Portfólio 04

Prévia do material em texto

Portfólio 04 – Introd. a Analise. 
 
2. Prove que se lim nx a= e lim( ) 0n nx y− = então lim ny a= 
Resolução: 
Usando a propriedade da soma de limites. 
Se lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 𝑒 lim
𝑛→∞
(𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0, então: 
lim
𝑛→∞
(𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 
 
Dado 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑛→∞
(𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0 e lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎, podemos substituir esses valores na equação acima: 
0 = 𝑎 − lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 
somando lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 em ambos os lados da equação, obtemos: 
lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑎 
Portanto, isso prova que se lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 𝑒 lim
𝑛→∞
(𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0, então lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑎. 
 
7. Diz-se que 
( )nx
 é uma sequência de Cauchy quando, para todo 0  dado, existe 0n N tal 
que 0, n mm n n x x   −  . 
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada. 
Resolução: 
 
Dada uma sequência de Cauchy(𝑥𝑛), onde para todo 𝜀 > 0 dado, existe 𝑛0 ∈ 𝑁 tal que 
𝑚, 𝑛 > 𝑛0 ⇒ |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| < 𝜀. 
 
Se 𝜀 = 1. 
Isso implica que existe 𝑛0 tal que, para todo 𝑚, 𝑛 > 𝑛0, |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| < 1. 
 
Então, para 𝑛 > 𝑛0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛0+1| < 1. 
Isso significa que todos os termos da sequência 𝑥𝑛 estão contidos em uma "faixa" em 
torno de 𝑥𝑛0+1. 
 
Portanto, podemos concluir que a sequência é limitada entre 𝑥𝑛0+1 − 1 e 𝑥𝑛0+1. 
Essa conclusão é válida porque todos os termos da sequência estão contidos nessa 
"faixa". 
Assim, toda sequência de Cauchy é de fato limitada. 
 
 
9. Dado 0a  , defina indutivamente a sequência ( )nx pondo 1x a= e 1n nx a x+ = + . Prove 
que ( )nx é convergente e calcule seu limite 
...L a a a= + + + . 
 
 
Resolução: 
 
1. Monotonicidade: Provar que 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 para todo n. 
 
 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 = √𝑎 + 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 > 0 
 
 Portanto, 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 para todo n, logo a sequência é crescente. 
 
2. Limitação superior: Provar que 𝑥𝑛 < 𝐿 para todo n. 
 
 𝐿2 = 𝑎 + 𝐿 
 𝐿2 − 𝐿 − 𝑎 = 0 
 𝐿 =
1+√1+4𝑎
2
 
 
Assim, 𝑥𝑛 < 𝐿 para todo n, logo a sequência é limitada superiormente por L. 
 
3. Convergência: Como a sequência é crescente e limitada superiormente por L, ela 
converge. 
 
Portanto, o limite da sequência 𝑥𝑛 é 𝐿 =
1+√1+4𝑎
2
. 
 
 
12. Sejam ( )nx e ( )ny sequências limitadas. Ponhamos liminf na x= , limsup nA x= , 
liminf nb y= e limsup nB y= . Prove que 
a) limsup( )n nx y A B+  + 
Resolução: 
 
Usando a definição de limite superior e propriedades de sequências limitadas, para provar que 
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵. 
Dado que 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛 𝑓 𝑥𝑛 , 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝 𝑥𝑛 , 𝑏 = 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛 𝑓 𝑦𝑛 , 𝑒 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝 𝑦𝑛, t emos: 
 
Para qualquer 𝜖 > 0, existem índices n tais que 𝑥𝑛 > 𝑎 − 𝜖 e 𝑦𝑛 > 𝑏 − 𝜖 para infinitos termos. 
Como 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 são sequências limitadas, existe 𝑀 > 0 tal que |𝑥𝑛| ≤ 𝑀 e |𝑦𝑛| ≤ 𝑀 para todo n. 
 
Escrevendo: 
 
[𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 > (𝑎 − 𝜖) + (𝑏 − 𝜖) 
= 𝑎 + 𝑏 − 2𝜖 
 
Portanto, para todo n, 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 > 𝑎 + 𝑏 − 2𝜖. 
Tomando o limite superior de ambos os lados, obtemos: 
 
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≥ 𝑎 + 𝑏 − 2 
 
Como essa desigualdade vale para todo 𝜖 > 0, então: 
 
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≥ 𝑎 + 𝑏 
 
Que é equivalente a: 
 
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵 
 
Portanto, concluímos que 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵.