25:56
21
cálculo II  unidade 1
Você deve ter percebido que basta olhar a tabela para verificar 
que a resposta não é única . Por exemplo, você tem as funções
F(x) = 
3
3
x ; F(x) = 
3
3
x + 5 ; F(x) = 
3
3
x + C
cujas derivadas são exatamente iguais à f(x) = x2 .
Estamos prontos para definir Primitiva de uma função ou Anti-
derivada de uma função .
Definição 1 
Uma função F(x) é uma Primitiva ou Antiderivada de f (x) 
num intervalo I se F'(x) = f (x) para todo x ∈ I.
Assim, na tabela dada, as funções da segunda coluna são Primiti-
vas ou Antiderivadas das respectivas funções listadas na primeira 
coluna .
Exemplos
(a) Seja 4 21 3
F(x) x – x 5x 2
4 2
= + + .
mostre que F(x) é uma primitiva de f(x) = x3 – 3x +5.
para desenvolver este exemplo, basta fazer a derivada da função F(x) e cons-
tatar que o resultado é exatamente igual a f(x). veja:
= ⋅ ⋅ +
= − +
3
3
1 3
F'(x) 4x – 2x 5
4 2
x 3x 5.
(b) Seja a função F(x) = 2x + C. usando a definição de primitiva, encontre a 
função f(x) tal que F(x) seja a sua primitiva. observe que C é uma constante 
arbitrária e como a sua derivada é nula, ela não determina modificações na 
função f(x). desenvolva uma representação gráfica simulando valores para C 
e discuta as características gráficas no contexto do estudo das primitivas de 
uma função.
Em tempo
Veja que C é uma 
constante arbitrária e, 
portanto, você pode dar infinitas 
respostas para as perguntas 
formuladas.
Calculo II.indb 21 26/2/2009 09:25:56
22
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
para encontrar a função f(x) tal que F(x) = 2x + C seja a sua primitiva, basta 
fazer a derivada:
F(x) = 2x + C
F'(x) = 2
portanto, encontramos uma função constante, ou seja, f(x) = 2.
Observe a representação gráfica da Figura 1 .1 que mostra diver-
sas funções estabelecidas a partir de F(x) = 2x + C, variando-se 
valores para a constante C .
Figura 1.1 função f(x) = 2x + c para diferentes valores de c.
Estamos diante de uma família de funções que atende a caracte-
rística de ter como derivada a função constante f (x) = 2 . Isto nos 
leva a lembrar que realmente temos infinitas retas cuja declivida-
de é igual a 2 .
Calculo II.indb 22 26/2/2009 09:25:58
23
cálculo II  unidade 1
É possível constatar que o cálculo de Primitiva de uma função 
sempre vai levar a uma família de curvas .
Proposição: Se F(x) é a primitiva de f (x), então se c é uma 
constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primiti-
va de f (x).
Perceba que você está diante de um novo processo no contexto da 
Matemática . Trata-se do processo para determinar todas as pri-
mitivas de uma função, o qual será denominado de Integração . 
Ao analisar a próxima definição, você irá observar o uso de uma 
simbologia própria para esse processo em discussão .
Definição 2 
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chama-
da Integral Indefinida da função f(x) e é denotada por:
∫ f(x)dx = F(x) + C.
Veja os significados das notações usadas:
 O símbolo ∫ é chamado sinal de integração;
 f (x) é a função integrando;
 f (x)dx é o integrando .
O símbolo dx que aparece no integrando serve simplesmente 
para identificar a variável de integração .
Em tempo
Veja que estamos 
usando letra maiús-
cula na função Primitiva para 
diferenciar da função dada, ou 
f(x) = F'(x)
Veja como é simples provar a proposição!
Como F(x) é a primitiva de f(x), é possível dizer que F'(x) = f(x). 
Desta forma:
G'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) + 0 = f(x),
ou seja, G(x) é uma primitiva de f(x).
Calculo II.indb 23 26/2/2009 09:25:58
24
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Você deve estar se perguntando:
Como vou calcular a integral de uma função?
Lembrando que na disciplina Cálculo I você usou uma tabela com 
as regras de derivação, é possível imaginar que podemos olhar a ta-
bela em ordem contrária, isto é, olhar o resultado da derivada para 
achar a função . Podemos, inclusive, formar uma nova tabela deno-
minada Tabela das Integrais Imediatas ou Regras de Integração .
De imediato, você terá a oportunidade de verificar que vai ser preciso 
obter caminhos diferentes para as funçõesque não estão contempla-
das na tabela . A formalização desses caminhos conduz à discussão de 
propriedades da integral indefinida e métodos de integração .
Propriedades: Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas em um 
conjunto I e K uma constante. Então:
1. ∫ Kf(x)dx = K∫ f(x)dx
2. ∫ [ f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx.
O cálculo integral se originou com problemas de:
 quadratura – encontrar o valor exato da área de uma re-
gião bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais 
curvas, ou de uma superfície tridimensional cuja fronteira 
consiste de pelo menos uma superfície curva;
 cubatura - determinar o volume exato de um sólido tridi-
mensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies 
curvas. 
Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: mate-
máticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que 
“reduziram um problema a uma quadratura”, o que significa 
que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias 
maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando 
uma integral.
Calculo II.indb 24 26/2/2009 09:25:58
25
cálculo II  unidade 1
Observe que com essas duas propriedades podemos garantir que 
a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual 
à constante multiplicada pela integral da função . Também, vale 
que a integral de uma soma ou diferença de funções é igual à 
soma ou diferença das integrais .
Para que possamos usar essas propriedades em diversos exemplos, 
vamos começar a utilizar a Tabela das Integrais Imediatas que é a 
tabela das derivadas visualizadas da direita para a esquerda . Esta 
tabela está disponível ao final deste livro didático, incluindo uma 
versão em que há a previsão de recorte . Tenha a tabela em mãos 
para acompanhar os exemplos apresentados .
Exemplos
calcule as integrais indefinidas usando as propriedades e a tabela das inte-
grais imediatas. observe que em todos os exemplos iniciais, ao usar a tabela, 
estamos considerando que u = x e du = dx. Assim, a variável de integração é x. 
verifique o desenvolvimento a seguir de cada exemplo, acompanhando, na 
coluna da direita, as propriedades e integrais imediatas utilizadas.
(a)
∫ (x2 + x + 1)dx
A integral de uma soma e a soma da 
integral (propriedade 2).
= ∫ x2dx + ∫ xdx + ∫ dx
os resultados de cada integral foram ob-
tidos usando-se as integrais imediatas da 
tabela (3) com m = 3; (3) com m = 2 e (1).
3 2
1 2 3
x x
C C (x C )
3 2
   
