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Notas de Análise Real I
IME–UERJ
Gerson Espiritu Ledesma
25 de abril de 2024
Conteúdo
1 Conceitos Básicos 1
1.1 Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Conjuntos enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Conjuntos não enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Números Reais 33
2.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 O corpo dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Sequências 59
3.1 Sequências convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Sequência monótona e subsequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Limite e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Operações com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Testes de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Limite superior, limite inferior e ponto de aderência . . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 Sequência de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Séries 97
4.1 Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Séries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Testes de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Séries alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5 Reordenamento de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2
5 Noções básicas de Topologia 117
5.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 Conjuntos perfeitos e conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 Continuidade 145
6.1 Limites de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Limites infinitos e no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5 Funções cont́ınuas e conjuntos abertos/fechados . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6 Funções continuas sobre conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.7 Funções cont́ınuas sobre conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7 Derivadas 177
7.1 Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2 Teorema do valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3 Aplicações do Teorema do valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8 Integrais 203
8.1 Definição e existência da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.3 Teorema fundamental do cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4 Aplicações do Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5 Integral impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5.1 Integrais de funções não-limitadas num intervalo . . . . . . . . . . . . 221
8.5.2 Integrais de funções definidas em intervalos infinitos . . . . . . . . . . 233
8.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Caṕıtulo 1
Conceitos Básicos
1.1 Teoria de Conjuntos
Definição 1.1. Um conjunto S é uma coleção de objetos chamados de elementos. O conjunto
sem objetos é chamado de conjunto vazio é denotado por ∅. Usamos a notação x ∈ S para
dizer que x é um elemento do conjunto S. Se x não é um elemento de S, então escrevemos
x /∈ S.
Exemplo 1.
Seja S o conjunto cujos elementos são os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Escrevemos S =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Assim temos 3 ∈ S, 5 ∈ S e 7 /∈ S.
Outra maneira de descrever um conjunto é através de uma propriedade P possúıda por todos
os elementos. Nesse caso escrevemos {x : P (x)}.
Exemplo 2.
Seja P a propriedade ”é um número presente na face de um dado”e seja S = {x : P (x)},
então S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Definição 1.2.
1. Um conjunto T é um subconjunto de um conjunto S, se x ∈ T implica que x ∈ S e
escrevemos T ⊆ S.
2. Dois conjuntos são iguais se T ⊆ S e S ⊆ T . Nesse caso escrevemos S = T .
3. Um conjunto T é um subconjunto próprio de S, se T ⊆ S e T ̸= S. Nesse caso
escrevemos T ⊊ S.
Exemplo 3.
Sejam T = {2, 4, 6} e S do Exemplo 1. Temos que T ⊊ S.
1
Teoria de Conjuntos Página 2
Exemplo 4.
Seja T o conjunto dos números inteiros múltiplos de 4 e S o conjunto dos números pares.
Mostre que T ⊊ S.
Solução. (Direta) Temos que
T = {n : existe um inteiro m tal que n = 4m}
e
S = {n : existe um inteiro m tal que n = 2m}
Vamos mostrar que T ⊆ S. Seja n ∈ T , então existe um inteiro m tal que n = 4m = 2(2m),
portanto n ∈ S. Por outro lado 2 ∈ S e 2 /∈ T , assim S ̸⊆ T e portanto S ̸= T . Logo
T ⊊ S. ■
Exemplo 5.
Mostre que o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro conjunto.
Solução. Vamos mostrar isto pelo Absurdo. Suponha que existe um conjunto S, tal que
∅ não seja subconjunto de S. Assim, existe x ∈ ∅ tal que x /∈ S. Mas pela definição de
conjunto vazio x ∈ ∅ é uma contradição. ■
Definição 1.3. Sejam S e T conjuntos;
1. A união de S e T é definida e denotada por
S ∪ T = {x : x ∈ S ou x ∈ T} .
2. A interseção de S e T é definida e denotada por
S ∩ T = {x : x ∈ S e x ∈ T} .
3. O complemento de S relativo a T é definida e denotada por
S \ T = {x : x ∈ S e x /∈ T} .
4. Suponha que S é um subconjunto de T . O complemento de S em T é definido por
T \ S e denotamos por SC .
5. Dizemos que S e T são disjuntos, se T ∩ S = ∅.
Teoria de Conjuntos Página 3
S ∪ T
S
T
S
T T
S ∩ T
S
S \ T
S
T
SC S ∩ T = ∅
S
T
Figura 1.1: Diagramas de Venn.
Exemplo 6.
1. O conjunto dos números naturais, N = {1, 2, 3, . .. }.
2. O conjunto dos números inteiros, Z = {1,−1, 2,−2, 3,−3, . . . }.
3. O conjunto dos números racionais, Q =
{
m
n
: m ∈ Z e n ∈ N
}
.
Claramente N ⊊ Z ⊊ Q.
Proposição 1.1.
Sejam S e T conjuntos. Verifica-se
1. S ⊆ S ∪ T e T ⊆ S ∪ T .
2. S ∩ T ⊆ S e S ∩ T ⊆ T .
Demonstração. (Direta) Exerćıcio.
Proposição 1.2.
Sejam S e T conjuntos tais que T ⊆ S, então
1. S ∪ T = S e S ∩ T = T .
2. S ∪ ∅ = S e S ∩ ∅ = ∅.
Demonstração. (Direta) Exerćıcio.
Teoria de Conjuntos Página 4
Teorema 1.3 (Ley de Morgan).
Seja S um conjunto e A,B subconjuntos de S. Então
1. (A ∪B)C = AC ∩BC .
2. (A ∩B)C = AC ∪BC .
Demonstração. (Direta)
1. Seja x ∈ S, então temos
x ∈ (A ∪B)C ⇔ x /∈ (A ∪B) ⇔ x /∈ A e x /∈ B
⇔ x ∈ AC e x ∈ BC
⇔ x ∈ AC ∩BC .
2. Exerćıcio.
Seja uma coleção infinita de conjuntos {A1, A2, A3, . . . }. Definamos
+∞⋃
n=1
An = {x : x ∈ An para algum n ∈ N}
e
+∞⋂
n=1
An = {x : x ∈ An para todo n ∈ N}
Em geral, suponha que I seja um conjunto e que para cada i ∈ I, temos um conjunto Ai,
podemos definir ⋃
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ I}
e ⋂
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ I}
Exemplo 7.
Considere I = N× N e defina An,m = {k ∈ N : mk ≤ n}. Encontre
(a)
⋃+∞
m=1
⋃+∞
n=1An,m (b)
⋃+∞
n=1
⋂+∞
m=1 An,m (c)
⋂+∞
m=1
⋃+∞
n=1An,m
Solução. Vamos a dar alguns exemplos destes conjuntos
A2,5 = {k ∈ N : 5k ≤ 2} = ∅
A3,3 = {k ∈ N : 3k ≤ 3} = {1}
A9,2 = {k ∈ N : 2k ≤ 9} = {1, 2, 3, 4}
Teoria de Conjuntos Página 5
Da definição do An,m deduzimos que, se m > n então An,m = ∅. Assim também
Am,m = {1}, A2m,m = {1, 2}, A3m,m = {1, 2, 3}, . . .
Em geral Akm,m = {1, 2, . . . , k}. Com isto temos que
(a)
+∞⋃
m=1
+∞⋃
n=1
An,m =
+∞⋃
m=1
(A1,m ∪ A2,m ∪ · · · ∪ Am,m ∪ Am+1,m · · · ∪ A2m,m ∪ . . . )
=
+∞⋃
m=1
(∅ ∪ ∅ ∪ · · · ∪ {1} ∪ {1} · · · ∪ {1, 2} ∪ . . . )
=
+∞⋃
m=1
N = N.
(b)
+∞⋃
n=1
+∞⋂
m=1
An,m =
+∞⋃
n=1
(An,1 ∩ An,2 ∩ · · · ∩ An,n ∩ An,n+1 . . . )
=
+∞⋃
m=1
∅
=∅.
(c)
+∞⋂
m=1
+∞⋃
n=1
An,m =
+∞⋂
m=1
(A1,m ∪ A2,m ∪ · · · ∪ Am,m ∪ Am+1,m · · · ∪ A2m,m ∪ . . . )
=
+∞⋂
m=1
(∅ ∪ ∅ ∪ · · · ∪ {1} ∪ {1} · · · ∪ {1, 2} ∪ . . . )
=
+∞⋂
m=1
N = N.
■
Exemplo 8.
Sejam A = {1, 2}, B = {3} e C = {A,B}. Quais afirmações são corretas.
(a) A ∈ C
(b) A ⊆ C
(c) {A} ⊆ C
(d) 1 ∈ C
(e) B ∈ C
(f) 3 /∈ C
Indução Matemática Página 6
Solução. Segue da definição de pertencia e inclusão que (a), (c), (e) e (f) são verdadeiras.
(b) é falsa pois A é um elemento de C, (d) é falsa pois os unicos elementos de C são A e
B. ■
Definição 1.4. Seja S um conjunto. A coleção de todos os subconjuntos de S é chamada
de conjunto das partes de S e é denotada por P(S) ou 2S. Assim,
P(S) = {A : A ⊆ S}
Em outras palavras, A ∈ P(S) ⇔ A ⊆ S.
Exemplo 9.
Determine o conjunto de partes dos conjuntos ∅ e {1}.
Solução. P(∅) = {∅} e P({1}) = {∅, {1}}. ■
Definição 1.5. Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é definido e denotado
como
A×B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo 10.
Se A = {a, b} e B = {c, d}, então
A×B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}
1.2 Indução Matemática
Nos números naturais N valem dois prinćıpios fundamentais: ”O principio de indução” e
”principio de boa ordem”(ambos são equivalentes).
Prinćıpio de Boa ordem: Todo subconjunto não vazio de N tem um elemento mı́nimo.
Isto é, se B ⊆ N e B ̸= ∅, então existe n ∈ B tal que
n ≤ m, ∀m ∈ B.
Teorema 1.4 (Prinćıpio de indução).
Seja A ⊆ N satisfazendo as propriedades:
(i) 1 ∈ A.
(ii) Se n ∈ A (Passo indutivo), então n+ 1 ∈ A.
Então A = N.
Indução Matemática Página 7
Demonstração. (Absurdo) Seja A ⊆ N satisfazendo (i) e (ii). Suponha que A ̸= N, assim
podemos definir
B = N \ A ̸= ∅.
Pelo principio de boa ordem, existe um n ∈ B elemento mı́nimo. Desde que 1 ∈ A, então
n ̸= 1, logo n−1 ∈ N. Como n é o elemento mı́nimo de B, isto implica que n−1 /∈ B, assim
n− 1 ∈ A. Por (ii) temos n ∈ A (Contradição). Portanto, A = N.
Exemplo 11.
Mostre que 2n−1 ≤ n!, ∀n ∈ N.
Solução. (Direta) Definamos
A =
{
n ∈ N : 2n−1 ≤ n!
}
Vamos mostrar que A verifica (i) e (ii) do Teorema 1.4 e assim conclúımos que A = N.
(i) 1 ∈ A, pois 20 = 1 = 1!.
(ii) Suponha que n ∈ A (Hipótese indutiva), isto é,
2n−1 ≤ n!. (1.1)
Vamos mostrar que n + 1 ∈ A. Para isto em (1.1) multiplicamos por 2, assim temos
que 2n ≤ 2n!. Agora como n ≥ 1 implica que n+ 1 ≥ 2, com isto temos
2n ≤ 2n! ≤ (n+ 1)n! = (n+ 1)!.
Logo n+ 1 ∈ A. Portanto pelo prinćıpio de indução A = N.
■
O principio de indução pode ser enunciado via sentencias P (n) que dependem de uma
variável natural n. Esta sentencia P (n) pode-se tornar verdadeira ou falsa quando substituir
n por um número natural. Com isto o nosso principio de indução fica da seguinte forma
Teorema 1.5.
Se para cada n ∈ N, seja P (n) uma sentencia. Suponha que as seguintes duas condições
são verdadeiras:
(i) P (1) é verdadeira.
(ii) (Passo indutivo) Se P (n) é verdadeira, então P (n+ 1) é verdadeira.
Então, P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Demonstração. (Direta) Exerćıcio.
Agora vamos enunciar o principio forte de indução que é equivalente ao principio de indução.
Funções Página 8
Teorema 1.6 (Principio forte de indução).
Seja P (n) uma sentencia que depende dos números naturais. Suponha que:
(i) P (n0) é verdadeira.
(ii) (Passo indutivo) Se P (k) é verdadeira para todo k = n0, n0 + 1, . . . ,m, então
P (m+ 1) é verdade.
Então, P (n) é verdadeira para todo n ≥ n0.
