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Prova – Rafael Henrique Ribeiro de Oliveira A) RESPOTA: Ao longo do eixo x, temos y = 0, então o limite se torna: Ao longo do eixo y, temos x = 0, então o limite se torna: Como os limites ao longo do eixo x e do eixo y são iguais a 0, podemos suspeitar que o limite existe e é igual a 0. Para confirmar isso, podemos tentar uma abordagem polar, substituindo: o limite não depende de r, então podemos simplesmente avaliá-lo em r = 0: Portanto, o limite existe e é igual a 0. B) RESPOSTA: Abordarndo o ponto (0,0) ao longo da reta y = mx. Substituindo y por mx na função, temos: Aplicando a regra de L'Hôpital para obter: Agora, abordando o ponto (0,0) ao longo da reta x = y. Substituindo y por x na função, temos: Como os limites ao longo de diferentes trajetórias são diferentes, podemos concluir que o limite não existe. Utilizando a fórmula: Onde é o gradiente da função g(x,y,z) e . representa o produto escalar. Calculando o gradiente de g(x,y,z), temos: Substituindo os valores do ponto e do vetor, temos: Portanto, a derivada direcional da função g(x,y,z) no ponto (-2,1,1) na direção do vetor V = i -2j - 3k é igual a 4e. Calculando as derivadas parciais em relação a (x) e (y): podemos usar essas derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente. A equação do plano tangente em um ponto : Portanto, a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto pode ser escrita como . Dado o campo vetorial Para determinar se o campo vetorial é conservativo, podemos calcular suas derivadas parciais cruzadas. Se o campo for conservativo, então suas derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. calculando suas derivadas parciais: Como as derivadas parciais cruzadas não são iguais, logo o campo vetorial não é conservativo. Portanto, não é possível determinar uma função (f) tal que para o campo vetorial dado.
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