= + + + + +   
   
reescrevendo a expressão.
3 2
1 2 3
x x
x (C C C )
3 2
 
= + + + + + 
 
como as constantes são arbitrárias, pode-
mos fazer C = C1 + C2 + C3.
3 2x x
x C
3 2
= + + +
Calculo II.indb 25 26/2/2009 09:25:58
26
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(b)
∫ 4x5dx
Uso da propriedade 2 • informalmente, 
podemos dizer que a constante saiu para 
fora da integral, pois está multiplicando a 
função.
= 4 ∫ x5dx uso da integral imediata (3) com m = 5.
= ⋅ +
6x
4 C
6
Simplificando a resposta.
62
x C
3
= +
Agora, continue acompanhando de forma mais rápida os demais 
exemplos:
(c)
3 2
3 2
4 3
4 3
(2x 3x 1)dx
2 x dx 3 x dx dx
x x
2 3 x C
4 3
1
x x x C
2
+ −
= + −
= + − +
= + − +
∫
∫ ∫ ∫
observe que usamos as duas proprieda-
des na primeira linha da resolução; apli-
camos os resultados da tabela para cada 
uma das integrais da soma e, finalmente, 
simplificamos o resultado final.
(d)
3 2 2 3
2
1
3
5 3
5 3
x dx x dx
x
C
2
1
3
x
C
5 3
3
x C
5
+
=
= +
+
= +
= +
∫ ∫
neste exemplo, foi necessário, inicialmen-
te, reescrever a raiz cúbica para usar a 
integral imediata (3). Após a aplicação da 
regra de integração ou integral imediata 
(3), as simplificações foram realizadas para 
apresentar o resultado de forma mais 
resumida.
Calculo II.indb 26 26/2/2009 09:25:59
27
cálculo II  unidade 1
(e)
1 2
2 3 2
2 3 2
(x x )dx xdx x dx
x x
C
2 3 2
1 2
x x C
2 3
+ = +
= + +
= + +
∫ ∫ ∫
verifique o uso da propriedade 2 e da 
regra de integração (3).
(f )
∫ ex dx = ex + C
observe que esta é uma função especial, 
pois a integral indefinida é a própria fun-
ção, podendo diferir apenas na constante 
de integração. verifique o uso da regra de 
integração (5).
(g)
2dx dx
2 2ln |x | C
x x
= = +∫ ∫
neste exemplo, foram usadas a proprieda-
de 1 e a regra de integração (2).
(h)
cos x 1
dx cos x dx
3 3
1
sen x C
3
=
= +
∫ ∫ neste exemplo, foram usadas a proprieda-
de 1 e a regra de integração (7).
(i)
2
sen x
dx tg x sec x dx
cos x
sec x C
= ⋅
= +
∫ ∫
para este exemplo, foram usadas as re-
lações trigonométricas 
sen x
tg x
cos x
= e 
1
sec x
cos x
= e a regra de integração (14).
(j)
1 2
2 3 2
2 3 2
2
(t t )dt
t
dt
tdt t dt 2
t
t t
2ln |t | C
2 3 2
1 2
t t 2ln |t | C
2 3
+ +
= + +
= + + +
= + + +
∫
∫ ∫ ∫ observe o uso das duas propriedades e 
das regras de integração (1), (2) e (3).
Procure fazer os exercícios propostos para que você tenha certeza 
de que está preparado para seguir em frente!
Em tempo
Verifique que neste 
exemplo (j), ao com-
parar com as regras de integra-
ção, a variável de integração é t.
Calculo II.indb 27 26/2/2009 09:25:59
28
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Agora é a sua vez!
Calcule a integral das seguintes funções usando as propriedades e 
as integrais imediatas .
(a) ∫ (5x3 +2x – 1)dx
(b) 7(x 2 x )dx+∫
(c) x( x e )dx+∫
(d) x2
3e dx
x
 + 
 ∫
Calculo II.indb 28 26/2/2009 09:25:59
29
cálculo II  unidade 1
Após ter estudado a definição de integral indefinida, você agora 
já deve ter exercitado o cálculo de integrais usando diretamente a 
tabela de integrais . Assim, talvez já tenha percebido que a tabela 
não esgota as possibilidades de funções a serem calculadas . Sendo 
assim, você pode se perguntar:
Como vou calcular a integral 
de funções mais complexas?
É possível determinar a integral de uma dada função, aplicando 
uma das regras de integração discutidas na seção anterior, depois 
de ser feita uma mudança de variável . Este processo é análogo à 
regra da cadeia para derivação, discutida no Cálculo I . Na prá-
tica, você precisa escolher uma função conveniente, de tal forma 
que a integral obtida seja mais simples . Os exemplos que seguem 
ilustram esse método de integração, destacando-se sempre quatro 
passos fundamentais:
Seção 2 
Método de Substituição
Calculo II.indb 29 26/2/2009 09:25:59
30
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
1 . Substituir a variável por meio de uma escolha conveniente;
2 . Fazer as simplificações possíveis podendo ocorrer a aplica-
ção das propriedades;
3 . Identificar e aplicar a regra de integração;
4 . Retornar à variável original .
Exemplos
(a) ∫ 2(3x2 + 2x – 1)10 (6x + 2)dx
para este exemplo, a escolha conveniente é:
u = 3x2 + 2x – 1. então du = (6x + 2)dx.
observe que não se têm regras maceteadas para identificar a substituição 
conveniente. mas a idéia é escolher uma relação em que, após a substituição 
e simplificação, a integral fique perfeitamente identificável com uma ou mais 
regras de integração.
+ − +∫ 2 102(3x 2x 1) (6x 2)dx
u du