Demonstração. Exerćıcio.
Exemplo 12 (Teorema fundamental da aritmética).
Mostre que todo inteiro positivo n > 1, pode ser escrito unicamente como o produto
pα1
1 . . . pαk
k com cada pi sendo um primo e verificando p1 < p2 < · · · < pk.
Solução. (Direta) Considere a seguinte propriedade
P (n) : n = pα1
1 . . . pαk
k ,
com cada pi primo e p1 < p2 < · · · < pk. Vamos verificar se esta propriedade verifica as
condições do principio forte de indução.
(i) p(2) é verdadeira, pois 2 é primo.
(ii) Agora suponha que p(2), p(3), . . . , p(n) são verdadeiros, vamos provar que p(n + 1) é
verdadeiro. Para isto temos dois posśıveis casos. Se n + 1 é primo, então p(n + 1)
é verdadeira. Caso contrario, existem números naturais m < n e u < n tais que
mu = n+ 1, assim pelo passo indutivo, existem primos q1, . . . , qt e r1, . . . , rs tais que
m = qβ1
1 . . . qβt
t e u = rγ11 . . . rγss
de onde podemos escreve n+ 1 da seguinte forma
n+ 1 = mu = pα1
1 pα2
2 . . . pαk
k
onde pi = qj ou pi = rl e p1 < p2 < · · · < pk. Assim também se qj = rl = pi, então
αi = βj + γl, se pi = qj então αi = βj e se pi = rl então αi = γl.
■
1.3 Funções
Definição 1.6. Uma função f : A → B é um subconjunto de A × B tal que para cada
x ∈ A, existe um único (x, y) ∈ f .
Funções Página 9
f
g
1
1
1
1
Figura 1.2: f é função e g não é função.
O conjunto A é chamado de domı́nio de f e será denotado por Dom f . O conjunto B é
chamado de contradomı́nio e definimos o subconjunto
Im f = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que f(x) = y}
chamado de imagem de f .
Definição 1.7. Seja f : A → B é uma função e C ⊆ A. Definimos a imagem de C como
f(C) = {f(x) ∈ B : x ∈ C}
Seja D ⊆ B, definimos a imagem inversa como
f−1(D) = {x ∈ A : f(x) ∈ D}
Observação 1. Se f : A → B é uma função, então
Im f = f(A) e A = f−1(B).
Exemplo 13.
Definimos f : R→ R definido por f(x) = sin x. Encontre f([0, π/2]) e f−1({0}).
Solução. Segue do gráfico da função sen(x)
� f([0, π/2]) = [0, 1]
� f−1({0}) = {nπ : n ∈ Z}
■
Exemplo 14.
Considere f : R→ R definido por f(x) = |x|. Encontre
(a) f([−2, 2]) (b) f−1 (]1, 2[) (c) f−1({3}) (d) f−1 (]− 3,−1[)
Funções Página 10
Solução. Segue do gráfico da função valor absoluto
(a) f([−2, 2]) = [0, 2]
(b) f−1(]1, 2[) =]− 2,−1[∪]1, 2[
(c) f−1({3}) = {−3, 3}
(d) f−1 (]− 3,−1[) = ∅
■
Proposição 1.7.
Seja f : A → B uma função. Sejam C, D são subconjuntos de B. Então
1. f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D);
2. f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D);
3.f−1(DC) = f−1(D)C .
Demonstração. (Direta)
1. x ∈ f−1(C ∪D) ⇔ f(x) ∈ C ∪D ⇔ f(x) ∈ C ou f(x) ∈ D
⇔ x ∈ f−1(C) ou x ∈ f−1(D) ⇔ x ∈ f−1(C) ∪ f−1(D).
2. Exerćıcio.
3. x ∈ f−1(DC) ⇔ f(x) ∈ DC ⇔ f(x) ∈ B e f(x) /∈ D
⇔ x ∈ f−1(B) e x /∈ f−1(D) ⇔ x ∈ A e x /∈ f−1(D)
⇔ x ∈ (f−1(D))
C
Proposição 1.8.
Seja f : A → B. Seja E,F subconjuntos de A. Então
1. f(E ∪ F ) = f(E) ∪ f(F );
2. f(E ∩ F ) ⊆ f(E) ∩ f(F ).
Demonstração. (Direta)
1. Exerćıcio.
Funções Página 11
2. Seja y ∈ f(E ∩ F ), assim existe x ∈ E ∩ F tal que f(x) = y. Desde que x ∈ E, então
y = f(x) ∈ f(E). Da mesma forma, como x ∈ F , então y = f(x) ∈ f(F ). Portanto,
y ∈ f(E) ∩ f(F ).
Definição 1.8. Seja f : A → B uma função.
1. f é dita injetiva ou 1-1, se
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
2. f é dita sobrejetiva ou sobre, se f(A) = B.
3. f é dita bijetiva, se f é injetiva e sobrejetiva.
Observação 2. Seja f : A → B uma função.
1. f não é injetiva se, somente se existem dois números distintos x e y em A, tais que
f(x) = f(y).
2. f não é sobrejetiva se, somente se existe um z ∈ B tal que z /∈ Im f .
Considere f : A → B uma função e C ⊆ A, a restrição de f a C será denotada por f |C .
Assim, se c ∈ C então f |C(c) = f(c).
Exemplo 15.
Determine qual se as seguintes funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas.
(a) A = B = R e f(x) = x2.
(b) A =]−∞, 0], B = R e f(x) = x2
(c) A = B = [0,+∞[ e f(x) =
√
x.
(d) A = B = R e f(x) = x(x− 1)(x+ 1).
Solução.
(a) f não é injetiva pois f(−1) = f(1) e −1 ̸= 1. f não é sobrejetiva pois x2 ≥ 0 para
todo x ∈ R e B = R, assim basta tomar y < 0, temos que y /∈ Im f .
(b) f torna-se injetiva, pois se
f(x1) = f(x2) ⇒ x2
1 = x2
2 ⇒ |x1| = |x2| ⇒ −x1 = −x2 ⇒ x1 = x2.
Como B = R não é sobrejetiva.
Funções Página 12
(c) f é injetiva, pois
f(x1) = f(x2) ⇒
√
x1 =
√
x2 ⇒ x1 = x2.
f é sobrejetiva, isto será provado na próximo capitulo. Portanto, f é bijetiva.
(d) f não é injetiva, pois tem ráızes, mas é sobrejetiva.
■
Observação 3. Se f : A → B é uma função injetiva, então f : A → Im f é bijetiva
Note que se a função f : A → B é injetiva, então para cada y ∈ B o conjunto f−1({y})
é vazio o consiste no máximo de um elemento. Em particular, se f também é sobrejetiva,
então para cada y ∈ B esta imagem inversa só tem um elemento. Neste caso, podemos
definir a função inversa de f , denotada por f−1 : B → A e definida como
x = f−1(y) ⇔ f(x) = y
Exemplo 16.
A função f : R → R definida por f(x) = 3x + 1 é uma função bijetiva, em particular
injetiva. Sua função inversa f−1 : R→ R é dado por
f−1(x) =
1
3
(x− 1)
Definição 1.9. Seja f : A → B, g : B → C. A função g ◦ f : A → C é chamada de função
composta e definida como
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Suponha que f : A → B é uma função bijetiva, assim admite uma inversa f−1 : B → A e
estas verificam
(i) (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x.
(ii) (f ◦ f−1)(y) = f(f−1(y)) = y.
De aqui pode-se deduzir que f−1 é uma função bijetiva (Exerćıcio).
Cardinalidade Página 13
1.4 Cardinalidade
Em 1874 Georg Cantor publico seu primeiro artigo de
teoria dos conjuntos onde ele estuda conjuntos infini-
tos e suas propriedades. O artigo tem só 5 paginas e
lá ele mostra sua descoberta revolucionária: R não é
enumerável. No que segue usaremos a ideia de enume-
rabilidade, usada por Cantor, para estudar conjuntos
infinitos.
Definição 1.10. Dado dois conjuntos A e B, diremos que A e B tem a mesma cardinalidade
(ou que são equivalentes ou que estão em correspondência 1-1) se existe uma função bijectiva
f : A → B. Escrevemos A ∼ B para indicar que A e B são equivalentes.
Proposição 1.9.
A relação ∼ verifica:
(i) Reflexiva: A ∼ A;
(ii) Simétrica: Se A ∼ B, então B ∼ A;
(iii) Transitiva: se A ∼ B e B ∼ C, então A ∼ C.
Demonstração.
(i) Basta usar a função identidade IdA : A → A, definida por IdA(x) = x que define uma
função bijetiva.
(ii) Como A ∼ B, existe uma função f : A → B bijetiva. Logo f−1 : B → A é uma função
bijetiva e portanto B ∼ A.
(iii) Se A ∼ B, então existe f : A → B bijetiva, assim também como B ∼ C, então existe
g : B → C bijetiva. Assim, g ◦ f : A → C é uma função bijetiva. Logo A ∼ C.
Uma relação ∼ que verifica (i), (ii) e (iii) é chamado relação de equivalência.
Cardinalidade Página 14
Exemplo 17.
Mostre que os seguintes conjuntos são equivalentes
(a) A = {1, 3, e} e B = {4,−5, π}.
(b) A = N e B = {3, 4, 5, . . . } = N− {1, 2}
Solução. (a) Ver a Figura 1.3.
(b) Basta definir f : A → B como f(n) = n+ 2. Vamos provar que f é bijetiva;
� f é injetiva, pois
f(n1) = f(n2) ⇒ n1 + 2 = n2 + 2 ⇒ n1 = n2.
� f é sobrejetiva, pois dado m ∈ B, temos que m ≥ 3, de onde implicamos que
m− 2 ∈ N e portanto f(m− 2) = m.
1
3
e
4
-5
π
A Bff
Figura 1.3: f é uma função bijetiva.
■
Definição 1.11. Sejam A e B conjuntos não vazios. Se existe uma função injetiva f :
A → B, então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual a cardinalidade de B e
escrevemos por #A ≤ #B. Se existe uma função sobrejetiva g : A → B, então dizemos que
a cardinalidade de A é maior ou igual a de B e escrevemos #A ≥ #B.
No caso de A ∼ B, usaremos a notação de #A = #B.
Exemplo 18.
Dados os conjuntos A e B tais que verificam A ⊆ B. Mostre que #A ≤ #B.
Solução. (Direta) Basta considerar iA : A → B a função inclusão, definida por iA(x) = x.
Claramente, i é injetiva. ■
Teorema 1.10 (De Cantor-Bernstein-Schröder).
Se #A ≤ #B e #B ≤ #A, então #A = #B.
Cardinalidade Página 15
Demonstração. (Direta) Projeto.
Definição 1.12. Para cada n ∈ N, definimos In = {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ N. Seja A um conjunto,
dizemos que
1. A é finito, se A = ∅ ou se existe um n ∈ N tal que A ∼ In.
2. A é infinito, se não for finito.
3. A é enumerável, se A for finito ou A ∼ N (neste caso chamamos A de infinito enu-
merável).
Em qualquer outro caso, dizemos que A é não-enumerável.
1.4.1 Conjuntos finitos
Seja n ∈ N e sejam i, j ∈ In diferentes, podemos definir a permutação de i e j como sendo
a função τij : In → In definida por
τij(k) =

k, k ̸= i, j;
j, k = i;
i, k = j;
Ver figura 1.4.
1
n
In In
τij
i
j
1
n
i
j
In
1
n
i
j
τij
Figura 1.4: Considere i < j.
Lema 1.11.
τij é bijetiva.
Demonstração. (Direta) Note que τij ◦ τij = IdIn , de onde temos que
� τij é injetiva, isto pois, se
τij(k1) = τij(k2) ⇒ τij(τij(k1)) = τij(τij(k2))
⇒ k1 = k2.
Cardinalidade Página 16
� τij é sobrejetiva, isto segue da igualdade acima, pois dado m ∈ In temos que
τij ◦ τij(m) = m ⇒ τij(τij(m)) = m
⇒ τij(k) = m.
onde k = τij(m). Logo esta função é sobrejetiva.
Proposição 1.12.
Se j : Im → In é uma função injetiva, então m ≤ n.
Demonstração. (Direta) Vamos a fazer a prova por indução sobre m. Assim,
P (m) : Se existe f : Im → In injetiva, então m ≤ n.
Claramente, P (1) é verdadeiro, pois 1 ≤ n. Agora suponha que P (m) seja verdadeiro
(hipótese indutiva). Agora vamos provar que P (m+ 1) é verdadeira, para isto suponha que
existe uma função f : Im+1 → In injetiva. Como m ∈ N, então m + 1 ≥ 2 e de aqui temos
que f(Im+1) tem pelo menos dois elementos, assim n − 1 ∈ N. Agora, seja τ : In → In a
função que permuta f(m+ 1) e n deixando o resto fixo, ver Figura 1.5.
1
2
f(m+ 1)
n-1
n
1
2
f(m+ 1)
n-1
n
In In
τ
1
2
Im+1
m
m+1
f
Figura 1.5: τ permuta f(m+ 1) e n.
Com isto a composição de τ ◦f : Im+1 → In é injetiva e verifica que τ ◦f(m+1) = n. Assim,
τ ◦ f(Im) ⊆ In−1 e de onde
τ ◦ f |Im : Im → In−1
é injetiva, logo pela hipótese indutiva temos que m ≤ n− 1 e portanto m+ 1 ≤ n.
Corolário 1.13.
Se A é um conjunto não vazio e finito, então existe um único n ∈ N para o qual existe
uma bijeção f : In → A.
Cardinalidade Página 17
Demonstração. (Direta) Suponha que as funções f : In → A e g : Im → A são bijeções,
assim a composta
In
f−→ A
g−1
−→ Im
é uma bijeção, logo pela Proposição 1.12 temos que n ≤ m. Analogamenteobtemos que
m ≤ n e portanto m = n.
O número n será chamado de cardinal de A e usaremos a notação #A = n.
Proposição 1.14.
Suponha que A é finito e que f : A → B é uma bijeção. Então B é finito e #B = #A.
Demonstração. (Direta) Suponha que #A = n e que g : In → A é uma bijeção, logo a
composição
In
g−→ A
f−→ B
é uma bijeção, assim B é finito e pelo Corolário 1.13 temos que #B = n.
Proposição 1.15.
Se A é um subconjunto não vazio de In, então A tem um elemento máximo.
Demonstração. (Direta) Seja o conjunto
U = {m ∈ N : a ≤ m para todo a ∈ A}
formado pelos majorantes de A. Note que n ∈ U e assim U ̸= ∅, logo pelo Principio de Boa
ordem, U admite um elemento mı́nimo b. Caso b = 1, então A = {1} e de onde b ∈ A. Caso
b ̸= 1, afirmamos que b ∈ A, pois do contrario, se b /∈ A como b ̸= 1 segue que b = c + 1,
para algum c ∈ N. Agora tomemos a ∈ A, desde que b ∈ U e b /∈ A, então
a < b = c+ 1 ⇒ a ≤ c
como a é arbitrário, isto verifica-se para todo a ∈ A e portanto c ∈ U , contradizendo a
minimalidade de b. Logo b ∈ A, com o que conclúımos a prova.
Corolário 1.16.
Se A é um subconjunto não vazio de In com elemento máximo n, então
(i) A é finito,
(ii) #A ≤ n e
(iiii) #A = n se, somente se A = In.
Cardinalidade Página 18
Demonstração. (Direta) Vamos a usar o principio de indução forte sobre n. Claramente, isto
é verdade para n = 1, pois se temos A ⊆ I1 e A ̸= ∅, então A = {1} e #A = 1, assim
(i) A é finito,
(ii) #A = 1 e
(iii) #A = 1 ⇔ A = I1.
Agora assuma que isto seja verdade para todo k ≤ n e suponha que temos um conjunto A
não-vazio verificando que A ⊆ In+1 e tem elemento máximo n+ 1. Vamos a provar que A é
finito e que #A ≤ n+1 e que a igualdade se da, só se A = In+1. Se caso A for unitário, isto
é, A = {n+ 1} o resultado torna-se trivial. Caso contrario pode-se definir A′ = A \ {n+ 1},
então A′ ̸= ∅ e alem disso A′ ⊂ In, logo pela Proposição 1.15, existe um n′ elemento máximo
de A′ e este verifica que n′ ≤ n. Assim temos que A′ ⊆ In′ não-vazio, com elemento máximo
n′, logo segue da hipótese indutiva,
(i) A′ é finito,
(ii) #A′ ≤ n′ e
(iii) #A′ = n′ se, somente se A′ = In′ .
Agora como A = A′ ∪ {n+ 1}, segue que
(i) A é finito,
(ii) #A ≤ n′ + 1 ≤ n+ 1.
Por outro lado, caso
#A = n+ 1 ⇒ #A′ = n ⇒ n = n′
⇒ A′ = I ′n e I ′n = In
⇒A′ ∪ {n+ 1} = In ∪ {n+ 1} ⇒ A = In+1.
A reciproca é trivial. Com isto, provamos o resultado.
Combinando estes dois resultados obtemos o seguinte resultado.
Corolário 1.17.
Seja A é um subconjunto não vazio de In, então
1. A é finito,
2. #A ≤ n e
3. #A = n se, somente se A = In.
Cardinalidade Página 19
Demonstração. (Direta) Pela Proposição 1.15 temos que A admite um elemento máximo
m que verifica m ≤ n. Assim, temos que A ⊆ Im com elemento máximo m, logo pelo
Corolário 1.16 temos que
(i) A é finito,
(ii) #A ≤ m ≤ n e
(iii) #A = m se, somente se A = Im
Se acontece que
#A = n ⇒ m = n ⇒ A = Im e Im = In ⇒ A = In.
A reciproca dessa sentença é trivial.
Teorema 1.18.
Suponha que B é um subconjunto de um conjunto finito A. Então B é finito e
#B ≤ #A, com a igualdade se, somente se B = A.
Demonstração. (Direta) Se B é vazio, então este é finito. Caso B ̸= ∅, isto implica que
A ̸= ∅ e finito, assim existe um n ∈ N e uma bijeção f : In → A. Agora, seja C = f−1(B) é
um subconjunto não-vazio de In, pelo Corolário 1.17 temos que
(i) C é finito,
(ii) #C = m ≤ n e
(iii) m = n se, somente se C = In.
Segue de (i) que existe uma função g : Im → C bijectiva, assim a composta
Im
g−→ C
f |C−→ B
é uma bijeção, de onde obtemos que B é finito. Além disso, de (ii) segue que #B ≤ #A,
provando a segunda afirmação. Agora, caso
#B = n ⇒ m = n ⇒ C = In ⇒ f(C) = f(In) ⇒ B = A.
Corolário 1.19.
Suponha que A é um conjunto finito e não vazio. Se a função f : A → A é injetiva,
então f é bijetiva.
Demonstração. (Direta) Como A é finito, então existe um n ∈ N e uma bijeção g : In → A,
então a composta
In
g−→ A
f−→ f(A)
é bijetiva e portanto #f(A) = n = #A, logo pelo Teorema 1.18, isto acontece se, somente
se f(A) = A.
Cardinalidade Página 20
1.4.2 Conjuntos enumeráveis
Definição 1.13. Seja A um conjunto é infinito enumerável. Então, dizemos que #A = ℵ0.
Observação 4. Se A e B são enumeráveis, a ideia de mesma quantidade de elementos, fica
amb́ıgua (ver Exemplo 17). Assim a ideia de correspondência é mais clara.
Exemplo 19.
Mostre Z é enumerável.
Solução. (Direta) Vamos definir f : N→ Z como
f(n) =
{ n
2
, n é par,
−
(
n−1
2
)
, n é impar.
N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
Z : 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3 . . .
Vamos mostrar que f é bijetiva (Exerćıcio). ■
Um conjunto finito não pode ser equivalente a um subconjunto próprio. Para conjuntos
infinitos isto é posśıvel.
Definição 1.14 (Sequência). Uma sequência num conjunto E é uma função f definida em
N com valores em E, isto é,
f : N→ E
denotamos por xn = f(n). Será conveniente denotar a sequência f por (xn)n∈N, {xn} ou
{x1, x2, . . . }.
Teorema 1.20.
Todo subconjunto infinito de um conjunto infinito enumerável é infinito enumerável.
Demonstração. (Direta) Suponha que A é infinito enumerável e seja E ⊆ A é um subcon-
junto infinito. Desde que A é enumerável existe uma função bijetiva f : N → A. Usando
esta função pode-se escreve A = {x1, x2, . . . , xn, . . . }, onde f(n) = xn. Vamos definir uma
subsequência {nk} da seguinte forma
n1 = min {m ∈ N : xm ∈ E}
este mı́nimo existe pelo principio de bom ordem. Em seguida, tomamos
n2 = min {m ∈ N : xm ∈ E \ {xn1}} .
note que n1 < n2. Agora, suponha que temos definido n1, n2, . . . , nk (hipótese indutiva).
Logo podemos definir nk+1 como
nk+1 = min {m ∈ N : xm ∈ E \ {xn1 , xn2 , . . . , xnk
}}
Logo a subsequência definida indutivamente {nk} verifica n1 < n2 < n3 < . . . . Com isto
definimos a função
Cardinalidade Página 21
g : N→ E
k → g(k) = xnk
Esta função g é injetiva (contra positiva), pois se k ̸= k′, então se acontece k < k′, assim
k ≤ k′−1 e portanto nk ≤ nk′−1 por definição de nk′ temos que xnk′
∈ E\
{
xn1 , . . . , xnk′−1
}
de
onde xnk′
̸= xnk
ou equivalentemente g(k) ̸= g(k′). Analogamente, caso k′ < k (Exerćıcio).
Assim também g é sobrejetiva (Direta), pois dado um x ∈ E ⊆ A, existe um m ∈ N tal que
x = xm. Vamos a mostrar que xm = xnk
= g(k), para algum k ∈ N. Para isto, seja
r = min {k ∈ N : m < nk}
Este r existe pelo principio de bom ordem. Assim, m < nr e nr−1 ≤ m, de aqui temos
nr−1 = m ou nr−1 < m
Se nr−1 < m, temos que xm ∈ E \
{
xn1 , . . . , xnr−1
}
. Pela definição de nr temos que nr ≤ m
contradição. Assim, nr−1 = m e xm = xnr−1 = g(r − 1). Portanto g é sobrejetiva. Com isto
g torna-se uma bijeção entre N e E, logo E é infinito enumerável.
Proposição 1.21.
Seja A é um conjunto infinito e não-vazio. Então as seguintes sentencias são equivalentes.
1. A é enumerável;
2. Existe uma função sobrejetiva f : N→ A;
3. Existe uma função injetiva g : A → N.
Demonstração. (Direta)
(1) ⇒ (2) Se A é infinito enumerável, então existe uma bijeção f : N→ A, em particular f
é sobrejetiva.
(2) ⇒ (3) Suponha que f : N → A é sobrejetiva. De aqui, para cada a ∈ A, o conjunto
f−1({a}) ̸= ∅ e f−1({a}) ⊆ N. Assim, podemos definir
na = min
{
m ∈ N : m ∈ f−1({a})
}
com isto definimos uma função g : A → N como g(a) = na e esta verifica que
a ̸= a′ ⇒ f−1({a}) ∩ f−1({a′}) = ∅
⇒ min {m ∈ N : m ∈ f−1({a})} ≠ min {m ∈ N : m ∈ f−1({a′})}
⇒ g(a) ̸= g(a′).
Portanto, g é injetiva.
(3) ⇒ (1) Suponha que g : A → N é injetiva. De aqui g : A → g(A) é uma bijeção,
assim g(A) ⊆ N é um conjunto infinito, então segue da Proposição 1.20 que g(A) é infinito
enumerável, de onde existe uma bijeção h : N→ g(A). Finalmente, considere a composição
N h−→ g(A)
g−1
−→ A
que é bijetiva e portanto A é enumerável.
Cardinalidade Página 22
Corolário 1.22.
Seja f : A → B uma função injetiva. Se B é infinito enumerávelentão A é enumerável.
Demonstração. Se A for finito não tem nada a provar. Suponha que A é infinito. Como B
é infinito enumerável, então existe uma bijeção g : B → N, assim a composta de
A
f−→ B
g−→ N
g ◦ f é injetiva, segue da Proposição 1.21 que A é enumerável.
Exemplo 20.
N× N é infinito enumerável.
Solução. (Direta) Basta definir a função
f : N× N→ N
(n,m) → f(n,m) = 2n3m
e temos que provar que f é injetiva. Assim se f(n1,m1) = f(n2,m2), então 2n13m1 = 2n23m2 .
Agora se n1 < n2, então temos que
3m1 = 2n2−n13m2 .
Logo o lado direito da igualdade é par enquanto o lado esquerdo é ı́mpar (contradição). Pelos
mesmos argumentos não pode acontecer que n1 > n2, então n1 = n2 e de onde m1 = m2.
Assim f é injetiva e pelo Corolario 1.22, temos que N× N é enumerável. ■
Corolário 1.23.
Seja f : A → B uma função sobrejetiva. Se A é infinito enumerável então B é enu-
merável.
