Séries de Pagamentos

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SÉRIE DE PAGAMENTOS 
SÉRIE DE PAGAMENTOS 
PV
FV
1
0
PV
FV
0
1
OU
Hoje iniciaremos discutindo os seguintes termos:
• Classificação das series de pagamentos;
• Séries Uniformes de Pagamentos;
• Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas;
Nossa aula de hoje:
Classificação das series de pagamentos 
A
B
C
Quanto ao valor dos pagamentos 
Quanto a constância ou periodicidade .
Quanto ao tempo .
d
Quanto ao vencimento do primeiro pagamento 
e
Quanto ao momento dos pagamentos 
Quanto ao tempo
Temporária: quando tem um número limitado de pagamentos;
Infinita: quando tem um número infinito de pagamentos.
 
b) Quanto à constância ou periodicidade
Periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalo de tempo iguais;
Não periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
Quanto ao valor de pagamentos:
Constante: quando todos os pagamentos são iguais;
Variáveis: quando os valores dos pagamentos variam.
Quanto ao vencimento do primeiro pagamento.
Imediata: quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série;
Diferida: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em período subsequentes.
 Quanto ao momento dos pagamentos
Antecipada:	quando	o	primeiro pagamento	ocorre	no momento “0” da série de pagamentos (ato do negócio);
Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre após o negócio (um período após o negócio).
Série Uniforme de pagamentos 
Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se ampliam em número de valores, há necessidade de buscar soluções que simplifiquem o processo de cálculo. 
A situação mais comumente encontrada refere-se a um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de mesmo valor, em períodos sucessivos de tempo, denominado série uniforme de pagamentos.
Série Uniforme de pagamentos 
Do	ponto	de vista de quem vai receber os pagamentos
0
1
2
3
4
n-1
n	(tempo)
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT	 PMT
PV
Do ponto de vista de quem vai
 fazer os pagamentos
0
1
2
3
4
n-1
n	(tempo)
PMT = Prestações
PV= valor dívida
Renda temporária, periódica e constante 
Cada termo (T) dessa renda será representado, no diagrama de fluxo de caixa, por PMT - PagamenTos; as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos: 
FV: valor futuro (ou montante);
 PV: valor presente (ou valor atual, ou capital inicial, ou principal); 
i: taxa efetiva periódica de juro composto; e,
n: número de períodos de capitalização de juros. 
Atenção!!! Na renda temporária, periódica e constante, n também corresponde ao número de pagamentos. 
Série uniforme de pagamentos postecipadas
Atenção!!! A taxa (i) deve ser unitária, ou seja, a taxa centesimal (%) dividida por 100. 
n e i devem estar sempre expressos na mesma unidade de tempo. 
As séries uniformes de pagamentos postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; 
Esse sistema é também denominado sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0+n).
 Os pagamentos ou recebimentos podem ser chamados prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento.
Dada a prestação (PMT), achar o Valor Presente (PV)...
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor de um pagmento ou a prestação (PMT), será possível alcular o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, por meio da seguinte fórmula:
 
Exemplo prático
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado mediante seis pagamentos mensais de R$1.500,00, com vencimento da primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.
 
 
n = 6 meses
I = 3,5% a.m.
PMT: R$1.500,00
 
 
 
 
L
Usando nosso conhecimento na HP12C, podemos resolver:
 f FIN ou f REG
1.500 CHS PMT
N
3,5 I 
 PV 7.992,93
Dado Valor Presente (PV), achar a prestação PMT
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula:
 
Exemplo:
Um produto é comercializado a vista por R$500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar o valor em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando a taxa juros cobrada de 5% ao mês?
 
 
 
Dado Valor Futuro (FV), achar a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula:
Exemplo 
Determinar o valor dos depósitos mensais que, aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 07 meses, produz um montante de $5.000,00, pelo regime de juros compostos.
Dado Valor Presente (PV), calcular o prazo (n)
Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de VP, PMT e i.;
Exemplo prático
Um produto é comercializado por R$1.750,00. outra saída seria financiar esse produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$175,81; considerando, que o comprador escolha a segunda alternativa, determiner o número de prestações desse financiamento.
Dado Valor Futuro (FV), calcular o prazo (n)
 
Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de FV, PMT e i.;
Exemplo prático
Um poupador deposita R$150,00 por mês em sua caderneta de poupança. Após um determiando tempo, ele observou que o saldo do conta era de R$30.032,62. considerando uma taxa de media de poupança de 0,8% ao mês, determine a quantidade de depóstios efetuados por esse poupador. 
 