veja que, neste exemplo, tem-se:
2 10 10
10
11
2 11
2 11
2(3x 2x 1) (6x 2)dx 2u du
2 u du
u
2 C
11
(3x 2x 1)
2 C
11
2
(3x 2x 1) C
11
+ − + =
=
= +
+ −
= +
= + − +
∫ ∫
∫
Calculo II.indb 30 26/2/2009 09:25:59
31
cálculo II  unidade 1
observe que, após a substituição, a integral ficou na variável u e perfeitamen-
te identificável com uma regra de integração da tabela. Aplicou-se a proprie-
dade 1 e a regra de integração (3) e, para finalizar, volta-se à variável original 
do exercício, substituindo-se u = 3x2 + 2x – 1.
(b) 
2
3
3x
dx
1 x+∫
fazendo u = 1 + x3, então du = 3x2dx.
portanto,
2
3
3
3x du
dx
1 x u
ln u C
ln 1 x C
=
+
= +
= + +
∫ ∫
(c) 5
dx
(5x 7)−∫
podemos reescrever a integral como ∫ (5x – 7)–5 dx.
fazendo u = 5x – 7, então du = 5dx ou 
du
dx
5
= .
fazendo as substituições, obtemos:
− −
−
−
−
−
− = ⋅
=
= ⋅ +
−
= − +
= − − +
−
= +
−∫ ∫
∫
5 5
5
4
4
4
4
du
(5x 7) dx u
5
1
u du
5
1 u
C
5 4
1
u C
20
1
(5x 7) C
20
1
C
20(5x 7)
Calculo II.indb 31 26/2/2009 09:25:59
32
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(d) ∫ e2x – 1 dx
fazendo u = 2x – 1, então, du = 2dx ou 
du
dx
2
= .
portanto,
2x 1 u
u
u
2x 1
du
e dx e
2
1
e du
2
1
e C
2
1
e C
2
−
−
= ⋅
=
= +
= +
∫ ∫
∫
(e) 
2x2e x dx∫
fazendo u = x2, então du = 2x dx ou 
du
dx
2x
= .
portanto, 
2x u du
2e x dx 2e x
2x
=∫ ∫
Simplificando o x e o dois, tem-se:
2
u u
x
e du e C
e C
= +
= +
∫
(f ) 
2(ln x)
dx
3x∫
fazendo u = ln x, então 
dx
du
x
= ou dx = xdu.
portanto, 
2 2(ln x) u
dx x du
3x 3x
= ⋅∫ ∫ .
Vamos falar um pouco sobre computador?
O cálculo de integrais indefinidas usando software matemáti-
co não é tão simples. O Derive pode ser um grande aliado nes-
te processo. Você pode fazer download de sua versão demo 
no site www.derive.com e então fazer alguns testes. Vale a 
pena!!
Calculo II.indb 32 26/2/2009 09:26:00
33
cálculo II  unidade 1
Simplificando o x, vem:
2 2
3
3
3
1 1
u du u du
3 3
1 u
C
3 3
1
u C
9
1
(ln x) C
9
=
= +
= +
= +
∫ ∫
(g) ∫ (e–2x + x3)dx
Aplicando inicialmente a propriedade 2, tem-se:
∫ (e–2x + x3)dx = ∫ e–2x dx + ∫ x3 dx 
observe que na primeira integral é necessário usar o método da substituição, 
mas a segunda integral é obtida diretamente das regras de integração. veja:
1ª integral: 2x u du
e dx e
2
− =
−∫ ∫ sendo u = –2x e du = –2dx ou 
du
dx
2
=
−
.
portanto,
2x u
u
1
2x
1
1
e dx e du
2
1
e C
2
1
e C
2
−
−
= −
= − +
= − +
∫ ∫
2ª integral: 
4
3
2
x
x dx C
4
= +∫ .
podemos, agora, finalizar reunindo os dois resultados:
2x 3 2x 3
4
2x
(e x )dx e dx x dx
1 x
e C
2 4
− −
−
+ = +
= − + +
∫ ∫ ∫
lembre-se da simplificação das constantes de integração C = C1 + C2.
Calculo II.indb 33 26/2/2009 09:26:00
34
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(h) 2
dx
x 4x 11+ +∫
para resolver esta integral, será necessário completar o quadrado do polinô-
mio do denominador da fração:
x2 + 4x + 11 = x2 + 2·2x + 4 – 4 + 11 
 = (x + 2)2 + 7
portanto, a integral pode ser escrita da seguinte forma:
2 2
dx dx
x 4x 11 (x 2) 7
=
+ + + +∫ ∫
fazendo u = x + 2, então du = dx. portanto, 2 2
dx du
(x 2) 7 u 7
=
+ + +∫ ∫ .
usando a regra (17) da tabela de integrais, sendo que a2 = 7 ⇒ a = 7 , tem-se:
= +
+
+
= +
∫ 2
du 1 u
arc tg C
u 7 7 7
1 x 2
arc tg C.
7 7
Agora é a sua vez!
Calcule as seguintes integrais usando as tabelas de derivadas, in-
tegrais e o método da substituição .
(a) ∫ (5x3 – 2x + 3)8 (15x2 – 2)dx
(b) ∫ (7x + 20)7 dx
Calculo II.indb 34 26/2/2009 09:26:00
35
cálculo II  unidade 1
(c) ∫ (x2 + 2x – 3)4 (x + 1)dx
(d) 2 23 (x 1) x dx+∫
(e) ∫ 7e5x + 2 dx
(f ) ∫ x ln (x2 + 1) dx
(g) 2
2x 1
dx
x x 1
+
+ −∫
(h) 
2
ln x dx
x
 + 
 ∫
(i) 
54 xx e dx−⋅∫
(j) 2 3x 2x 4 dx+∫
Calculo II.indb 35 26/2/2009 09:26:00
36
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Outro método de integração muito usado é o Método de Inte-
gração por Partes . Em geral, a função do integrando pode ser vi-
sualizada como um produto de funções, ou seja, ∫ f(x) g(x) dx .
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis em um intervalo I .
Considere a seguinte expressão:
[ f(x)·g(x) ]' = f(x)·g'(x) + g(x)·f '(x).
Observe o uso da regra de derivada de um produto .
A expressão anterior pode se reescrita como:
f(x)·g'(x) = [ f(x)·g(x) ]' – g(x)·f '(x).
Integrando ambos os lados da igualdade, você obterá:
∫ f(x)·g'(x)dx = ∫ [ f(x)·g(x) ]'dx – ∫ g(x)·f '(x)dx
Seção 3 
Método de Integração por Partes
Calculo II.indb 36 26/2/2009 09:26:01
37
cálculo II  unidade 1
Lembrando que derivação e integração são procedimentos opera-
tórios inversos, podemos reescrever a última relação:
∫ f(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) – ∫ g(x)·f '(x)dx
Para visualizar melhor a expressão anterior, use:
u = f(x) ⇒ du = f '(x)dx 
dv = g'(x)dx ⇒ v = g(x)
Assim,
∫ u dv = uv – ∫ v du
que é a fórmula para o método de integração por partes .
Agora, é o momento de analisar os exemplos apresentados para 
que o método de integração por partes fique claro!
Exemplos
(a) ∫ xe–2x dx
observe que a escolha de u e v deve ser feita de modo que as integrais obti-
das possam ser resolvidas.
Falar da história do Cálculo é também falar de Newton!
O seu último trabalho sobre cálculo, e também o primeiro a 
ser publicado, foi um ensaio “On the Quadrature of Curves”, 
escrito entre 1691 e 1693. Neste trabalho, ele montou 
uma tabela extensa de integrais de funções algébricas e, 
para as curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de 
integração, inventou técnicas geométricas de quadraturas. 
Desenvolveu as técnicas básicas para avaliar as integrais 
comumente usadas, incluindo os métodos de substituição e 
integração por partes.
Calculo II.indb 37 26/2/2009 09:26:01
38
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
neste exemplo,
u = x ⇒ du = dx 
dv = e–2xdx ⇒ v = ∫ e–2xdx = 2x1
e C
2
−− +
neste momento, a constante de integração pode ser deixada de lado sem 
perda de generalidade.
tem-se:
2x 2x 2x
2x 2x 2x
1 1
xe dx x e e dx
2 2
ou
1 1
xe dx xe e dx
2 2
− − −
− − −
− −
= ⋅ −
−
= +
∫ ∫
∫ ∫
observe que a integral ∫ e–2x dx é resolvida por substituição.
Assim, 2x 2x 2x1 1
xe dx xe e c
2 4
− − −= − − +∫
(b) ∫ ln x dx
Seja
u = ln x ⇒ du = 1
x dx
dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes:
∫ u dv = uv – ∫ v du
∫ ln x dx = ln x · x – ∫ x · 1
x
dx
 = x ln x – ∫ x dx
 = x ln x – x + C
Calculo II.indb 38 26/2/2009 09:26:01
39
cálculo II  unidade 1
em geral, a integral da função logarítmica é muito usada e, assim, é usual 
visualizá-la como uma regra de integração:
∫ ln u du = u ln u – u + C
(c) ∫ x ln 2x dx
A escolha de u e v é feita como nos exemplos anteriores, de modo que as 
integrais possam ser resolvidas:
u = ln 2x ⇒ 
2
du dx
2x
= ⇒ du = 1
x
dx
dv = x dx ⇒ v = ∫ x dx = 
2x
2
 + C
Substituindo na fórmula de integração por partes:
∫ u dv = uv – ∫ v du
⋅ = − ⋅
= −
= − ⋅ +
= − +
∫ ∫
∫
2 2
2
2 2
2 2
x x 1
ln 2x x dx ln 2x. dx
2 2 x
x 1
ln 2x xdx
2 2
x 1 x
ln 2x C
2 2 2
x x
ln 2x C
2 4
ou ainda,
 ⋅ = − + 
 ∫
2x 1
ln 2x x dx ln 2x C
2 2
Calculo II.indb 39 26/2/2009 09:26:01
40
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(d) 
23 tt e dt∫
para resolver esta integral, é muito comum, num primeiro momento, esco-
lhermos u = t3 e =
2tdv te dt . no entanto, para calcular ∫ dv = 
2te dt∫ teremos 
dificuldade, visto que esta integral não pode ser resolvida com métodos algé-
bricos.
Assim, para que a resolução da integral de dv seja possível, faremos a seguin-
te escolha:
u = t2 ⇒ du = 2t dt
=
2tdv te dt ⇒ v = 
2tte dt∫
para resolver a integral que determina o valor de v, usamos o método da 
substituição. Assim,
v = 
2tte dt∫
u = t2 ⇒ du = 2t dt ⇒ 
du
dt
2t
=
portanto,
2
u u
u
t
du 1
v te e du
2t 2
1
e C
2
e
C
2
= =
= +
= +
∫ ∫
Olá pessoal, aí vai uma dica!
Estava navegando na Internet e encontrei este site: 
http://integrals.wolfram.com. Apesar de estar em inglês, 
neste local você encontrará o Integrator que usa a tecnologia 
do webMathematica para apresentar na web as funcionalida-
de do Mathematica. O Integrator calcula as integrais indefini-
das. Que tal dar uma olhadinha?
Em tempo
Na disciplina de Mé-
todos Numéricos, você 
estudará a resolução numérica de 
integrais como esta:
2te dt∫
Calculo II.indb 40 26/2/2009 09:26:01
41
cálculo II  unidade 1
retornando à substituição inicial para resolver 
23 tt e dt∫
u = t2 ⇒ du = 2t dt
=
2tdv te dt ⇒ v = 
2tte dt∫ = 
2te
C
2
+
Assim,
2 2
2
2
2
t t
3 t 2
2 t
t
e e
t e dt t 2t dt
2 2
t e
te dt
2
= ⋅ − ⋅
= −
∫ ∫
∫
observe que a integral 
2tte dt∫ já foi resolvida pelo método de substituição. 
finalizando, teremos:
2 2
2
2
2 t t
3 t
t
2
t e e
t e dt C
2 2
e
(t 1) C
2
= − +
= − +
∫
(e) ∫ ex cos x dx
na resolução desta integral,além de aplicar duas vezes a fórmula da integra-
ção por partes, observe que usaremos um artifício para o cálculo final. então, 
acompanhe a resolução:
u = ex ⇒ du = ex dx
dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x + C
∫ ex cos x dx = ex · sen x – ∫ sen x · ex dx
 = ex · sen x – ∫ ex sen x dx
Agora, resolvemos a integral ∫ ex sen x dx por partes, fazendo:
u = ex ⇒ du = ex dx
dv = sen x dx ⇒ v = ∫ sen x dx = – cos x + C
∫ ex sen x dx = ex · –cos x – ∫ –cos x · ex dx
 = –ex · cos x + ∫ ex cos x dx
Em tempo
Observe que também 
seria possível fazer: 
u = cos x e dv = ex dx, visto que 
tanto a derivada quanto a inte-
gral destas funções são similares.
Calculo II.indb 41 26/2/2009 09:26:02
42
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Substituindo este resultado na integral inicial:
∫ ex cos x dx = ex · sen x – ∫ sen x · ex dx
 = ex · sen x – ( –ex · cos x + ∫ ex cos x dx )
 = ex · sen x + ex · cos x – ∫ ex cos x dx
observe que a integral do lado direito da equação é igual à integral que que-
remos calcular. veja, então, que é possível adicionar as duas integrais iguais, 
da seguinte forma:
∫ ex cos x dx = ex · sen x + ex · cos x – ∫ ex cos x dx ]
∫ ex cos x dx ] + ∫ ex cos x dx = ex · sen x + ex · cos x
2 ∫ ex cos x dx = ex · sen x + ex · cos x
∫ ex cos x dx = 1
2
(ex · sen x + ex · cos x) + C
Agora é a sua vez!
Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por 
partes .
(a) ∫ x e4x dx
(b) ∫ x ln 2x dx
(c) ∫ x ln x dx
(d) ∫ x2 ex dx
Calculo II.indb 42 26/2/2009 09:26:02
43
cálculo II  unidade 1
Antes de seguir em frente, veja só como a matemática 
pode ser mágica!!!
O truque consiste em solicitar a alguém o número do mês 
de seu nascimento (Janeiro 1, Fevereiro 2, Março 3...). 
Em seguida, peça-lhe que:
multiplique o número por 2;1. 
some 5 ao resultado;2. 
multiplique por 50;3. 
some sua idade ao resultado.4. 
Após a pessoa lhe informar o resultado, você deve subtrair 
250. Os dois últimos números do resultado final darão a ida-
de da pessoa, enquanto o primeiro número (ou primeiros nú-
meros) será o mês de nascimento. Com essa informação, fica 
fácil determinar o ano.
Por exemplo, para uma pessoa que tem 20 anos e nasceu em 
janeiro, teríamos as seguintes operações:
Multiplica-se 1 ( janeiro) por 2 => 1×2 = 1. 2
Soma-se 5 => 2+5 = 2. 7
Multiplica-se por 50 => 7×50 = 3. 350
Soma-se a idade => 20+350 = 4. 370
Subtrai-se 250 => 370–250 = 5. 120
De 120, o primeiro número revela o mês ( janeiro), e os dois 
últimos (20) são a idade da pessoa. Basta, então, deduzir o 
ano, de acordo com a data em que se faz a demonstração.
Agora não vai errar o ano, não é mesmo? Afinal, depois de tan-
tas integrais, isto parece simples...
Fonte: http://www.somatematica.com.br/curiosidades2.php
Calculo II.indb 43 26/2/2009 09:26:02
44
 