Demonstração. (Direta) No B for finito, não tem nada a provar. Desde que A é infinito
enumerável, existe uma função g : N→ A bijectiva. Assim consideremos a seguinte composta
N g−→ A
f−→ B
f ◦ g é sobrejetiva e pela Proposição 1.21, segue que B é infinito enumerável.
Teorema 1.24.
Seja {En} uma sequência de conjuntos infinito enumeráveis e seja
E =
⋃
n∈N
En,
então E é infinito enumerável.
Cardinalidade Página 23
Demonstração. (Direta) Como cada En é infinito enumerável, este pode ser expressado como
uma sequência, isto é,
E1 = {x1,1, x1,2, x1,3, x1,4, . . . }
E2 = {x2,1, x2,2, x2,3, x2,4, . . . }
...
En = {xn,1, xn,2, xn,3, xn,4, . . . }
...
De onde podemos definir a função
f : N× N→ E
(n,m) → f(n,m) = xn,m
claramente f é sobrejetiva. Logo como N × N é infinito enumerável, pelo Corolário 1.23,
temos que E é infinito enumerável.
Teorema 1.25.
O produto cartesiano de dois conjuntos infinito enumeráveis é infinito enumerável.
Demonstração. (Direta) Sejam A e B conjuntos infinito enumeráveis, então existem f : N→
A e g : N→ B funções bijetivas. Assim definamos a função
ϕ : N× N→ A×B
(n,m) → ϕ(n,m) = (f(n), g(m))
Claramente, ϕ é bijetiva (Exerćıcio), em particular sobrejetiva e pelo Corolário 1.23 temos
que A×B é infinito enumerável, desde que N× N é infinito enumerável.
Exemplo 21.
Mostre que Q é infinito enumerável.
Solução. (Direta) Sabemos que Z é infinito enumerável, assim Z∗ = Z \ {0} é infinito enu-
merável (Exerćıcio). Logo pelo Teorema 1.25 temos que Z× Z∗ é infinito enumerável. Logo
definimos
ϕ : Z× Z∗ → Q
(n,m) → ϕ(n,m) = n
m
Está função é sobrejetiva e pelo Corolário 1.23 temos que Q é infinito +enumerável. ■
Cardinalidade Página 24
1.4.3 Conjuntos não enumeráveis
Nem todo conjunto infinito é enumerável.
Exemplo 22.
Seja
Σ2 = {(x1, x2, x3, . . . ) : xi ∈ {0, 1} ,∀ i ∈ N} = {0, 1}N
Mostre que Σ2 é não enumerável.
Solução. (Direta) Suponha que E ⊆ Σ2 é um subconjunto enumerável, assim E pode-se
escrever como uma sequência s1, s2, s3, . . . onde cada si ∈ Σ2, isto é
si = (xi,1, xi,2, xi,3, . . . )
com xi,j ∈ {0, 1} para todo i, j ∈ N. Vamos organizar a sequência numa matriz infinita
s1 : x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 . . .
s2 : x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 . . .
s3 : x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 . . .
s4 : x4,1 x4,2 x4,3 x4,4 . . .
...
...
...
...
...
. . .
Agora vamos construir um elemento s ∈ Σ2 da seguinte forma s = (xn) tal que
xn =
{
0, se xn,n = 1
1, se xn,n = 0.
Note que xn ̸= xn,n para todo n ∈ N, então s ̸= sn, para todo n ∈ N. Logo, s /∈ E assim
E ⊊ Σ2. De onde conclúımos que cada subconjunto enumerável de Σ2 é um subconjunto
próprio de Σ2. De aqui segue que Σ2 é não enumerável. ■
O argumento apresentado acima é conhecido como diagonal de Cantor.
Teorema 1.26 (de Cantor).
#A < #P(A). Em particular não existe função sobrejetiva de A em P(A).
Demonstração. Definimos a função
ϕ : A → P(A)
x → g(x) = {x}
é claro que g é injetiva e com isto temos que #A ≤ #P(A). Agora vamos mostrar que não
existe uma função sobrejetiva de A em P(A), para isto, dada uma função f : A → P(A)
qualquer. Assim, para cada x ∈ A, f(x) é um subconjunto de A. Agora, definimos o conjunto
B = {x ∈ A : x /∈ f(x)} ⊆ A.
Exerćıcios Página 25
Afirmamos que este conjunto B /∈ Imf . Com efeito, suponha o contrario, isto é B ∈ Imf ,
assim existe um x0 ∈ A tal que f(x0) = B. Logo temos duas possibilidades x0 ∈ B ou
x0 /∈ B. Caso x0 ∈ B, isto implica que x0 /∈ B (contradição). Caso x /∈ B, isto implica que
x0 ∈ f(x0) = B (contradição). Portanto B /∈ Imf e assim f não é sobrejetiva.
Observação 5. Uma consequência do Teorema de Cantor é que P(N) é não enumerável e
mais ainda existe uma progressão de conjuntos infinitos cada vez maiores.
N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), . . .
ℵ0 ℵ1 ℵ2 ℵ3 . . .
1.5 Exerćıcios
§ 1.1 Teoria Conjuntos
1. Mostre que A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C).
2. Prove que:
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩B).
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
3. Seja (Ai)i∈I uma famı́lia de subconjuntos de X. Prove que
(a) A ∩
(⋃
i∈I Ai
)
=
⋃
i∈I(Ai ∩ A);
(b) A ∪
(⋂
i∈I Ai
)
=
⋂
i∈I(Ai ∩ A);
(c)
(⋂
i∈I Ai
)C
=
⋃
i∈I A
C
i ;
(d)
(⋃
i∈I Ai
)C
=
⋂
i∈I A
C
i .
4. Denotemos por A∆B a diferença simétrica de conjuntos, isto é, o conjunto de elementos
que pertencem ou a A ou a B, mas não a ambos.
(a) Faça o diagrama de Venn para A∆B.
(b) Mostre que A∆B = (A \B) ∪ (B \ A).
(c) Mostre que A∆B = (A ∪B) \ (A ∩B).
(d) Mostre que A∆∅ = A.
(e) Mostre que A∆A = ∅.
5. Encontre P(S) (o conjunto potencia) para cada caso:
(a) S = {1, 2}, (b) S = {1, 2, 3, 4}.
6. Prove que A×
(⋃+∞
n=1Bn
)
=
⋃+∞
n=1 (A×Bn).
7. Prove que (A×B) ∩ (S × T ) = (A ∩ S)× (B ∩ T ).
8. Para cada n ∈ N, seja An = {(n+ 2)k : k ∈ N}. Encontre
Exerćıcios Página 26
(a) A1 ∩ A2; (b)
⋃+∞
n=1An; (c)
⋂+∞
n=1An.
9. Encontre um exemplo de uma coleção de conjuntos não vazios {An} tais que para cada
n ∈ N, temos que An ∩ An+1 ̸= ∅, mas
⋂
n∈NAn = ∅ .
10. Seja {Xi}i∈N uma coleção de conjuntos e seja X =
⋃∞
n=1Xn. Mostre que existe uma
coleção {Yi}i∈N tal que
Yi ⊆ Yi+1 e X =
∞⋃
i=1
Yi.
11. Seja X é um conjunto e An ⊆ X para cada n ∈ N. Definamos os dois conjuntos A e A
por
A =
∞⋂
n=1
∞⋃
k=n
Ak
e
A =
∞⋃
n=1
∞⋂
k=n
Ak
(a) Prove que
∞⋂
n=1
An ⊂ A ⊂ A ⊂
∞⋃
n=1
An
(b) Prove que A = {x ∈ X : x ∈ An para uma quantidade infinita de indices}
(c) Prove que A = {x ∈ X : x ∈ An para todo n salvo uma quantidade finita}
§ 1.2 Indução Matemática
1. Prove por indução que, para todo n ∈ N:
(a) n < 2n;
(b) n3 ≤ 3n;
(c) 1
1.2
+ 1
2.3
+ · · ·+ 1
n(n+1)
= n
n+1
;
(d)
∑n
k=1 k
2 = n(n+1)(n+2)
6
.
(e)
∑n
k=1 k
3 =
(
n(n+1)
2
)2
;
(f)
∑n
k=0 x
k = 1−xn+1
1−x
para cada número real x ̸= −1;
(g)
∑n
k=1(8k − 5) = 4n2 − n;
(h) 7n − 2n é diviśıvel por 5;
(i) n3 + 5n é diviśıvel por 6.
2. Define 0! = 1 e, para n ∈ N, definamos n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 ( n factorial). Mostre
que:
Exerćıcios Página 27
(a) (1− 1/n)(1− 2/n) · · · (1− (n− 1)/n) = n!
nn .
(b) 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) = (2n)!
2nn!
.
3. Para n ∈ Z+ e k = 0, 1, . . . , n, definamos o coeficiente binomial(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)!
Prove que (
n+ 1
k
)
=
(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
4. Mostre que
(a)
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
, para todo natural n ≥ k ≥ 0.
(b) (a+ b)n =
∑n
i=0
(
n
i
)
aibn−i (Binómio de Newton).
5. Seja a1, a2, . . . , an números reais positivos com n ≥ 2. Prove a desigualdade
(1 + a1) . . . (1 + an) ≥ 1 + a1 + · · ·+ an.
6. Encontre o menor inteiro n ∈ N tal que 2(n + 5)2 < n3 seja verdade. Isto é, mostre
que existe um n0 tal que 2(n+ 5)2 < n3 para todo n ≥ n0.
7. Mostre que 2n < n! para todo inteiro n ≥ 4.
8. Finalize a prova que o principio de indução é equivalente a propriedade de boa ordem
de N. Isto é, prove que a propriedade de boa ordem usando o principio de indução.
9. Prove que o principio de indução forte é equivalente ao principio de indução standard.
10. Mostre a desigualdade de Bernoulli (1 + a)n ≥ 1 + na, isto para todo n ∈ N ea ≥ −1.
§ 1.3 Funções
1. Considere f : R→ R definida por f(x) = x2 − 9. Determine f(X) para:
(a) X = (−4, 4); (b) X = [1, 9]; (c) X = [−2,−1] ∪ [2, 3].
2. Considere f : R→ R definida por f(x) = x2. Determine f−1(Y ) para:
(a) Y = (−4, 4); (b) Y = [1, 9]; (c) Y = [−1, 0].
3. Seja f : S → T uma função e sejam A1, A2, . . . subconjuntos de S.
(a) Mostre que f−1(
⋃+∞
n=1An) =
⋃+∞
n=1 f
−1(An).
(b) Mostre que f−1(
⋂+∞
n=1An) =
⋂+∞
n=1 f
−1(An).
Exerćıcios Página 28
4. Encontre um exemplo no qual a inclusão seja estrita em f(C ∩D) ⊊ f(C) ∩ f(D).
5. Seja f : A → B e g : B → T funções.
(a) Se ambos são injetivas, mostre que g ◦ f é injetiva.
(b) Se ambos são sobrejetivas, mostre que g ◦ f é sobrejetiva.
(c) Se ambos são bijetivas, mostre que g ◦ f é bijetiva.
6. Seja f : A → B e g : B → T funções.
(a) Se g ◦ f é injetiva, mostre que f é injetiva.
(b) Se g ◦ f é injetiva, isto implica que g é injetiva?
7. Seja f : A → B e g : B → T funções.
(a) Se g ◦ f é sobrejetiva, mostre que g é sobrejetiva.
(b) Se g ◦ f é sobrejetiva, isto implica que f é sobrejetiva?
8. Considere f : A → B. Prove que:
(a) f é injetiva se, somente se, f(X ∩ X̃) = f(X) ∩ f(X̃) para todo X, X̃ ⊂ A;
(b) f é injetiva se, somente se, f(XC) ⊂ [f(X)]C para todo X ⊂ A;
(c) f é sobrejetiva se, somente se, [f(X)]C ⊂ f(XC) para todo X ⊂ A. Conclua que
a igualdade ocorre se, e somente se, f for bijetiva.
9. Seja f : X → Y .Mostre que
(a) f é sobrejetiva se, somente se existe uma função g : Y → X tal que f(g(y)) = y
para todo y ∈ Y . Esta função g é chamada de inversa a direita de f .
(b) f é injetiva se, somente se existe uma função h : Imf → X tal que x = h(f(x))
para todo x ∈ X. Esta função h é chamada de inversa a esquerda de f .
10. Sejam X, Y são conjuntos e f : X → Y. Prove que as seguintes condições são equiva-
lentes:
(a) f é injectiva.
(b) f(A\B) = f(A)\f(B) para todo B ⊂ A ⊂ X.
(c) f−1(f(S)) = S para todo S ⊂ X.
11. Seja f : A → B é bijetiva. Prove que a sua inversa é única.
12. Em cada caso, verifique se a função é injetiva, encontre a inversa e especifique o
Dom f−1 e Im f−1.