 
Cálculo da taxa (i)
 - 
Por isso utilizamos o método de tentativa e erro para acharmos a taxa estimada (, a partir da seguinte fórmula: 
Para acharmos uma taxa de juros em uma série uniforme de pagamentos postecipada ou antecipada não poderá ser encontrada por meio de uma fórmula resolutiva básica, já pela HP-12C ou Excel, não se tem maiores problemas. 
Exemplo prático
Um automóvel é comercializado por R$17.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser financiado em 36 parcelas mensais de R$1.075,73, determiner a taxa de juros da operação.
 0,0476667 ou 4,77% a.m.
 - 
 - 
 = 
Calculando a Taxa Estimada
 = 
 = 
 = 
= 
Tomando – se como base a Taxa Estimada de 4,77%, pelo processo de tentative e erro, deve-se encontrar uma taxa estimada que faça o fator de valor atual do 2° membro ser igual ao do 1° termo da equação, ou seja, 16,546852
 = 
Calculando a Taxa Estimada = 5%
 = 
 = 
 =16,546852
= 
Na HP-12C:
F FIN ou REG
17.800 CHS PV
1.075,73 PMT
n
i 
Dada prestação (PMT), calcular o Valor futuro (FV)
 
Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento das prestações (PMT) d uma série uniforme de pagamentos, será possível calcular o valor futuro (FV): 
Exemplo prático
Uma pessoa realiza depósito mensais no valor de R$100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de 30 anos, qual será o valor acumulado desse perídodo?
 
 
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS ANTECIPADAS
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário.
Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos.
No entanto, segundo Sobrinho (1986), as equações para encontrar os valores do PV, PMT e FV, possuem um pequena diferença em relação as séries postecipadas. Elas apresentam (1+i), ou seja, parte é paga na data zero.
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Presente (PV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor de um pagmentoou a prestação (PMT), será possível alcular o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, por meio da seguinte fórmula:
 
Exemplo prático
Uma mercadoria é comercializada em 04 pagamentos iguais de R$185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e que um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço a vista dessa mercadoria.
 
 
Atenção!!! Par efetuarmos os cálculos na HP12C de uma série de pagamentos antecipada será necessário introduzir no visor da calculadora a função “ BEGIN ”, que é obtida pela sequencia de teclas: g BEG. 
 RESOLUÇÃO HP12C: 
f FIN ou f REG 
G BEG 
185,00 CHS PMT
5 i 
N 
PV
Dado Valor Presente (PV), achar a prestação PMT
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula:
 
Exemplo:
Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal desse financiamento. 
 
 R$ 683,62 
 
Dado Valor Presente (PV), calcular o prazo (n)
Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de VP, PMT e i.;
Exemplo prático
Um produto custa, à vista, R$1.500,000, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, devendo ser a primeira prestação paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, determine qual é a quantidade de prstações desse financiamento.
Dada prestação (PMT), calcular o Valor futuro (FV)
 
Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento das prestações (PMT) d uma série uniforme de pagamentos, será possível calcular o valor futuro (FV): 
Exemplo prático
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança, com depósitos mensais de R$500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em media, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o nosso amigo poupador vai conseguir acumular valor de que precisa?
 * (1+0,008) 
 
Dado Valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor futuro (FV), será possível calcular o valor do pagamento das prestações (PMT) de uma série uniforme de pagamento antecipada pela seguinte fórmula: 
Exemplo prático
Considere o nosso poupador do exemplo anterior (depositando R$500,00 na data de hoje, resgatará, ao final de 05 anos, mais de R$37.500,00). Levando em conta, a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, qual deverá ser o valor dos depósitos para que o nosso poupador consiga acumular EXATAMENTE o valor de R$37.500,00? 
Cálculo da taxa (i)
Para acharmos uma taxa de juros em uma série uniforme de pagamentos antecipada devemos proceder da mesma forma que que para o cálculo da série postecipada, ou seja, tentativa e erro. 
Porém partimos de uma fórmula inicial para o cálculo: 
 = * (1+i)
Exemplo prático
Uma pessoa deposita mensalmente em conta poupança a importância de R$250,00. Após 5 meses, verificou-se que o saldo da conta era de R$1.288,00. Qual é a taxa media dessa caderneta de poupança?
 = * (1+i)
 = * (1+i)
 = * (1+i)
VAMOS INICIAR O PROCESSO DE TENTATIVA E ERRO COM UMA TAXA DE 0,5%: 
 = * (1+0,005)
 = 
 = * (1+i)
 = * (1,005)
 = * (1,005)
A TAXA DE 0,5% NÃO SATISFAZ A IGUALDADE.
VAMOS TESTAR CONSIDERANDO UMA TAXA DE 1%: 
 = * (1+0,01)
 = 
 = * (1,01)
 = * (1,01)
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