Síntese da Unidade
Nesta unidade, você teve a oportunidade de analisar dois procedi-
mentos operacionais matemáticos que são considerados inversos 
um do outro: derivação e integração . É importante ressaltar que, 
para seguir em frente, você precisará exercitar estes primeiros 
métodos para que consiga acompanhar o desenvolvimento das 
unidades posteriores .
Além de estudar outros métodos de integração, você poderá veri-
ficar que muitas aplicações podem ser estabelecidas, pois o mun-
do ao nosso redor é repleto de situações físicas e econômicas que 
requerem o uso das taxas de variações .
Recorra ao seu professor para dirimir as suas dúvidas e não es-
queça que são os exercícios que irão proporcionar-lhe segurança 
para seguir em frente!
Calculo II.indb 44 26/2/2009 09:26:03
45
AtIvIdAdeS de 
auto-avaliação
1. mostre que F(x) = 
5
4
x4 + x3 – 4x + 7 
é uma primitiva de f(x) = 5x3 + 3x2 – 4
2. calcule as integrais indefinidas usando as devidas propriedades e a tabela 
de integrais.
a) 
4 2
4
x 3x x
dx
x
+ +
∫ b) 3
x
dx
x∫
Calculo II.indb 45 26/2/2009 09:26:03
46
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
c) 
2
2
x 1
dx
x
+
∫ d) 
2
2
x
dx
x 1+∫
e) ∫ cotg θ · sen θ dθ
f ) 2
sen t
dt
cos t∫
3. calcule as integrais indefinidas.
a) 26x 2x 3 dx+∫ b) x x3e cos(3e ) dx∫
c) cos x sen x dx⋅∫ d) 
3ln x
 dx
x∫
e) 2
2dt
t ln (2t)∫ f ) 2
2dx
x 3x 1− +∫
Calculo II.indb 46 26/2/2009 09:26:03
47
cálculo II  unidade 1
g) 2
2dr
3r 9r 9+ +∫ h) 
65 3x2x e dx∫
i) 2
cos x dx
(4 sen x)−∫ j) 
x 2
dx
x 1
+
+∫
4. resolva as integrais usando integração por partes.
a) ∫ ln (2 – 3x)dx b) ln x dx∫
c) ∫ xe2x dx d) 
35 xx e dx∫
e) ∫ x cos 3x dx
f ) 3 t
t sen dt
2∫
Calculo II.indb 47 26/2/2009 09:26:04
48
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
g) 2x
cosec (x 1) dx
2
+∫
h) ∫ ex sen x dx
i) 3 22x 4 x dx−∫ j) ∫ x cos2 x dx
Saiba mais
Para aprofundar os conteúdos estudados nesta unidade ou 
mesmo resolver outros exercícios, você pode utilizar livros 
de Cálculo Diferencial e Integral . O livro Cálculo A, cuja 
referência é apresentada abaixo:
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss . 
Cálculo A: funções, limite, derivação, integração . 5 . ed . São 
Paulo: Makron, 1992 .
Calculo II.indb 48 26/2/2009 09:26:04
49
unIdAde 2 
IntegrAl defInIdA
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá estar apto a:
 Analisar historicamente o conceito de área.
 discutir o conceito e as propriedades da integral definida.
 Aplicar teoremas que propiciam o cálculo da integral definida.
 discutir procedimentos algébricos para o cálculo de áreas de figuras planas 
não regulares.
Plano de estudo da unidade
Para início de conversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Seção 1 Analisando áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Seção 2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Seção 3 estudo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Síntese da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Parece que a parte circular do 
meio está separada do resto da 
figura? Parece estar em uma 
profundidade diferente? O que 
está acontecendo?
Calculo II.indb 49 26/2/2009 09:26:04
Calculo II.indb 50 26/2/2009 09:26:04
51
 