(a) f(x) =
√
x, para x ≥ 0.
(b) f(x) =
√
3x− 2, para x ≥ 2/3.
Exerćıcios Página 29
(c) f(x) = 3− x2, para x ≥ 0.
(d) f(x) = 5x− 3, para x ∈ R.
13. Seja f : A → B e g : B → C são bijetivas. Prove que (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
14. Seja f : A → B é uma bijeção.
(a) Prove que a função inversa f−1 é bijetiva.
(b) Prove que a função inversa (f−1)−1 de f−1 é f .
15. Seja f0(x) =
x
x+1
e fn definida de forma indutiva por fn(x) = f0 ◦ fn−1(x). Prove que
fn(x) =
x
(n+ 1)x+ 1
.
§ 1.4 Cardinalidade
1. Seja A um conjunto finito. Uma aplicação f : A → A é injetiva se, e somente se, é
sobrejetiva. (Dica: Para a volta usar o Ex. 9(a) de Funções).
2. Suponha que B é um conjunto finito, e que f : A → B é uma função injectiva. Mostre
que A é finito, e que #A ≤ #B, com igualdade se, somente se f é uma bijeção. (Dica:
Trabalhe com f(A) e use o Teorema 1.18).
3. Suponha que A é um conjunto finito, e que f : A → B é uma função sobrejetiva.
Mostre que B é finito, e que #B ≤ #A, com igualdade se, somente se f é uma bijeção.
4. Mostre que se A é finito e f : A → B uma função, então f(A) é finito.
5. Sejam X e Y conjuntos finitos. Prove que:
(a) card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y )− card(X ∩ Y );
(b) card(X × Y ) = card(X)card(Y )
(Dica: Olhar o livro do Elon Análise 1).
6. Mostre que para um conjunto finito A de cardinalidade n, o cardinal de P(A) é 2n.
7. Suponha que A e B são finito. Mostre que
F(A;B) = {f : A → B : f é função}
é finito e determine a sua cardinalidade.
8. Mostre que a união finita de conjuntos infinitamente enumeráveis é infinitamente enu-
merável. (Dica: Usar indução).
9. Seja k ≥ 2 um número natural. Prove que Z é união disjunta de k conjuntos infinita-
mente enumeráveis.
Exerćıcios Página 30
10. Seja A e B conjuntos enumeráveis. Prove que existe uma bijeção entre A e A ∪ B.
(Dica: Defina uma função como no Exemplo 19).
11. Seja f : A → B é uma função injetiva na qual B é enumerável. Mostre que A é ou
finito ou enumerável.
12. Seja f : A → B é uma função sobrejetiva na qual A é enumerável. Mostre que B é ou
finito ou enumerável.
13. Seja S é um conjunto enumerável e seja T é um subconjunto finito de S. Prove que
S \ T é enumerável.
14. Seja S é um conjunto infinito. Prove que S tem um subconjunto enumerável.
15. Mostre que o conjunto de todos os polinômios com coeficientes racionais é enumerável.
16. Dar um exemplo de uma coleção contável de conjuntos infinitos A1, A2, . . . , com Aj∩Ak
sendo infinito para todo j e k, tal que
⋂+∞
j=1 Aj é não vazio e finito.
17. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para casa y ∈ Y temos que f−1(y) é
enumerável. Prove que X é enumerável.
18. Seja m ∈ N, mostre que o conjunto de todos os números racionais com denominador
m é enumerável. Deduza que Q é enumerável.
19. Mostre que o conjunto de todos os subconjuntos finitos de N é uma conjunto enu-
merável.
20. ♣ Defina f : N× N→ N como segue
f(m,n) = 2m−1(2n− 1).
(a) Prove que f é injetiva. [Dica: Se f(m,n) = f(s, t) existe três casos para consi-
derar: m > s, m < s e m = s. Use as leis do exponente para provar que os dois
primeiros casos levam a uma contradição.]
(b) Prove que f é sobrejetiva. [Dica: Use o fato de que se y ∈ N, então y = 2km, onde
m é um número ı́mpar e k um inteiro não negativo. De fato isto é consequência
do Teorema fundamental da aritmética.]
(c) Prove que N× N ∼ N e de aqui #(N× N) = ℵ0.
21. (Principio da casa dos pombos) Suponha que f é uma função de um conjunto A para
um conjunto finito B. Mostre que se A é finito e #A > #B, então f não pode ser
injetiva. Mostre que se A é infinito, então existe um b ∈ B tal que f−1(b) é infinito.
22. Seja A um conjunto que contem um conjunto não enumerável. Prove que A é não
enumerável.
23. Seja S é um conjunto, seja T é um conjunto não enumerável e suponha que existe uma
função f : S → T sobrejetiva. Prove que S é não enumerável.
Exerćıcios Página 31
24. Seja B é um conjunto não enumerável e A ⊂ B. Se A é enumerável, prove que B \ A
é não enumerável.
25. Mostre que o conjunto de todos os subconjuntos infinitos de N é não enumerável. (Dica:
Usar o argumento da diagonal de Cantor).
26. (Principio da casa dos pombos para conjuntos enumeráveis) Suponha que f é uma
função de um conjunto não enumerável A para um conjunto enumerável B. Mostre
que existe um b ∈ B tal que f−1({b}) é não enumerável.
27. Prove que F(N,N) é não-numerável. (Dica: Usar o argumento da diagonal de Cantor).
Exerćıcios Página 32
Caṕıtulo 2
Números Reais
2.1 Propriedades básicas
Definição 2.1. Um conjunto ordenado é um conjunto S com uma relação < tal que
1. para cada x, y ∈ S, exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira
ou x < y ou x = y ou y < x (Tricotomia).
2. Se x < y e y < z, então x < z (Propriedade Transitiva).
Escreveremos de x ≤ y, se x < y ou x = y. Assim também definimos x > y, como sendo
y < x. Analogamente, x ≥ y, se x > y ou x = y.
Exemplo 23.
(a) N é um conjunto ordenado, com a seguinte relação de ordem: Dado x, y ∈ N
x < y, se y − x ∈ N.
(b) Z é um conjunto ordenado, com a relação de ordem: Dado x, y ∈ Z
x < y, se y − x ∈ N.
(c) Q é um conjunto ordenado, com a relação de ordem: Dado x, y ∈ Q
x < y, se y − x ∈ Q+ =
{
q ∈ Q : q = m
n
com n,m ∈ N
}
.
Definição 2.2 (́Infimo e supremo). Suponha que S é um conjunto ordenado e E ⊆ S.
1. Se existe um b ∈ S tal que x ≤ b para todo x ∈ E, então dizemos que E é limitado
superiormente e que b é um limitante superior ou cota superior.
33
Propriedades básicas Página 34
2. Se existe um a ∈ S tal que x ≥ a para todo x ∈ E, então dizemos que E é limitado
inferiormente e a é um limitante inferior ou cota inferior.
3. Suponha que existeum b0 ∈ S com as seguintes propriedades:
(i) b0 é cota superior de E.
(ii) Se b é outra cota superior de E, então b0 ≤ b.
Então b0 é chamado de menor limitante superior de E ou supremo de E e escrevemos
b0 = supE.
4. Suponha que existe um a0 ∈ S com as seguintes propriedades:
(i) a0 é cota inferior de E.
(ii) Se a é outra cota inferior de E, então a ≤ a0.
Então a0 é chamado de maior limitante inferior de E ou ı́nfimo de E e escrevemos
a0 = inf E.
Exemplo 24.
Seja S = Q, encontre o inf E e supE, caso existe.
(a) E = {y ∈ Q : y < 1/2}.
(b) F = {y ∈ Q : −3/2 < y}.
(c) G = {y ∈ Q : 0 < y < 1}.
Solução. (a) E é limitado superiormente, mas não inferiormente. Afirmamos que
supE = 1/2 ∈ Q.
Com efeito,
(i) 1/2 é uma cota superior de E.
(ii) Se z ∈ Q é cota superior de E, suponha que z ̸= 1/2, pela tricotomia temos que
1/2 > z ou 1/2 < z.
Se z < 1/2, chamemos de d = 1/2− z > 0, assim
z < z +
d
2
= z +
1
4
− z
2
=
z
2
+
1
4
<
1
4
+
1
4
=
1
2
.
Como z + d/2 ∈ Q, segue que z + d/2 ∈ E o que resulta numa contradição, pois
z é cota superior de E. Assim 1/2 < z.
Portanto supE = 1/2. Note que 1/2 /∈ E.
Propriedades básicas Página 35
(b) F é limitado inferiormente, mas não superiormente. Afirmamos que
inf E = −3/2 ∈ Q.
com efeito,
(i) −3/2 é uma conta inferior de E.
(ii) Se z ∈ Q é cota inferior de E, suponha que z ̸= −3/2, pela tricotomia temos que
z < −3/2 ou −3/2 < z.
Se −3/2 < z, chamemos de d = z + 3/2 > 0, assim
−3
2
< −3
2
+
d
2
= −3
2
+
z
2
+
3
4
= −3
4
+
z
2
<
z
2
+
z
2
= z.
Agora, como −3/2 + d/2 ∈ Q, segue que −3/2 + d/2 ∈ F o que resulta numa
contradição, pois z é cota inferior de F . Com isto temos que z < −3/2.
Portanto inf E = −3/2.
(c) Exerćıcio, mostre que inf G = 0 e supG = 1.
■
Definição 2.3. 1. Dizemos que um conjunto ordenado S tem a propriedade de menor
limitante superior, se para cada subconjunto E ⊆ S não vazio e limitado superiormente
existe supE e pertence a S.
2. Dizemos que um conjunto ordenado S tem a propriedade de maior limitante inferior,
se para cada subconjunto E ⊆ S não vazio e limitado inferiormente existe inf E e
pertence a S.
Na frente veremos que estas propriedades são equivalente, isto é, se S tem a propriedade de
menor limitante superior se, somente se S tem a propriedade de maior limitante inferior.
Lema 2.1.
A equação x2 = 2 não tem solução racional.
Demonstração. (Absurdo) Suponha que existe um x ∈ Q tal que x2 = 2. Se x > 0, pode-se
escrever x = m/n, com (m,n) = 1. Assim m2
n2 = 2 logo
m2 = 2n2. (2.1)
De onde m é par, pois caso m seja ı́mpar então m2 também é ı́mpar. Assim, existe k ∈ N
tal que m = 2k logo em (2.1) temos que
4k2 = 2n2 ⇔ n2 = 2k2
de onde n é par (contradição). Portanto não existe solução de x2 = 2 em Q.
Propriedades básicas Página 36
Exemplo 25.
Q não tem a propriedade de menor limitante superior.
Solução. Para ver isto, exibiremos um conjunto E ⊆ Q limitado superiormente e cujo su-
premos não esta em Q. Assim, definimos
E =
{
x ∈ Q : x > 0 e x2 < 2
}
Note que E é não vazio, pois 1 ∈ E e este conjunto é limitado superiormente, pois se x ∈ E
então
x2 < 2 < 4 ⇒ x2 − 4 < 0 ⇒ (x− 2)(x+ 2) < 0 ⇒ x− 2 < 0 ⇒ x < 2.
logo 2 é cota superior de E, porem não tem supremo em Q. Vamos provar isto pelo absurdo.
Suponha que supE = b ∈ Q, assim temos que b > 1 e temos duas possibilidades
b ∈ E ou b /∈ E.
Caso b ∈ E, então b2 < 2. Vamos mostrar que b não é cota superior de E, isto é vamos
mostrar que existe um q ∈ E tal que b < q. Assim, definimos q = b + ϵ, com ϵ ∈ Q+ (a ser
determinado) e tal que
q2 = (b+ ϵ)2 = b2 + 2bϵ+ ϵ2
seja menor que 2. Agora, sabemos que b < 2 e podemos supor que ϵ < 1, assim
q2 < b2 + 4ϵ+ ϵ = b2 + 5ϵ
com isto, q2 < 2 se
b2 + 5ϵ < 2 ⇔ ϵ <
2− b2
5
.
De onde basta escolher
ϵ =
2− b2
6
∈ Q+.
Assim, temos que ϵ < 1 e q = b+ ϵ ∈ Q+, isto implica que
q ∈ E e b < q
o que é uma contradição, pois b é cota superior de E.
Se b /∈ E, então b2 ≥ 2, pelo Lema 2.1 temos que b2 > 2. Agora vamos mostrar que b não é
a menor das cotas superiores de E, para isto basta construir um p ∈ Q cota superior de E
e p < b. Assim, escolhamos p = b− ϵ, com ϵ ∈ Q+ (a ser determinado) e tal que
p2 = (b− ϵ)2 = b2 − 2bϵ+ ϵ2
seja maior que 2. Agora, como ϵ > 0 temos que
p2 > b2 − 2bϵ
Propriedades básicas Página 37
com isto, p2 > 2 se
b2 − 2bϵ > 2 ⇔ ϵ <
b2 − 2
2b
.
