Aula 4 - Aproximação Inicial, Bolzano-ateAnaliseMatematica - REMOTA

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Zero de Funções - Aulas remotas
23.03.2020
Prof. João Paulo
AGENDA
Zero de Funções
• Métodos Gráficos para Localização de 
Raízes
i. Gráfico de f(x) através da análise 
matemática
ii. Decomposição em funções g(x)=h(x)
iii. Método de Laguerre
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Introdução
• Podemos resolver f(x) = 0 por dois caminhos distintos
– Métodos diretos
• Métodos analíticos
• Numero finito de operações
• Processos particulares
– Cada tipo de função deve possuir seu próprio caminho para a 
solução 
– Métodos iterativos
• Partem de uma aproximação inicial da solução
• A cada iteração, uma nova aproximação é gerada
– Até que uma solução satisfatória seja encontrada
Introdução
• Para algumas equações, como as polinômiais de grau 2 
existem fórmulas diretas para se encontrar as raízes 
– Métodos diretos!
• No entanto em polinômios de grau mais alto e no caso 
de funções mais complicadas essa tarefa não é trivial
– Métodos iterativos!
– Uso de aproximações
– Precisão prefixada
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Introdução
• Idéia central de métodos numéricos baseados em 
aproximações para encontrar zeros de funções:
1. Localização ou isolamento das raízes
• Obtenção de um intervalo contendo a raíz
2. Refinamento 
• Melhorar a aproximação inicial do intervalo até 
que seja obtida a precisão prefixada
Aproximação Inicial
• Graficamente, os zeros reais são representados 
pelas abcissas dos pontos onde uma curva 
intercepta o eixo x
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Aproximação Inicial
• Análise teórica e gráfica da função f(x)
• Sucesso da fase de refinamento depende do 
resultado dessa fase
• Teorema de Bolzano:
– Seja f(x) uma função continua no intervalo [a,b]
– Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um 
ponto x = � entre a e b que é zero de f(x)
Aproximação Inicial
• Graficamente
– Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um 
ponto x = � entre a e b que é zero de f(x)
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Aproximação Inicial
• Graficamente
– Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um 
ponto x = � entre a e b que é zero de f(x)
Não significa que 
exista 
exatamente uma 
raíz !
Aproximação Inicial
• Graficamente
– Se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), então 
esse intervalo contém um único zero de f(x)
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Aproximação Inicial
• Conclusão:
– Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um 
ponto x = � entre a e b que é zero de f(x)
– Se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), 
então esse intervalo contém um único zero 
de f(x)
• Intervalo de separação!
– Além disso, f deve ser contínua no intervalo 
[a;b]
Aproximação Inicial
• Conclusão:
– Uma forma de isolar as raízes de 
f(x) é tabelar f(x) para diversos 
valores de x e analisar as 
mudanças de sinal de f(x) e o 
sinal da derivada nos intervalos 
em que f(x) mudou de sinal
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Análise matemática para analisar o 
gráfico de f(x)
• Uma das alternativas para facilitar a elaboração 
do gráfico de f(x) é realizar uma análise 
matemática através do estudo de:
– Domínio de f(x);
– Comportamento de f(x) nas extremidades de 
seu domínio;
– Identificar Pontos de Máximo e Mínimo
Exercício 1
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
Gráfico no 
Geogebra
Exercício 1 (Cont.)
• Localizar as raízes da equação x3-3x2+1=0.
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Exercício 2
• Localizar as raízes da equação x.lnx -3=0.
Exercício 2
• Localizar as raízes da equação x.lnx -3=0.
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Exercício 2
• Localizar as raízes da equação x.lnx -3=0.
Exercício 2
• Localizar as raízes da equação x.lnx -3=0.
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Exercício 2
• Localizar as raízes da equação x.lnx -3=0.
No Geogebra
Exercícios Propostos
• Localizar as raízes das seguintes equações:
a) f(x)=x3-9x+3
b) f(x)= x.log(x)-1
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