Para início de conversa
Nesta unidade você vai iniciar a discussão dos objetos da ma-
temática que são usados sistematicamente em várias áreas do 
conhecimento . Trata-se das integrais definidas, cujas idéias no 
decorrer da história já estão alicerçadas no cálculo de áreas .
Muitos matemáticos podem ser citados, mas o nosso tempo é 
limitado e, por esta razão, vamos nos limitar a resgatar pontual-
mente alguns nomes .
Não se apresse para entender toda a História do Cálculo 
Diferencial e Integral, pois é uma longa história. Inicialmente, 
destaca-se o Método da Exaustão, lembrando que este ter-
mo é moderno, usado nos dias de hoje por caracterizar bem 
o exaustivo processo iniciado por Eudoxo e formalizado por 
Arquimedes. No decorrer da história, muitas sugestões foram 
feitas para calcular a área do círculo usando-se a inscrição de 
polígonos regulares, mas foi o método da exaustão que tornou 
esse processo rigoroso.
Calculo II.indb 51 26/2/2009 09:26:04
52
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Será uma caminhada histórica e conceitual, lembrando de Arqui-
medes com o seu Método de Exaustão, Cauchy que assumiu a re-
forma total do cálculo para seus alunos da École Polytechnique, na 
década de 1820, e Riemann que deixou claro nos seus estudos que 
a integral exigia uma definição mais cuidadosa que a de Cauchy .
Nas próximas seções, você vai acompanhar a definição da integral 
definida e um teorema muito famoso para facilitar os cálculos das 
integrais definidas . Como o processo vai ser inserido por meio de 
situações práticas, você ficará de imediato diante do Cálculo de 
áreas de figuras planas com formatos não-convencionais da Geo-
metria Elementar .
Vale lembrara importância de você caminhar passo a passo, de-
senvolvendo as atividades propostas e buscando a compreensão 
de todos os novos conceitos e definições .
Calculo II.indb 52 26/2/2009 09:26:05
53
cálculo II  unidade 2
Seção 1 
Analisando Áreas
Um dos conceitos da Geometria mais antigo é o conceito de área . 
Historicamente tem-se muitas pessoas envolvidas na busca de 
fórmulas e resultados para cálculos de área de figuras planas .
Um método muito discutido é o chamado Método da exaustão 
que estabelece a partição da área em polígonos regulares . Por 
exemplo, para calcular a área de um círculo, você poderá conside-
rar a inscrição de polígonos regulares de n lados e seguir os pas-
sos que delineiam o raciocínio do Método da Exaustão:
(1) Considere um polígono regular, com n lados, inscrito no 
círculo, denotado por Pn, por exemplo, observe a figura 2 .1;
(2) A área do polígono Pn, denotada por An, pode ser escrita 
como An = n ×
nTA , sendo 
nTA a área do triângulo de base ln 
e altura hn, visualizado na figura 2 .2;
Calculo II.indb 53 26/2/2009 09:26:05
54
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Figura 2.1 
círculo com polígono regular inscrito
Figura 2.2 
triângulo de altura hn e base ln.
(3) Observe que ×
=
2n
n n
T
l hA , ou seja, a área do triângulo está 
sendo calculada como base vezes altura dividido por dois;
(4) Observe que Pn = n × ln, ou seja, o perímetro do polígono é 
a soma dos n lados iguais;
(5) Usando os resultados de (3) e (4) pode-se escrever que:
× × ×
= × = × =
2 2 2
n n n n n n n
n
n
l h P l h P hA n
l
Você deve estar se perguntando:
Para que estamos fazendo tudo isto?
Para concluir a idéia é necessário fazer n crescer cada vez mais 
e usar a idéia de limite que você já discutiu no Cálculo I . Se n 
crescer cada vez mais, o perímetro Pn torna-se uma aproximação 
cada vez mais perfeita do comprimento da circunferência, ou seja, 
igual a 2πr e a altura hn aproxima-se do raio . Com esta idéia, po-
demos escrever que:
Área do círculo = 
→∞
π ×
= = π 22lim
2nn
r rA r
Calculo II.indb 54 26/2/2009 09:26:05
55
cálculo II  unidade 2
Usando os passos deste método, você poderá encontrar a área da 
região representada na figura 2 .3 .
A região está delimitada pela curva da função y = f(x), pelo eixo 
dos x e por retas x = a e x = b .
Figura 2.3 área delimitada por uma função y = f(x), pelo eixo dos x e por retas x = a e x = b.
Para entender o cálculo da área da região, veja os passos:
(1) Faça uma partição do intervalo [a,b] em n subintervalos, 
escolhendo pontos tais que:
a = x0 < x1 < … < xi–1 < xi < … < xn = b.
(2) Observe com mais detalhes o intervalo [ xi–1,xi ] .
(3) Escolha um ponto qualquer Ci neste intervalo .
(4) Para cada i, i = 1, 2, …, n, construa um retângulo de base 
∆xi = xi – xi–1 e altura f(Ci ) .
(5) Agora observe a figura 2 .4 . Perceba que podemos formar n 
retângulos com área f(Ci )·∆xi , com ∆xi = xi – xi–1 para i = 1, 
2, …, n .
Calculo II.indb 55 26/2/2009 09:26:05
56
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(6) Agora, some a área dos n retângulos da seguinte forma:
=
= ∆ + ∆ + + ∆
= ∆∑
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( )
( ) .
n n n
n
i i
i
S f C x f C x f C x
f C x
Esta soma é chamada de soma de RIEMANN da função f(x) .
(7) Observe que à medida que n cresce muito, cada ∆xi torna-se 
muito pequeno e a soma de (6) aproxima-se da área da re-
gião que será denotada por A .
Figura 2.4 retângulos destacados
Definição 1: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa 
em [a,b]. A área sob a curva y = f(x), de a até b é definida por:
∆ →
=
= ∆∑max 0 1
lim ( ) ,
i
n
i ix i
A f C x
sendo i = 1, 2, …, n e Ci um ponto qualquer do intervalo [ xi–1,xi ].
Exemplos
usando o método da exaustão, calcule a área delimitada pela curva 
y = x2 – 6x + 11 pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4. posteriormente, 
reflita sobre a aplicação da definição de área formalizada na definição 1.
Calculo II.indb 56 26/2/2009 09:26:06
57
cálculo II  unidade 2
Figura 2.5 área delimitada pela função y = x2 – 6x + 11 pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4.
Olá queridos alunos! Estou aqui para ajudar!
Os softwares podem auxiliar no desenvolvimento e na ilustra-
ção deste exemplo.
Basta usar o Graph! Vou ajudar, basta seguir os passos:
Usar  Inserir Função. No quadro coloque:
Função: x^2-6x+11
Intervalo: De: 1 A: 4.
Usar  Editar Eixos
Lapela eixo-x Lapela eixo-y
Mínimo: –1 Rótulo: x
Máximo: 6
Unid. Marca: 1
Unid. Grade: 1
Mínimo: –2 Rótulo: y
Máximo: 8
Unid. Marca: 1
Unid. Grade: 1
Obs.: Deixe assinaladas as opções ‘mostrar números’ e 
‘mostrar marcas’.
Usar a opção  Função > Inserir sombra
Lapela sombreando: Assinale entre a função e o eixo dos x.
Lapela opções: De: 1 A: 4
Obs.: Escolha o tipo de sombreamento e a cor conforme a sua 
preferência.
Pronto! Sua construção mostra a Figura 2.5 (a)
Calculo II.indb 57 26/2/2009 09:26:07
58
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Para calcular a área delimitada, inicialmente faça uma partição do 
intervalo [1,4] em 3 subintervalos (veja a figura 2 .5 (b)) .
Forme os retângulos R1 , R2 , R3 com base nessas partições e altu-
ras f (1,5); f (2,5); f (3,5) respectivamente .
Veja que:
A1 = área de R1 = 1.f (1,5) = 4,25.
A2 = área de R2 = 1.f (2,5) = 2,25.
A3 = área de R3 = 1.f (3,5) = 2,25.
A área a ser calculada será aproximadamente igual a:
A = A1 + A2 + A3 
 = 4,25 + 2,25 + 2,25 
 = 8,75 unidades de área.
Você poderá obter exatamente a área usando a definição 1, mas 
para calcular usando a definição, você terá um trabalho algébrico 
muito grande ou até mesmo impossível de ser feito em alguns 
casos, daí a importância de avançarmos as discussões fazendo a 
inserção de propriedades e teoremas .
Observe na seção a seguir que a Definição 1 é precisamente a 
definição da Integral Definida .
Agora é a sua vez!
usando o método da exaustão, calcule a área da figura delimitada pela fun-
ção y = x + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 5. faça o gráfico e ob-
serve que a área pode ser calculada por geometria elementar. confronte os 
resultados obtidos.
Calculo II.indb 58 26/2/2009 09:26:07
59
cálculo II  unidade 2
Agora você está pronto para acompanhar um pouco do formalis-
mo da definição da Integral Definida .
Definição 2: Seja y = f(x) uma função definida em [a,b] e seja P 
uma partição qualquer de [a,b], a integral definida de y = f(x), 
de a até b, é dada por:
∆ →
=
= ∆∑max 0 1
lim ( ) ,
i
n
i ix i
A f C x desde que o limite exista.
Você pode estar imaginando qual será 
a notação utilizada para estes casos?
A notação da integral definida é dada por:
∆ →
=
= ∆∑∫ max 0 1
( ) lim ( )
i
b n
i ix ia
f x dx f C x
Seção 2 
Integral Definida
Calculo II.indb 59 26/2/2009 09:26:07
60
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Observe que os valores que delimitam o intervalo a e b são deno-
minados limites de integração .
Se 
∆ →
=
= ∆∑∫ max 0 1
( ) lim ( )
i
b n
i ix ia
f x dx f C x existe, você poderá afirmar que a função y = f(x) 
é integrável no intervalo [a,b] . Em geral, o número de funções 
integráveis é muito grande, pode-se afirmar que se a função é con-
tínua no intervalo dado, então, ela é integrável neste intervalo . No 
início do estudo, vamos trabalhar somente com funções contínuas . 
Posteriormente, na Unidade 4, você terá a oportunidade de observar 
situações em que as funções não são contínuas no intervalo dado .
Como vamos calcular as integrais definidas?
Para responder esta questão será necessário formalizar proprieda-
des e teoremas .
De forma similar às propriedades da integral indefinida tem-se:
Propriedade 1: Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas em um 
conjunto I e K uma constante. Então:
=
+ = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 . ( ) ( )
2 . [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b
a a
b b b
a a a
Kf x dx K f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
Você deve ter observado que a soma ao 
lado, definida na seção anterior foi de-
notada como Soma de Riemann, mas as 
idéias iniciais sãodevidas a Cauchy.
Cauchy precisava provar que o limite existia para todas as fun-
ções contínuas sobre um intervalo dado. Infelizmente ele não 
conseguiu observar suas falhas lógicas. Posteriormente, outros 
matemáticos perceberam as falhas, e é devido a Riemann a 
generalização dessas idéias. A maior parte da teoria de integra-
ção foi verificada por Riemann e seus seguidores. Até o século 
XX ainda se discutia elementos no contexto de séries infinitas.
=
= ∆∑
1
( )
n
n i i
i
S f C x
Em tempo
Observe que a Integral 
Definida representa 
cálculo de uma área sempre que a 
função for contínua e não negati-
va no intervalo dado.
Calculo II.indb 60 26/2/2009 09:26:07
61
cálculo II  unidade 2
Outras propriedades podem ser enunciadas:
Propriedade 2: Se a > b, então = −∫ ∫( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx , se a 
integral existir.
Propriedade 3: Se a = b existe, então =∫ ( ) 0
b
a
f x dx .
Uma propriedade muito importante para ser aplicada no contex-
to do cálculo de áreas é enunciada a seguir .
Propriedade 4: Se a < c < b e f(x) é uma função integrável no 
intervalo [a,c] e em [c,b], então f(x) é integrável em [a,b] e vale 
a relação:
= +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) .
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Todas as propriedades citadas podem ser demonstradas como 
proposições matemáticas . Essas provas podem ser encontradas 
em FLEMMING e GONÇALVES (2006) . Para ver um exemplo de 
demonstração, o nosso amigo SiSóSi está lá no ambiente virtual 
mostrando a propriedade 4 . Acesse e confira!
Tem-se novas propriedades que possibilitam o uso das integrais 
definidas em diferentes aplicações .
Propriedade 5: Se f(x) é integrável e se f(x) ≥ 0 para todo 
x ∈ [a,b], então:
≥∫ ( ) 0 .
b
a
f x dx
Propriedade 6: Se f(x) e g(x) são integráveis em [a,b] e 
f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a,b], então:
≥∫ ∫( ) ( ) .
b b
a a
f x dx g x dx
Em tempo
Observe as proprie-
dades e mais adiante 
você poderá comprová-las por 
meio de exemplos. Neste mo-
mento, simplesmente observe 
que ao trocar os limites de inte-
gração o resultado da integral 
troca de sinal e quando os limites 
de integração são iguais o resul-
tado da integral é nulo.
Calculo II.indb 61 26/2/2009 09:26:08
62
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Propriedade 7: Se f(x) é uma função contínua em [a,b], então:
≥∫ ∫ ( ) ( ) .
b b
a a
f x dx f x dx
Propriedade 8: Se f(x) é uma função contínua em [a,b], existe 
um ponto c entre a e b tal que
= −∫ ( ) ( ) ( ) .
b
a
f x dx b a f c
Agora, você deve refletir bastante sobre o Teorema que segue e, 
posteriormente, poderá mais facilmente retornar às propriedades 
para fazer exemplos formais ou exemplos mais práticos .
Teorema Fundamental do Cálculo
O teorema fundamental do cálculo fornece uma maneira rápida e 
simples para resolver uma integral definida e, conseqüentemente, 
problemas práticos que são modelados com uma integral defini-
da . É possível relacionar as operações de derivação e integração, 
ou seja, conhecendo a primitiva de uma função contínua f(x) 
definida em um intervalo [a,b], pode-se calcular a sua integral 
definida ∫ ( )
b
a
f x dx .
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desen-
volveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje 
em dia, incluindo os métodos de substituição e integração 
por partes. Isaac Newton, (1642 – 1727) era um erudito 
com grande capacidade para a resolução de problemas. En-
tre 1670 e 1680, ele construiu sua reputação como um 
gênio científico. Foi um dos maiores matemáticos de todos 
os tempos. Sua influência na matemática foi tão grande que 
hoje existe a divisão: matemática “pré-newtoniana” e a “pós-
newtoniana”. As contribuições de Newton incluíram a teoria 
da gravitação universal, as leis do movimento, métodos de 
cálculo e a composição da luz branca. Ele é considerado por 
muitos o maior cientista que já existiu.
Calculo II.indb 62 26/2/2009 09:26:08
63
cálculo II  unidade 2
Duas proposições garantem essa formulação:
Proposição 1: Seja f(t) uma função contínua num intervalo 
[a,b], então a função G(x) definida por:
= ∫( ) ( )
x
a
G x f t dt
tem derivada em todos os pontos x ∈ [a,b] que é dada por:
G'(x) = f(x) ou
=∫ ( ) ( )
x
a
d f t dt f x
dx
.
Proposição 2: Se f(t) é uma função contínua num intervalo 
[a,b] e se F(t) é uma primitiva de f(t) neste intervalo, então:
= −∫ ( ) ( ) ( )
b
a
f t dt F b F a .
Em uma linguagem menos formal, você poderá dizer que esta 
última proposição é o Teorema Fundamental do Cálculo . Obser-
ve bem, pois esta proposição ou teorema vai acompanhá-lo por 
algum tempo . Confira as demonstrações no material on-line des-
ta disciplina .
Antes de seguir para os exemplos, pois você já deve estar espe-
rando a visualização deles, vamos formatar uma notação que vai 
auxiliar muito nas situações de resolução da integral definida .
= = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Essa expressão, resultante das proposições dadas, indica um 
método para calcular a integral definida usando a tabela das in-
tegrais imediatas discutidas na Unidade 1, para o cálculo da inte-
gral indefinida .
Calculo II.indb 63 26/2/2009 09:26:08
64
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Observe que para calcular a integral definida, você pode iniciar 
fazendo o cálculo da integral indefinida, não considerando a 
constante de integração . O resultado da integral definida será a 
função primitiva aplicada no ponto do limite superior menos a 
função primitiva aplicada no ponto do limite inferior da integral 
definida .
Vamos aos exemplos?
Exemplos
calcule as integrais definidas nos intervalos indicados.
(a) + −∫
2
2
1
(x x 1)dx
para calcular a integral, lembre-se da relação:
= = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
portanto, inicialmente utilize a tabela de integrais para encontrar a primitiva . 
posteriormente, aplique os limites de integração. Acompanhe:
+ − = + −∫
22 3 2
2
1 1
x x
(x x 1)dx x 
3 2
Substituindo os limites de integração no resultado da integral, teremos:
   