Assim, basta escolher
ϵ =
b2 − 2
3b
∈ Q+
logo p = b− ϵ ∈ Q+ e para cada x ∈ E, temos que
x2 < 2 < p2 ⇒ x < p
portanto p é cota superior de E, o que é uma contradição pois b é a menor cota superior de
E. Assim E não tem supremo em Q. Portanto Q não tem a propriedade de menor limitante
superior.
■
Exerćıcio: Seja o conjunto F = {x ∈ Q+ : 2 < x2}. Mostre que F não tem ı́nfimo em Q.
Definição 2.4. Seja S um conjunto ordenado e E ⊆ S.
1. Dizemos que α é máximo de E, se α é cota superior de E e α ∈ E.
2. Dizemos que β é mı́nimo de E, se β é cota inferior de E e β ∈ E.
A diferencia crucial entre máximo (mı́nimo) e supremo (́ınfimo) é que o supremo (́ınfimo)
não precisa estar em E.
Observação 6.
� Se α = maxE, então α = supE.
� Se β = minE, então β = inf E.
Teorema 2.2.
Suponha que S é um conjunto ordenado com a propriedade do menor limitante superior.
Seja B ⊂ S não vazio e limitado inferiormente. Seja L o conjunto de todos as cotas
inferiores de B. Então
α = supL
existe em S e α = inf B. Em particular inf B existe em S.
Demonstração. Temos que
L = {y ∈ S : y é cota inferior de B}
Desde que B é limitado inferiormente L ̸= ∅ e além disso fixando x ∈ B temos que
y ≤ x, ∀y ∈ L.
Logo L é limitado superiormente e pela propriedade do menor limitante superior existe o
supremo de L em S, isto é, existe um α = supL ∈ S. Agora, só resta mostrar que α = inf B.
Corpos Página 38
(i) α é cota inferior de B, com efeito, como provamos acima, cada x ∈ B é cota superior
para L, assim desde que α é o menor limitante superior temos que α ≤ x, para todo
x ∈ B.
(ii) Seja γ uma cota inferior de B, assim γ ∈ L e como α é supremo de L, então γ ≤ α.
Assim, α = inf B.
Este teorema nos diz que, se S é um conjunto com a propriedade de menor limitante superior,
então tem a propriedade de maior limitante inferior.
2.2 Corpos
Definição 2.5. Um conjunto F é chamado de corpo se F tem duas operações definidas sobre
este, adição x+ y e multiplicação xy e verificam os seguintes axiomas
(A) Axiomas para adição.
(A1) Se x ∈ F e y ∈ F , então x+ y ∈ F .
(A2) (Comutativa) x+ y = y + x ∀x, y ∈ F .
(A3) (Associativa) (x+ y) + z = x+ (y + z) ∀x, y, z ∈ F .
(A4) (Elemento neutro aditivo) F tem um elemento 0 tal que
0 + x = x, ∀x ∈ F.
(A5) (Elemento inverso aditivo) para cada x ∈ F existe um elemento −x tal que
x+ (−x) = 0, ∀x ∈ F.
(M) Axiomas para multiplicação.
(M1) Se x ∈ F e y ∈ F , então o produto xy ∈ F .
(M2) (Comutativa) xy = yx ∀x, y ∈ F .
(M3) (Associativa) (xy)z = x(yz) ∀x, y, z ∈ F .
(M4) (Elemento neutro multiplicativo) F tem um elemento 1 tal que
1x = x, ∀x ∈ F.
(M5) (Elemento inverso multiplicativo) para cada x ∈ F tal que x ̸= 0, existe um elemento
1/x tal que
x(
1
x
) = 1.
(D)(Lei distributiva) x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ F .
Corpos Página 39
Notação: Em qualquer corpo geralmente escrevemos:
(i) x− y no lugar de x+ (−y).
(ii) x
y
no lugar de x( 1
y
).
(iii) x+ y + z no lugar de (x+ y) + z.
(iv) x2 no lugar de xx; x3 no lugar de xxx, . . .
(v) nx no lugar de x+ x+ · · ·+ x n-termos.
Exemplo 26. (a) Z2 =
{
0, 1
}
é um corpo com as operações definidas na Figura 2.1.
(b) Q é um corpo com as operações de soma e multiplicação
a
b
+
c
d
=
ad+ cb
bd
,
a
b
c
d
=
ac
bd
(c) Z não é corpo, pois não verifica o axioma (M5).
+ 0 1
1
0 0
0
1
1
. 0 1
1
0 0 0
0 1
Figura 2.1: Operações em Z2.
Proposição 2.3.
Se F é corpo então são validos:
1. Se x+ y = x+ z, então y = z.
2. Se x+ y = x, então y = 0.
3. Se x+ y = 0, entãoy = −x.
4. −(−x) = x.
Demonstração. (Direta)
1. y
(A4)
= 0 + y
(A5)
= (−x+ x) + y
(A3)
= −x+ (x+ y)
Hip
= −x+ (x+ z)
(A3)
= (−x+ x) + z
(A5)
=
0 + z
(A4)
= z
Corpos Página 40
2. Da hipótese e do axioma (A4) temos que x + y = x + 0, assim pela parte 1 desta
proposição temos que y = 0.
3. Da hipótese e do axioma (A5) temos que x + y = x + (−x), assim pela parte 1 desta
proposição temos que y = −x.
4. Usando o axioma (A5) temos que −x + (−(−x)) = 0, e pelos axiomas (A2) e (A5)
temos que −x + (−(−x)) = −x + x, assim pela parte 1 desta proposição temos que
−(−x) = x.
Proposição 2.4.
Os axiomas de multiplicação implicam:
1. Se x ̸= 0 e xy = xz, então y = z.
2. Se x ̸= 0 e xy = x, então y = 1.
3. Se x ̸= 0 e xy = 1, então y = 1/x.
4. Se x ̸= 0, então 1
1
x
= x.
Demonstração. (Direta)
1. y
(M4)
= 1y
(M5)
= (
1
x
x)y
(M3)
=
1
x
(xy)
(Hip)
=
1
x
(xz)
(M3)
= (
1
x
x)z
(M5)
= 1z
(M4)
= z
Os itens restantes ficam como exerćıcios.
Proposição 2.5.
Seja F um corpo. Para x, y, z ∈ F são validas:
1. 0x = 0.
2. Se x ̸= 0 e y ̸= 0, então xy ̸= 0.
3. (−x)y = −(xy) = x(−y).
4. (−x)(−y) = xy.
Demonstração. 1. (Direta) 0x + 0x
(D)
= (0 + 0)x
(A4)
= 0x. Logo pela Proposição 2.3(2)
temos que 0x = 0.
2. (Absurdo) Suponha que xy = 0, como x ̸= 0 e y ̸= 0 então
1
(M5)
= (
1
x
x)(
1
y
y)
(M2)
=
1
x
1
y
xy
(Hip)
=
1
x
1
y
0
(1)
= 0.
Contradição. Logo xy ̸= 0.
Corpos Página 41
3. (Direta) xy + (−x)y
(D)
= (x + (−x))y
(A5)
= 0y
(1)
= 0. Logo pela Proposição 2.3(3) temos
que (−x)y = −xy. Analogamente,
xy + x(−y)
(M2)
= yx+ (−y)x
(D)
= (y + (−y))x
(A5)
= 0y
(1)
= 0.
Logo pela Proposição 2.3(3) temos que x(−y) = −xy.
4. (Direta) (−x)(−y)
(3)
= −[x(−y)]
(3)
= −[−(xy)], assim pela Proposição 2.3(4) temos que
(−x)(−y) = xy.
Definição 2.6. Um corpo ordenado é um corpo F que é ao mesmo tempo um conjunto
ordenado, tal que:
1. Se x, y, z ∈ F e y < z, então y + x < z + x.
2. Se x, y ∈ F , 0 < x e 0 < y, então 0 < xy.
Notação: Se F é um corpo ordenado e x ∈ F , dizemos que x é positivo se x > 0 e que x é
negativo se x < 0. Denotamos por F+ o conjunto de todos os elementos positivos do corpo.
Exemplo 27.
Mostre que Q é um corpo ordenado.
Solução. (Direta) Temos a relação de ordem em Q definida da seguinte forma
p < q ⇔ q − p ∈ Q+
Vamos mostrar que esta relação de ordem verifica as duas condições da Definição 2.6.
1. Dado p, q, r ∈ Q e p < q, assim temos
(q − p) ∈ Q+ ⇔ (q + r)− (p+ r) ∈ Q+ ⇔ p+ r < q + r.
2. Pegamos p > 0 e q > 0. Então p ∈ Q+ e q ∈ Q+. Logo pela definição de Q+, existem
m1,m2, n1, n2 ∈ N tal que p = m1/n1 e q = m2/n2. Assim,
pq =
m1
n1
m2
n2
∈ Q+ ⇔ 0 < pq.
■
Corpos Página 42
Proposição 2.6.
Seja F um corpo ordenado, verifica-se:
1. Se 0 < x então −x < 0 e vice-versa.
2. Se 0 < x e y < z então xy < xz.
3. Se x < 0 e y < z então xy > xz.
4. Se x ̸= 0 então 0 < x2. Em particular 1 > 0.
5. Se 0 < x < y, então 0 <
1
y
<
1
x
.
Demonstração. 1. Temos que 0 < x, pela Definição 2.6(1) segue que
0 + (−x) < x+ (−x) ⇒ −x < 0.
2. Desde que y < z, pela Definição 2.6(1) temos que y−y < z−y, logo 0 < z−y e 0 < x,
então pela Definição 2.6(2) temos que
0 < (z − y)x ⇒ 0 < zx− yx ⇒ yx < zx.
3. Exerćıcio.
4. Se x > 0 segue da Definição 2.6(2) que
xx > 0 ⇒ x2 > 0.
Se x < 0, então pela parte (1) desta proposição temos −x > 0 logo aplicando a
desigualdade anterior temos que
(−x)2 > 0 ⇒ x2 > 0
5. Sabemos que y > 0 e que se z < 0, então yz < 0. Assim, pelo axioma (M4) temos
que y(1/y) = 1 > 0, logo 1/y > 0. Da mesma forma temos que 1/x > 0. Logo pela
Definição 2.6(2) temos que (1/x)(1/y) > 0. Assim podemos usar a parte (2) deste
teorema e temos que
(
1
x
)(
1
y
)x < (
1
x
)(
1
y
)y ⇒ 1
y
<
1
x
.
O corpo dos números reais Página 43
2.3 O corpo dos números reais
Teorema 2.7.
Existe um corpo ordenado que tem a propriedade de menor limitante superior. Além
disso, este corpo contem Q como subcorpo.
Demonstração. Projeto 2.
Chamaremos tal corpo de corpo dos números reiais e denotaremos ele por R. O seguinte teo-
rema é um exemplo de como a propriedade de menor limitante superior implica propriedades
aritméticas nos números reais.
Teorema 2.8. 1. (Propriedade Arquimediana) Se x, y ∈ R e x > 0 então existe um
n ∈ N tal que
nx > y
2. (Q é denso em R) Se x, y ∈ R e x < y, então existe p ∈ Q tal que
x < p < y.
Demonstração.
1. (Absurdo) Definimos o conjunto
A = {nx : n ∈ N} .
Se (1) é falso, isto é,
nx ≤ y, ∀n ≥ 1,
então y é uma cota superior de A. Pelo principio de menor limitante superior temos
que existe
α = supA.
Desde que x > 0, então α− x < α e de donde temos que α− x não é cota superior de
A. Logo, existe um m ∈ N, tal que
α− x < mx ⇔ α < (m+ 1)x
o qual é uma contradição, desde que α é cota superior de A.
2. (Direta) Suponha que x > 0, logo y−x > 0 e assim também 1
y−x
> 0. Pela propriedade
arquimediana, existe n ∈ N tal que
n(y − x) > 1 ⇔ ny > nx+ 1. (2.2)
Logo usando este n, definimos o conjunto
B = {k ∈ N : k > nx} ⊆ N
O corpo dos números reais Página 44
nx nx+ 1 nym
1
Figura 2.2: m é o mı́nimo de A.
pela propriedade arquimediana temos que B ̸= ∅. Logo principio de bom ordem, B
tem um elemento mı́nimo m ∈ N, então
nx < m ⇔ x <
m
n
.
Desde que m é o menor elemento de B, então m − 1 /∈ B, ver Figura 2.2. Se m > 1,
então m − 1 ∈ N e m − 1 ≤ nx. Se m = 1, então m − 1 = 0 e ainda temos que
m− 1 ≤ nx. Portanto,
m− 1 ≤ nx ⇔ m ≤ nx+ 1.
Logo de (2.2) temos que m < ny e de onde temos que m
n
< y. Portanto,
x <
m
n
< y.
Se x < 0 e y > 0, então podemos escolher p = 0. Se y < 0, então 0 < −y < −x
e se reduz ao caso anterior, assim existe um p ∈ Q tal que −y < p < −x, portanto
x < −p < y.
Corolário 2.9.
inf
{
1
n
: n ∈ N
}
= 0.
Demonstração. Chamamos de
A =
{
1
n
: n ∈ N
}
Claramente 0 é cota inferior de A. Seja b uma cota inferior de A. Se b > 0, pela propriedade
arquimediana, existe um n0 ∈ N tal que
n0b > 1 ⇔ b >
1
n0
o que é uma contradição pois b é cota inferior de A. Logo se b é cota inferior então b ≤ 0.
Portanto 0 = inf A.
Definição 2.7. Seja A ⊂ R.
1. Se A = ∅, então supA = −∞ e inf A = +∞.
O corpo dos números reais Página 45
2. Se A não é limitado superiormente, então supA = +∞.
3. Se A não é limitado inferiormente, então inf A = −∞.
Agora podemos verificar que nos números reais R podemos resolver o problema da raiz que
temos em Q. Para isto precisamos do seguinte lema.
Lema 2.10. 1. Suponha que a e b são números reais positivos e que n ∈ N. Então
an > bn se, somente se a > b.
2. Suponha que 0 < ϵ < 1 e que n ∈ N. Então
(1− nϵ) ≤ (1− ϵ)n < (1 + ϵ)n ≤ 1 + (2n − 1)ϵ.
Demonstração. (Direta)
1. Desde que
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).
Desde que a e b são positivos, o segundo fator do produto é positivo. Assim, an−bn > 0
se, somente se a− b > 0.
2. A segunda desigualdade segue do primeiro item e da desigualdade 1 − ϵ < 1 + ϵ. A
primeira e terceira desigualdade vamos a provar usando indução sobre n. Claramente
para n = 1 estas desigualdades são verdadeiras. Suponha que para n seja verdade.
Então
(1− ϵ)n+1 = (1− ϵ)(1− ϵ)n
≥ (1− ϵ)(1− nϵ)
= 1− (n+ 1)ϵ+ nϵ2
> 1− (n+ 1)ϵ
e
(1 + ϵ)n+1 = (1 + ϵ)(1 + ϵ)n
≤ (1 + ϵ) (1 + (2n − 1)ϵϵ)
= 1 + (2n − 1)ϵ+ ϵ+ (2n − 1)ϵ2
< 1 + (2n+1 − 1)ϵ.
Assim, temos que
(1− nϵ) ≤ (1− ϵ)n e (1 + ϵ)n ≤ 1 + (2n − 1)ϵ ∀n ≥ 1.
Teorema 2.11.
Suponha que y é um número real positivo e que n ∈ N. Então existe um único número
real positivo s tal que sn = y.
O corpo dos números reais Página 46
Demonstração. (Direta) Seja
B =
{
x ∈ R+ : xn ≤ y
}
.
Primeiro, note que B ̸= ∅, pois se y ≤ 1, então
yn < y ⇒ y ∈ B.
No caso, y > 1 temos que 1 ∈ B. Assim, também o conjunto B é limitada superiormente,
isto pois, se y ≤ 1, então B é limitado superiormente por 1. Caso y > 1 então yn > y, assim
se x ∈ B, então xn < yn, usando o Lema 2.10 temos que x< y. Portanto B é limitada por
y. Assim B admite supremo e chamamos este de s = supB. Note que s ≥ y ou s ≥ 1, em
ambos os casos temos que s > 0.
Vamos mostrar que sn = y. Sabemos que existem três possibilidades:
ou sn < y ou sn > y ou sn = y.
Vamos provar que as duas primeiras desigualdades não podem acontecer, assim teremos
sn = y.
Suponha primeiro que sn < y, neste caso vamos provar que s não é cota superior, isto é,
vamos encontrar um q > s tal que qn < y. Assim, seja q = s+ ϵ onde 0 < ϵ (a ser definido)
e é tal que
qn = (s+ ϵ)n
seja menor que y. Usando o Lema 2.10 e supondo que ϵ < s, temos que
(s+ ϵ)n = sn
(
1 +
ϵ
s
)n
≤ sn
[
1 + (2n − 1)
ϵ
s
]
.
Com isto, para obter qn < y, basta ter
sn
[
1 + (2n − 1)
ϵ
s
]
< y ⇔ ϵ <
y − sn
sn−1(2n − 1)
,
logo, basta tomar
ϵ =
y − sn
sn−12n
⇒ s− ϵ =
sn(2n + 1)− y
sn−12n
>
sn − y
sn−12n
> 0.
De onde, temos que q > 0 e qn < y, logo q ∈ B e q > s o que resulta numa contradição.
Agora suponha que sn > y. Neste caso vamos mostrar que s não é a menor das cotas
inferiores, isto é vamos provar que existe um p < s tal que p é cota superior de B. Assim,
chamamos de p = s− ϵ com ϵ > 0 (a ser determinado) e tal que
pn = (s− ϵ)n
seja maior que y. Usando o Lema 2.10 e supondo que ϵ < s, temos que
(s− ϵ)n = sn
(
1− ϵ
s
)n
≥ sn
(
1− n
ϵ
s
)
.
Valor absoluto Página 47
Com isto, para obter pn > y, basta ter
sn
(
1− n
ϵ
s
)
> y ⇔ ϵ <
sn − y
nsn−1
logo, basta tomar
ϵ =
sn − y
(n+ 1)sn−1
⇒ s− sn − y
(n+ 1)sn−1
=
nsn + y
(n+ 1)sn−1
> 0
De onde, temos que p > 0 e além disso, para cada x ∈ B, segue do Lema 2.10 que
xn < y < pn ⇒ x < p
Assim, p é uma cota superior de B e p < s, gerando uma contradição. Segue da tricotomia
que s = yn.
Finalmente, caso exista um número real positivo t tal que tn = y, assim
tn = sn ⇔ tn − sn = 0 ⇔ (t− s)(tn−1 + tn−2s+ · · ·+ sn−1) = 0 ⇔ t = s.
2.4 Valor absoluto
Se x ∈ R, então definimos o valor absoluto ou modulo de x, denotado por |x|, da seguinte
forma
|x| =
{
x, se x ≥ 0,
−x, se x < 0.
Proposição 2.12.
O valor absoluto verifica:
1. |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔ x = 0.
2. | − x| = |x|, ∀x ∈ R.
3. |xy| = |x||y|, ∀x, y ∈ R.
4. |x|2 = x2, ∀x ∈ R.
5. |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y.
6. −|x| ≤ x ≤ |x|, ∀x ∈ R.
Demonstração. 1. A primeira parte segue diretamente da definição. Vamos com a se-
gunda.
(⇒) (Contra-positiva) Se x ̸= 0, então x > 0 ou x < 0. Caso x > 0, então |x| = x ̸= 0.
Assim mesmo, se x < 0, então |x| = −x ̸= 0.
(⇐) (Direta) Se x = 0, então |x| = |0| = 0.
Valor absoluto Página 48
2. (Direta) Suponha que x > 0, então | − x| = −(−x) = x = |x|. Caso x < 0, então
| − x| = −x = |x|. Finalmente, se x = 0, então é fácil ver que | − 0| = |0|.
3. (Direta) Se x ou y for zero, então |xy| = 0 = |x||y|. Se x > 0 e y > 0, então |xy| =
xy = |x||y|. Se x > 0 e y < 0, então |xy| = −xy = x(−y) = |x||y|. Analogamente, se
x < 0 e y > 0. Finalmente, se x < 0 e y < 0, então |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.
4. (Direta) Se x ≥ 0, então |x|2 = x2. Caso x < 0, então |x|2 = (−x)2 = x2.
5. (⇒) (Direta) Segue do item 1 que y ≥ 0. Se x ≥ 0, então pela hipótese temos x ≤ y,
de onde −y ≤ 0 ≤ x ≤ y. Se x < 0, então pela hipótese temos que −x ≤ y, de onde
y ≥ 0 ≥ x ≥ −y.
(⇐) (Direta) Suponha que −y ≤ x ≤ y seja verdade. Se x ≥ 0, então da hipótese
temos que x ≤ y e portanto |x| ≤ y. Se x < 0, então da hipótese temos que −y ≤ x,
assim y ≥ −x e portanto y ≥ |x|.
6. (Direta) Sabemos que |x| ≤ |x|,assim usando o item (5), temos que
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Proposição 2.13 (Desigualdade triangular).
|x+ y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R.
Demonstração. (Direta) Pela Proposição 2.12-(5) temos que
−|x| ≤ x ≤ |x| e −|y| ≤ y ≤ |y|
somando estas duas desigualdades temos que
−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y| ⇔ |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Corolário 2.14.
Para x, y ∈ R
1. | |x| − |y| | ≤ |x− y| (Desigualdade triangular reversa).
2. |x− y| ≤ |x|+ |y|.
Demonstração. (Direta)
Intervalos Página 49
1. Observe que
|x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x− y|.
De forma similar temos que
|y| = |y − x+ x| ≤ |y − x|+ |x| ⇒ |y| − |x| ≤ |y − x| ⇒ −|x− y| ≤ |x| − |y|.
Portanto temos que
−|x− y| ≤ |x| − |y| ≤ |x− y| ⇔ | |x| − |y| | ≤ |x− y|
2. |x− y| = |x+ (−y)| ≤ |x|+ | − y| = |x|+ |y|.
Corolário 2.15.
Sejam x1, x2, . . . , xn ∈ R. Então
|x1 + x2 + · · ·+ xn| ≤ |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.
Demonstração. Exerćıcio (Fazer por indução).
2.5 Intervalos
Definição 2.8. Um intervalo em R é um subconjunto I não vazio, o qual tem ao menos
dois números reais e verifica a seguinte propriedade, se s e t estão em I com s < t, então
qualquer número real x verificando s < x < t é também um elemento em I.
Para a, b ∈ R tal que a < b, é fácil ver que os seguintes conjuntos são intervalos.
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
]a, b[= {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
Todos estes intervalos são limitados desde que a, b ∈ R. Pode-se definir os intervalos ilimi-
tados
[a,+∞[= {x ∈ R : a ≤ x}
]a,+∞[= {x ∈ R : a < x}
]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
]−∞, b[= {x ∈ R : x < b}
]−∞,+∞[= R
De fato todo intervalo em R deve ter uma das formas acima. Vamos provar isto para
intervalos limitados.
Intervalos Página 50
Proposição 2.16.
Seja I é um intervalo limitado. Então existem números reais a e b tais que I =]a, b[,
]a, b], [a, b[ ou [a, b].
Demonstração. (Direta) Como I é limitado superiormente e inferiormente, então existem
a = inf I e b = sup I.
Note que a e b podem ou não pertencer a I. Para provar a proposição é suficiente mostrar
que para cada número real x, verificando a < x < b é um elemento em I. De fato, como
a < x, então x não é conta inferior de I, assim existe um s ∈ I tal que
a < s < x.
Assim mesmo, como x < b então x não é cota superior de I, logo existe t ∈ I tal que
x < t < b.
De onde, temos que s < x < t e como I é um intervalo, então x ∈ I. Com isto provamos
que ]a, b[⊆ I. O resultado segue de analisar, se a ∈ I ou b ∈ I ou não.
O caso de intervalos ilimitados vai ser deixado na lista de exerćıcios.
Teorema 2.17 (dos intervalos encaixantes).
Se ([an, bn])n∈N é uma sequência de intervalos encaixantes, i.e. [an, bn] ⊇ [an+1, bn+1]
para todo n ∈ N, então
+∞⋂
n=1
[an, bn] ̸= ∅.
Demonstração. (Direta) Seja A = {am : m ∈ N}. Desde que [an, bn] ⊇ [an+1, bn+1] obtemos
que an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn para todo n ∈ N. Mais ainda afirmamos que
am ≤ bn, ∀m,n ∈ N. (2.3)
Com efeito, caso existam k, r ∈ N tais que br < ak. De aqui temos que k ̸= r, pois ar < br.
Agora caso k > r, então temos que bk ≤ br < ak contradição. Caso r > k, então br < ak ≤ ar
contradição. Logo (2.3) é verdadeiro e este implica que cada bn é cota superior do conjunto
A, assim existe
α = supA
Agora vamos mostrar que α está na
⋂
[an, bn]. Desde que α é cota superior de A, então
an ≤ α para todo n ∈ N e desde que cada bm é cota superior de A, pela definição de supremo
temos que α ≤ bm. Como o m ∈ N é arbitrário, temos que
an ≤ α ≤ bn, ∀n ∈ N.
Exerćıcios Página 51
Teorema 2.18 (Cantor).
R não é enumerável.
Demonstração. (Direta) Vamos mostrar que não existe uma função sobrejetora f : N → R
e assim R não é enumerável. Seja f : N → R uma função qualquer. Seja I1 = [a1, d1] um
intervalo tal que f(1) ∩ [a1, d1] = ∅. Logo pegamos dois números b1 < c1 em ]a1, d1[ e assim
dividimos este intervalo em três sub-intervalos. com isto, verifica-se que
{f(2)} ∩ [a1, b1] = ∅ ou {f(2)} ∩ [b1, c1] = ∅ ou {f(2)} ∩ [c1, d1] = ∅.
Logo pegamos um dos sub-intervalos que verificam a condição e renomeamos ele como
I2 = [a2, b2] continuando com este processo indutivamente, conseguimos uma sequência de
intervalos fechados (In)n∈N tais que
In ⊇ In+1 e f(n) /∈ In.
Assim pelo Teorema 2.17 temos que existe um
α ∈
⋂
n∈N
In
então este verifica que α ∈ In para todo n ∈ N. O que implica que α /∈ Imf , logo f não é
sobrejetiva.
2.6 Exerćıcios
§ 2.1 Conjuntos Ordenados
1. Seja E é um subconjunto não vazio de um conjuntoordenado S.
(a) Suponha que α é uma cota inferior de E e β é uma cota superior de E. Prove
que α ≤ β.
(b) Prove que inf E ≤ supE.
2. Seja S um conjunto ordenado. Seja A ⊆ S é um subconjunto finito não vazio. Então
A é limitado. Alem disso, inf A existe e esta em A e supA existe e esta em A.(Dica:
Use indução)
3. Seja S é um conjunto ordenado. Seja B ⊆ S é limitado (superiormente e inferiormente).
Seja A ⊆ B é um subconjunto não vazio. Suponha que os ı́nfimos e supremos existem.
Mostre que
inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB
4. Seja S é um conjunto ordenado. Seja A ⊆ S e suponha que b é uma cota superior para
A. Se b ∈ A. Prove que b = supA.
Exerćıcios Página 52
5. Seja S é um conjunto ordenado e A é um subconjunto não vazio tal que supA existe.
Suponha que existe um B ⊆ A tal que para todo x ∈ A existe um y ∈ B tal que x ≤ y.
Mostre que supB existe e que supB = supA.
6. Seja S é um conjunto ordenado e B é um subconjunto não vazio tal que inf B existe.
Suponha que existe um C ⊆ B tal que para todo x ∈ B existe um y ∈ C tal que y ≤ x.
Mostre que inf B existe e que inf B = inf A.
7. Determine o sup e inf em Q de
(a)
{
1
n
+ (−1)n : n ∈ N
}
(b)
{
2 + 1
n!
x ∈ R− {0}
} (c)
{
(−1)n
n
: n ∈ N
}
(d)
{
n
n+1
: n ∈ N
}
8. Seja S um conjunto ordenado e seja C ⊂ S não-vazio e limitado superiormente. Se
supC /∈ C, então mostre que C contem um subconjunto infinito enumerável. Em
particular C é infinito.
9. Seja S um conjunto ordenado e sejam A,B ⊆ S subconjunto não-vazios. Se para
verifica-se que x ≤ y para todo x ∈ A e y ∈ B, então mostre que supA ≤ inf B.
10. Seja E e F são subconjuntos não vazios de um conjunto ordenado S.
(a) Prove que inf(E ∪ F ) = min {inf(E), inf(F )}.
(b) Prove que sup(E ∪ F ) = max {sup(E), sup(F )}.
§ 2.1 Corpos
1. Seja (F,+, .) um corpo e a ∈ F \ {0}. Defina a função n ∈ N→ an indutivamente por
(i) a1 = a e (ii) an+1 = a.an. Mostre que para todo a, b ∈ F \ {0} e todo n,m ∈ N:
(a) an+m = anam;
(b) (am)n = anm;
(c) (ab)n = anbn.
Dados a ∈ K\{0} e n ∈ N, define-se a0 = 1 e a−n = (an)−1. Mostre que as propriedades
acima também valem para n,m ∈ Z.
2. Seja x, y ∈ F , onde F é um campo ordenado. Suponha 0 < x < y, mostre que x2 < y2.
3. Seja F um corpo ordenado.
(a) Seja x, y ∈ F . Verifica-se x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0.
(b) Se a > b, então
a >
a+ b
2
> b.
Exerćıcios Página 53
(c) Seja x > 0 e y > 0. Mostre que
√
xy ≤ x+ y
2
Alem disso, a igualdade ocorre se, somente se, x = y
4. Se ab > 0, então temos que ou a > 0 e b > 0 ou a < 0 e b < 0.
5. Suponha que 0 < c < 1. Se n ∈ N então 0 < cn < c. Mas geralmente, se m,n ∈ N e
m ≥ n, então cm ≤ cn.
6. Seja S um subconjunto não-vazio e limitado superiormente de um corpo ordenado F .
(a) Prove que −S é limitado inferiormente.
(b) Prove que inf(−S) = − sup(S).
7. Dados A um subconjunto não vazio e limitado de corpo ordenado F . Prove que
(a) sup(x+ A) = x+ supA, para x ∈ F .
(b) inf(x+ A) = x+ inf A, para x ∈ F .
(c) sup(xA) = x supA, se x > 0.
(d) inf(xA) = x inf A, se x > 0.
(e) sup(xA) = x inf A, se x < 0.
(f) inf(xA) = x supA, se x < 0.
8. Seja S um subconjunto não vazio de um corpo ordenado F .
(a) Se S é limitado superiormente, prove que S tem um único supremo.
(b) Se S é limitado inferiormente, prove que S tem um único ı́nfimo.
9. (a) Suponha que a, b, v são elementos de um conjunto ordenado F e que a > v > b > 0.
Mostre que ab < v(a+ b− v).
(b) Suponha que a1, a2, . . . , ak são elementos positivos de um campo ordenado. Seja
v = (a1 + a2 + · · · + ak)/k. Use (a) e um argumento indutivo para mostrar que
vk ≥ a1a2 . . . ak.
10. Sejam A e B subconjuntos de um corpo F . Definimos
−A = {z ∈ F : z = −x, x ∈ A}
A+B = {z ∈ F : z = x+ y onde x ∈ A, y ∈ B}
A+B = {z ∈ F : z = xy onde x ∈ A, y ∈ B}
Seja (F,+, .,≤) um corpo ordenado. Seja F+ = {x ∈ F : x > 0} o conjunto dos posi-
tivos de F . Então F+ satisfaz:
(a) F+ + F+ ⊆ F+ e F+F+ ⊆ F+.
Exerćıcios Página 54
(b) F+ ∩ (−F+) = ∅ e F = F+ ∪ {0} ∪ (−F+)
Reciprocamente, mostre que, num corpo (F,+, .), dado um conjunto P satisfazendo as
propriedades acima, existe uma única relação de ordem ≤ em F que torna um corpo
ordenado e tal que P seja o conjunto dos positivos de (F,≤).
§ 2.3 O corpo dos números reais
1. Suponha que c > 1. Se n ∈ N, então cn ≥ c. Mais geralmente, se m,n ∈ N e m ≥ n,
então cm ≥ cn. (Dica: c = 1 + a com a > 0 e use a desigualdade de Bernoulli).
2. Prove por indução que se x ≥ 0, então
(1 + x)n ≥ 1 + nx+
n(n− 1)
2
x2.
Em particular,
(1 + x)n ≥ n(n− 1)
2
x2
3. Seja A ⊆ R, não vazio e limitado.
(a) Seja u ∈ R é uma cota superior de A. Prove que u = supA se, somente se para
cada número real ϵ > 0 existe um elemento x ∈ A tal que u− ϵ < x.
(b) Seja l ∈ R é uma cota inferior de A. Prove que l = inf A se, somente se para cada
número real ϵ > 0 existe um elemento y ∈ A tal que l + ϵ > y.
4. Sejam A e B dois subconjuntos limitado não vazios de R. Então
sup(A+B) = supA+ supB e inf(A+B) = inf A+ inf B
5. Sejam A e B dois subconjuntos limitado não vazios de R+ ∪ {0}. Então
sup(AB) = (supA)(supB) e inf(AB) = (inf A)(inf B).
6. Seja p ∈ R, p > 1. Considere o conjunto
A =
{
m
pn
: m ∈ Z e n ∈ N
}
Mostre que A é enumerável e denso em R. (Dica: (i) use a desigualdade de Bernoulli
para provar que para todo M > 0 existe um n ∈ N tal que pn > M . Ou, equivalente-
mente, para todo ϵ > 0 existe n ∈ N tal que 1/pn < ϵ. (ii) Sejam a < b aplique o item
anterior para ϵ = b− a para mostrar que existe algum número da forma m/pn entre a
e b).
7. Seja A é um conjunto não vazio, limitado e seja r ∈ R tal que x − y < r para todo
x, y ∈ A. Mostre que supA− inf A ≤ r.
Exerćıcios Página 55
8. (Desiguladade de Hölder) Dois números reais p > 1 e q > 1 são chamados de exponentes
conjugados, se
1
p
+
1
q
= 1
Mostre que para todo x, y ∈ R+ e para exponentes conjugados p e q, a seguinte desi-
gualdade é verdadeira
xy ≤ xp
p
+
yq
q
.
9. Sejam f, g : A ⊆ R→ R limitada e tais que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A. Prove:
(a) sup {f(x) : x ∈ A} ≤ sup {g(x) : x ∈ A};
(b) inf {f(x) : x ∈ A} ≤ inf {g(x) : x ∈ A};
(c) sup {−f(x) : x ∈ A} = − inf {f(x) : x ∈ A};
(d) inf {−f(x) : x ∈ A} = − sup {f(x) : x ∈ A};
10. Seja X e Y são subconjuntos de R e suponha que f : X → Y é uma função que
preserva ordem (isto é, se x < y implica que f(x) < f(y)).
(a) Prove que f é injetiva.
(b) Suponha que f é bijetiva. Prove que f−1 também preserva ordem.
(c) Dizemos que um subconjunto X ⊂ R é limitado se este é limitado superiormente
e inferiormente. Encontre um exemplo de conjunto limitado X ⊂ R, um conjunto
ilimitado Y e uma bijeção preservando ordem f : X → Y.
11. Definamos o conjunto
Q(t) =
{
p(t)
q(t)
: p(t) e q(t) são polinômio com coefficientes Q e q(t) é não nulo
}
Seja P o subconjunto deQ(t) consistente de todos os quocientes p/q tal que o coeficiente
da maior potencia de t no produto p(t)q(t) é um número racional positivo. Mostre que
este conjunto P forma a classe dos positivos em Q(t). Logo Q(t) é um corpo ordenado,
mas não arquimediano.
§ 2.4 Valor absoluto
1. Se a ≤ x ≤ b, então |x| ≤ max{|a|, |b|}.
2. Se x, y, z ∈ R, então
(a) |x| = max {x,−x}; (b) |x− y| ≤ |x− z|+ |z − y|
3. Sejam x, y ∈ R e mostre que
Exerćıcios Página 56
(a) max {x, y} =
x+ y + |x− y|
2
(b) min {x, y} =
x+ y − |x− y|
2
4. Se 0 ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ b, então |x−y| ≤ b. Mais geralmente, se a ≤ x ≤ b e a ≤ y ≤ b,
então |x− y| ≤ b− a.
5. (a) Prove que x = 0 se, somente se |x| < ϵ para todo ϵ > 0.
(b) Suponha que x < y + ϵ para todo ϵ > 0. Prove que x ≤ y.
(c) Mostre que |x− a| < ϵ se, somente se, a− ϵ < x < a+ ϵ.
(d) Mostre que se |a− b| < ϵ, então |a| < |b|+ ϵ.
6. Prove que para todo x, y ∈ R (Lei do paralelogramo).
|x+ y|2 + |x− y|2 = 2|x|2 + 2|y|2
7. Sejam a1, . . . , an são números reais com n ≥ 2. Prove que
|a1 + . . . an| ≥ |a1| − (|a2|+ · · ·+ |an|) .
8. Suponha que a, b, x, y ∈ R com |x− a| < ϵ e |y − b| < ϵ para algum ϵ > 0. Mostre que
|xy