+ − = + − − + −   
   
   = + − − + −   
   
− = − = + 
 
=
∫
2 3 2 3 2
2
1
2 2 1 1
(x x 1)dx 2 1
3 2 3 2
8 4 1 1
2 1
3 2 3 2
8 1 8 1
3 6 3 6
17
.
6
Calculo II.indb 64 26/2/2009 09:26:08
65
cálculo II  unidade 2
(b) 
+∫
3
2
2dx
x 3
em alguns exemplos é interessante calcular a integral indefinida em separado 
para, posteriormente, aplicar os limites de integração.
para calcular esta integral indefinida, fazemos a substituição:
u = x + 3 ⇒ du = dx
Assim,
= = + = + +
+∫ ∫
3
2
2dx du
2 2ln u C 2ln (x 3) C.
x 3 u
Aplicando agora esse resultado para o cálculo de integral definida dada:
= ⋅ +
+
= ⋅ + − ⋅ +
= ⋅ − ⋅
= ⋅ −
= ⋅
∫
3
3
2
2
2dx
2 ln (x 3) 
x 3
2 ln (3 3) 2 ln (2 3)
2 ln 6 2 ln 5
2 (ln 6 ln 5)
6
2 ln .
5
(c) +∫
8
0
x 1 dx
para resolver esta integral na forma indefinida, você deve reescrever 
+ = +
1
2x 1 (x 1) e usar o método da substituição:
u = x + 1 ⇒ du = dx
+
+ = + =∫ ∫
1 3 2
2 (x 1)
x 1 dx (x 1) dx .
3 2
Agora, basta substituir os limites de integração:
+ = + − + = ⋅ − ⋅
−
= ⋅ − = − = =
∫
8
3 2 3 2 3 2 3 2
0
2 2 2 2
x 1 dx (8 1) (0 1) 9 1
3 3 3 3
2 2 2 5.4 2 52
27 18 .
3 3 3 3 3
Em tempo
Uma das propriedades 
dos logaritmos diz que:
 − =  
 
a
ln a ln b ln 
b
Calculo II.indb 65 26/2/2009 09:26:08
66
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
(d) −∫
1
2x
0
xe dx
lembre-se de que para resolver esta integração vai ser preciso usar a técnica 
de integração por partes discutida na unidade 1.
observe que a escolha de u e v deve ser feita de modo que as integrais obti-
das possam ser resolvidas.
neste exemplo,
u = x ⇒ du = dx 
dv = e–2xdx ⇒ v = ∫ e–2xdx = 2x1
e C
2
−− +
neste momento a constante de integração pode ser deixada de lado sem 
perda de generalidade.
tem-se:
− − −
− − −
− −
= ⋅ −
−
= +
∫ ∫
∫ ∫
2x 2x 2x
2x 2x 2x
1 1
xe dx x e e dx
2 2
ou
1 1
xe dx xe e dx
2 2
observe que a integral ∫ e–2xdx é resolvida por substituição.Assim,
− − −−
= − +∫ 2x 2x 2x1 1
xe dx xe e c
2 4
para finalizar o exemplo, vamos aplicar os limites de integração:
− − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅− −   = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −   
   
−
= − +
∫
1
2x 2 1 2 1 2 0 2 0
0
2 2
1 1 1 1
xe dx 1 e e 0 e e
2 4 2 4
1 1 1
.
2e 4e 4
Calculo II.indb 66 26/2/2009 09:26:09
67
cálculo II  unidade 2
Agora é a sua vez!
calcule as seguintes integrais definidas.
(a) − +∫
1
3
0
(2x 2x 3)dx
(b) 
+∫
2
2
1
2x dx
x 1
(c) 
14
10
( (x 5) 4)dx− −∫
(d) 
0
x sen x dx
π
∫
Vamos Relaxar?
Dizem que matemático é um pouco louco, mas tem muita 
gente por aí que pensa cada coisa!!!
Você já pensou por que um espelho inverte a imagem da 
esquerda para a direita e não de cima para baixo?
Calculo II.indb 67 26/2/2009 09:26:09
68
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Agora você está preparado para calcular a área de diferentes tipos 
de regiões planas . Os exemplos serão básicos, mas suficientes para 
que você possa visualizar o potencial das integrais definidas para 
calcular áreas de regiões com diferentes formatos .
Na Unidade 5, você terá a oportunidade de retornar ao estudo de 
áreas com o uso de outro tipo de coordenadas .
A apresentação de exemplos será precedida de uma apresentação 
geral do formato da região e também das funções envolvidas .
Situação 1
Nesta situação, você vai analisar problemas de cálculo de área que 
são limitadas por uma função y = f(x); o eixo dos x; x = a e x = b .
Observe que podem ocorrer duas diferentes situações (ver figuras 
2 .6 e 2 .7) .
Seção 3 
Estudo de Áreas
Calculo II.indb 68 26/2/2009 09:26:09
69
cálculo II  unidade 2
Figura 2.6
Área = ∫ ( )
b
a
f x dx
Observe que, neste caso, a função é 
positiva no intervalo considerado.
Figura 2.7
Área = – ∫ ( )
b
a
f x dx
Observe que, neste caso, a função é 
negativa no intervalo considerado. 
Exemplos
1. calcular a área da região delimitada por:
=
− 2
2
y
(x 1)
; o eixo dos x; x = 2 e x = 4.
Solução:
A figura 2.8 mostra a área solicitada. observe que a função é toda positiva, 
pois está acima do eixo dos x. Assim,
=
−∫
4
2
2
2dx
Área
(x 1)
Em tempo
Pela propriedade 5, 
sabemos que a integral 
definida da situação da figura 2.6 
vai ter um resultado positivo e 
na situação da figura 2.7, um 
resultado negativo, daí o fato de 
aparecer o sinal negativo antes da 
integral para o cálculo da área na 
figura 2.7.
Calculo II.indb 69 26/2/2009 09:26:10
70
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Figura 2.8
você pode, inicialmente, calcular a integral indefinida:
−
−
= −
−
−
= +
−
= − +
−
∫ ∫ 2
2
1
2dx
2 (x 1) dx
(x 1)
(x 1)
2 C
1
2
C
x 1
Aplicando os limites de integração, você pode calcular a área solicitada.
=
−∫
4
2
2
2dx
Área
(x 1)
− +   = − = − − − = − + =   − − −   
=
4
2
2 2 2 2 2 6
Área 2
x 1 4 1 2 1 3 3
4
Área unidades de área.
3
2. calcular a área da região delimitada por:
y = (x – 2)(x – 4); o eixo dos x; x = 2 e x = 4.
Solução:
A figura 2.9 mostra a área solicitada. observe que no intervalo a função é 
negativa. Assim, em acordo com a Situação 1 tem-se que:
= − − −∫
4
2
Área (x 2)(x 4)dx
Calculo II.indb 70 26/2/2009 09:26:10
71
cálculo II  unidade 2
Figura 2.9
observe o sinal negativo antes da integral, exatamente pelo fato da 
função ser negativa no intervalo considerado.
Acompanhe, a seguir, a resolução da integral, lembrando que estamos usan-
do as regras de integração e o teorema fundamental do cálculo para aplicar 
os limites de integração. veja que estamos também usando as propriedades I 
citadas na seção anterior.
 
= − − − = − − + = − − ⋅ + 
 
   
= − + ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − ⋅   
   
   = − + − − − + −   
   
−
= − − =
∫ ∫
44 4 3 2
2
2 2 2
3 2 3 2
x x
Área (x 2)(x 4)dx (x 6x 8)dx 6 8x 
3 2
4 4 2 2
6 8 4 6 8 2
3 2 3 2
64 8
48 32 12 16
3 3
16 20 4
.
3 3 3
Agora é a sua vez!
calcular a área da região delimitada por:
(a) y = x2 + 1; o eixo dos x; x = –1 e x = 1.
Calculo II.indb 71 26/2/2009 09:26:11
72
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Situação 2
Nesta situação, você vai analisar problemas de cálculo de área de-
limitada por duas funções ( y = f(x) e y = g(x) ); x = a e x = b .
Observe que podem ocorrer duas diferentes situações (ver figuras 
2 .10 e 2 .11) .
Figura 2.10
= −∫
b
a
Área [f(x) g(x)]dx
Observe que, neste caso, 
tem-se f(x) ≥ g(x).
Figura 2.11
= −∫
b
a
Área [g(x) f(x)]dx
Observe que, neste caso, 
tem-se f(x) ≤ g(x).
Em tempo
Lembre-se de observar 
na figura dada quando 
uma função for maior que a 
outra. A maior sempre está em 
posição mais acima do que a me-
nor, pois a numeração do eixo dos 
y aumenta de baixo para cima.
Calculo II.indb 72 26/2/2009 09:26:12
73
cálculo II  unidade 2
A relação anterior permanece válida para o caso em que ambas as 
funções ou apenas uma delas está completamente na posição ne-
gativa, isto é, totalmente abaixo do eixo dos x . Veja que na figura 
2 .12 a área é dada por
= −∫
b
a
Área [f(x) g(x)]dx
Figura 2.12
Exemplo
calcular a área da região delimitada por f(x) = –x2 – 4x + 5 e g(x) = 0,5x + 2,5.
Solução:
para encontrar os limites de integração é necessário, neste caso, encontrar a 
intersecção entre as duas funções. para tal, o uso de um software para fazer os 
gráficos ajuda muito. veja a figura 2.13 e observe os pontos de intersecção.
É possível constatar que a intersecção entre os gráficos está nos pontos em 
que x = –5 e x = 1
2
.
observe que é possível encontrar esses pontos algebricamente igualando as 
duas funções. veja:
 –x2 – 4x + 5 = 0,5x + 2,5 
 –x2 – 4x – 0,5x + 5 – 2,5 = 0 
 –x2 – 4,5x + 2,5 = 0 
 x2 + 4,5x – 2,5 = 0
Em tempo
Lembre-se da fórmula 
de Bhaskara para a 
resolução da equação do segundo 
grau ax2 + bx + c = 0.
Tem-se que:
− ± −
=
2b b 4ac
x
2a
Para o exemplo em resolução, os 
valores para serem aplicados na 
fórmula são: 
a = 1; b = 4,5 e c = –2,5. 
Mãos à obra! 
Calculo II.indb 73 26/2/2009 09:26:12
74
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Figura 2.13
resolvendo a equação encontrada usando a fórmula de Bhaskara obtém-se 
x = –5 e x = 1
2
.
para concluir o exemplo, basta verificar que a área solicitada está delimitada 
pelas duas funções dadas no intervalo [–5, 1
2 ]. Assim,
−
= − − + − +∫
1 2
2
5
Área [( x 4x 5) (0,5x 2,5)]dx
observe que a parábola está acima da reta, assim f(x) ≥ g(x) no intervalo [–5, 1
2 ].
fazendo o cálculo da integral definida tem-se:
−
−
−
= − − + − +
= − − +
= − − ⋅ + ⋅
   − −
= − − ⋅ + ⋅ − − − ⋅ + ⋅ −   
  
+
= + = =
≅
∫
∫
1 2
2
5
1 2
2
5
1 23 2
5
3 2 3 2
Área [( x 4x 5) (0,5x 2,5)]dx
[( x 4,5x 2,5)dx
x x
4,5 2,5 x 
3 2
(1 2) (1 2) 1 ( 5) ( 5)
4,5 2,5 4,5 2,5 ( 5)
3 2 2 3 2
31 325 31 1300 1331
48 12 48 48
Área 27,73 unidades de área.
Calculo II.indb 74 26/2/2009 09:26:13
75
cálculo II  unidade 2
Agora é a sua vez!
calcular a área da região delimitada entre as funções:
(b) y = x3 + 1 e y = 4x + 1.
Situação 3
A região está delimitada por várias funções e o cálculo da área 
requer partições para que se tenha a situação 1 ou 2 .
Veja no exemplo que segue .
Exemplo
calcular a área da região apresentada na figura 2.14.
Figura 2.14
Calculo II.indb 75 26/2/2009 09:26:13
76
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
A visualização da figura 2.14 nos mostra que as áreas A1 e A2 estão enquadra-
das na situação 1 e que a área A3 está enquadrada na situação 2.
tem-se que:
Área = A1 + A2 + A3
você pode então constatar que:
área A1
= ∫
1
0
A1 xdx
área A2
= − − −∫
1,5
1
1
A2 (x )(x 3)dx
2
área A3
= − − − − +∫
2
1,5
1
A3 [ (x )(x 3) 3x 4,5]dx
2
fazendo os cálculos obtém-se:
= = =∫
11 2
0 0
x 1
A1 xdx .
2 2
= − − −
 = − + − 
 
= − + ⋅ −
   
= − + ⋅ − − − + ⋅ − ⋅   
   
= +
=
∫
∫
1,5
1
1,5
2
1
1,53 2
1
3 2 3 2
1
A2 (x )(x 3)dx
2
7 3
x x dx
2 2
x 7 x 3
x 
3 2 2 2
(1,5) 7 (1,5) 3 1 7 1 3
(1,5) 1
3 2 2 2 3 2 2 2
9 116 12
31
.
48
Calculo II.indb 76 26/2/2009 09:26:14
77
cálculo II  unidade 2
= − − − − +
 = − + + 
 
= − + ⋅ +
   
= − + ⋅ + ⋅ − − + ⋅ + ⋅   
   
=
∫
∫
2
1,5
2
2
1,5
23
2
1,5
3 3
2
1
A3 [ (x )(x 3) 3x 4,5]dx
2
1
x x 3 dx
2
x 1
x 3x 
3 4
2 1 (1,5) 1
4 3 2 (1,5) 3 (1,5)
3 4 3 4
19
.
48
para finalizar o exemplo, vamos adicionar as áreas parciais encontradas. Assim,
1 31 19
Área
2 48 48
37
Área unidades de área
24
= + +
=
Agora é a sua vez!
calcular a área da região delimitada entre as funções:
(c) y = x2 – 1 ; y = 3x + 17 e y = 1
2
x – 1
2
.
Calculo II.indb 77 26/2/2009 09:26:14
78
 
Síntese da Unidade
Nesta unidade, discutimos as integrais definidas, consideradas 
como ponto de partida para a utilização do Cálculo Integral em 
aplicações práticas . É comum dizer que o Cálculo veio para re-
solver problemas que a Álgebra e a Geometria não resolvem . De 
fato, com os recursos do Cálculo Integral, podemos calcular áreas 
de diferentes formas, por exemplo, áreas delimitadas por diversas 
curvas . Nas unidades seguintes, aprimoramos o estudo do Cálculo 
Integral, inicialmente com novas técnicas de integração e, poste-
riormente, será possível visualizar a sua grande aplicabilidade em 
outras áreas como na Física e no contexto econômico-financeiro .
Antes de prosseguir seus estudos, não esqueça de realizar as ati-
vidades de auto-avaliação . Não deixe suas dúvidas acumularem, 
converse com o seu professor!
Bons estudos!
Calculo II.indb 78 26/2/2009 09:26:14
79
AtIvIdAdeS de 
auto-avaliação
1. calcule as seguintes integrais definidas:
−∫
2
2
1
(a) (5x 2x)dx ∫
5
0
(b) x dx
−
+∫
1
2
1
(c) (x 2) dx
+∫
3
2
2
2dx
(d) 
(x 1)
∫
1
t
0
(e) e dt +∫
3
3
0
(f ) ( 2x x )dx
−∫
2
0
dx
(g) 
4 x
π
∫
2
0
(h) sen x dx
Calculo II.indb 79 26/2/2009 09:26:14
80
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
2. calcule a área da região limitada pela parábola y = 4x – x2 e pelo eixo dos x.
3. calcule a área da região delimitada por:
y = 1
x
 ; y = 8x + 2 ; x = 0 e x = 1.
4. calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
a) y = x2 – 5x + 1 e y = – x2 – 5x + 3
b) y = (x + 4)(x – 2) e y = 5x + 10
Calculo II.indb 80 26/2/2009 09:26:14
81
cálculo II  unidade 2
5. calcule a integral 
π
∫
0
cos x dx . Interprete geometricamente o resultado 
obtido.
6. observe a figura dada. Identifique as três funções que estão representadas 
graficamente:
y = (x – 2)(x – 4)·x  - função polinomial do terceiro grau;
y = | 2x – 8 |  - função modular;
y = 15  - função constante.
calcule a área das regiões A1 , A2 e A3.
Calculo II.indb 81 26/2/2009 09:26:15
Saiba mais
Para saber mais sobre a história do cálculo e das integrais 
definidas, você pode consultar o livro de História da Mate-
mática de Howard Eves, “Introdução à história de matemá-
tica”, da Editora da Universidade de Campinas . Recomen-
damos pesquisar no índice remissivo o termo integral .
Vale a pena conferir!
Calculo II.indb 82 26/2/2009 09:26:16
83
unIdAde 3 
tÉcnIcAS de IntegrAção
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá estar apto a:
 Identificar procedimentos e técnicas de integração. 
 calcular integrais que envolvam funções trigonométricas. 
 calcular integrais que envolvam as substituições trigonométricas. 
 calcular integrais de funções racionais pelo método das frações parciais.
Plano de estudo da unidade
Para início de conversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Seção 1 Integração no contexto das funções trigonométricas . . . 86
Seção 2 Integração por substituição trigonométrica. . . . . . . . . 102
Seção 3 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Síntese da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Que curioso! Isto é possível?
Calculo II.indb 83 26/2/2009 09:26:16
Calculo II.indb 84 26/2/2009 09:26:16
85
 
Para início de conversa
Nesta unidade, continuaremos o estudo das integrais .
Na unidade 1, você teve contato com dois métodos básicos de in-
tegração: o método da substituição e o método da integração por 
partes . Aqui você vai estudar outras técnicas de integração que, 
na sua maioria, necessitam dos métodos da Unidade 1 para serem 
resolvidos . O bom entendimento desta unidade depende muito 
de você, a prática o ajudará a chegar à perfeição .
Bons estudos!
Você vai ficar diante de integrais cujos integrandos envolvem 
funções trigonométricas, potências de funções trigonomé-
tricas, integrandos do tipo +2 2u a , −2 2u a e −2 2a u e, 
finalmente, integrandos que são funções racionais. Particu-
larmente gostamos muito das fórmulas de recorrência. Você 
terá a oportunidade de saber o porquê. Até lá!
Calculo II.indb 85 26/2/2009 09:26:16
86
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
Seção 1 
Integração no contexto das 
funções trigonométricas
Usando a tabela das integrais imediatas que você já conheceu na 
Unidade 1 fica estabelecido que:
∫ sen x dx = –cos x + C, pela própria definição de primitiva .
∫ cos x dx = sen x + C, pela própria definição de primitiva .
∫ tg x dx = ln | sec x | + C, por substituição .
∫ cotg x dx = ln | sen x | + C, por substituição .
Agora, vamos calcular as integrais de f(x) = sec x e g(x) = cossec x .
Usaremos um artifício matemático para o cálculo destas integrais, 
para, em seguida, usarmos o método da substituição .
Na integral da secante, vamos multiplicar e dividir o integrando 
por sec x + tg x, pois, assim, não alteramos em nada o integrando .
Calculo II.indb 86 26/2/2009 09:26:16
87
cálculo II  unidade 3
Veja como isso fica interessante:
⋅ + + ⋅
= =
+ +∫ ∫ ∫
2
 sec x (sec x tg x ) sec x sec x tg xsec x dx dx dx.
sec x tg x sec x tg x
Fazendo u = sec x + tg x, temos que du = sec x ∙ tg x + sec 2 x, ou seja, 
du é exatamente o numerador, perfeito não? Deste modo, temos 
que:
= = + = + +∫ ∫ dusec x dx ln| u | C ln| sec x tg x | C.
u
Agora é a sua vez!
prove que ∫ cossec x dx = ln | cossec x – cotg x | + C.
use o mesmo artifício do exercício anterior, agora com cossec x – cotg x.
Exemplos
1. calcular ∫ x2 cos (x3 – 2)dx.
fazendo u = x3 – 2, tem-se du = 3x2 dx, ou seja, = 2du
x dx
3
. Assim,
− = = = +
= − +
∫ ∫ ∫2 3
3
du 1 1
x cos (x 2)dx cos u cos u du sen u C
3 3 3
1
sen (x 2) C.
3
Calculo II.indb 87 26/2/2009 09:26:16
88
unIverSIdAde do Sul de SAntA cAtArInA
2. calcular ∫
tg (ln x)
dx
x
.
fazendo u = ln x, tem-se du = 1
x
dx. Assim,
tg (ln x)
dx tg u du ln| sec u| C ln| sec (ln x)| C.
x
= = + = +∫ ∫
3. calcular ∫ 4cossec (6t + 1)dt.
fazendo u = 6t + 1, tem-se du = 6dt, ou seja, =
du
dt
6
. portanto,
du
4 cossec (6t 1)dt 4 cossec u
6
4
cossec u du
6
2
ln| cossec u cot u| C
3
2
ln| cossec (6t 1) cot (6t 1)| C.
3
+ =
=
= − +
= + − + +
∫ ∫
∫
Agora, vamos deduzir uma série de fórmulas que nos ajudam a 
calcular integrais que envolvem funções trigonométricas de po-
tências de qualquer grau, são as chamadas fórmulas de recorrên-
cia . A idéia é reduzir a integral em outra mais simples e do mes-
mo tipo . Aplicamos esta fórmula repetidas vezes até conseguir 
calcular a integral dada .
Fórmulas de recorrência
(a) encontrar as fórmulas de recorrência para calcular as integrais de:
∫ senn x dx e ∫ cosn x dx.
primeiramente, podemos reescrever esta integral de uma outra maneira, 
acompanhe o raciocínio e veja como fica interessante!
∫ senn x dx = ∫ senn–1 x·sen x dx.
 
Olá amigos, para 
encontrarmos uma fórmula 
geral que nos ajude a calcular 
as integrais de potência de 
seno, usaremos o método de 
integração por partes. 
Calculo II.indb 88 26/2/2009 09:26:17
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cálculo II  unidade 3
fazendo,
u = senn–1 x ⇒ du = (n – 1)senn–2 x·cos x dx
dv = sen x dx ⇒ v = ∫ sen x dx = –cos x
Aplicando a fórmula de integração por partes, tem-se:
∫ senn x dx = senn–1