Aula 7 -PontoFixo-NewtonRaphson - REMOTA

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Zero de Funções - Aulas remotas
17.04.2020
Prof. João Paulo
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AGENDA
Zero de Funções
• Métodos para refinamento das raízes:
i. Bisseção ou Dicotomia
ii. Cordas ou Falsa Posição
iii. Ponto Fixo ou Iteração Linear
iv. Newton-Raphson ou Tangentes
v. Secantes
AGENDA
Zero de Funções
• Métodos para refinamento das raízes:
i. Bisseção ou Dicotomia
ii. Cordas ou Falsa Posição
iii. Ponto Fixo ou Iteração Linear
iv. Newton-Raphson ou Tangentes
v. Secantes
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MÉTODO DO PONTO-FIXO
OU ITERATIVO LINEAR
Método Iterativo Linear
• Ideia básica (métodos de ponto fixo):
– Transformar o problema de encontrar uma raíz da equação 
• f(x) = 0 (�)
– No problema de resolver a equação
• � � = � (��)
– que deve possuir as mesmas soluções que a anterior
– � -> máquina geradora da sequência {��} de aproximações da raíz 
procurada
– Temos o seguinte processo iterativo: 
• ���� = � �� , � = �, �, � …
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Método Iterativo Linear
• Convergência:
– Uma função de iteração deve satisfazer a condição 
� � = � ↔ � � = �
– Dada uma equação � � = 0 podemos definir 
diversas funções de iteração:
• Nem todas elas serão úteis;
• Existem certas condições para garantir a 
convergência com uma certa função de iteração.
Método Iterativo Linear
• Exemplo de Não-Convergência:
– Considerando a equação �� + � − 6 (que possui -3 e 2 como raízes ), vemos abaixo a 
aplicação da máquina geradora � � = � − ��, tomando �� = 1.5:
– Como podemos observar, {��} não está convergindo para a raíz � = �.
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Método Iterativo Linear
• Exemplo de Convergência:
– Considerando ainda a equação �� + � − 6 (que possui -3 e 2 como raízes ), vemos 
abaixo a aplicação da máquina geradora �(�)= � − � tomando �� = 1.5:
– Como podemos observar, {��} está convergindo para a raíz � = �.
Método Iterativo Linear
• Critérios de Convergência:
– Seja � um zero real da função �, � um intervalo de separação de �
centrado em � e � uma função de iteração para � � = 0.
– Se
1. .� e �´ forem contínuas em I;
2. . �� � ≤ � < �, ∀ x ∈ I;
3. .�� ∈ �
• Então a sequência {��} gerada por ���� = � �� , � = 0,1,2 …
converge para �.
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Método Iterativo Linear
• Analisando condições de convergência dos exemplos anteriores:
1. � � = 6 − ��
 �′ � = −2�
 � � � = 6 − �� �ã� ����í���� �� �
 ��(�) < � ↔ −�� < � ↔ −
�
�
< � <
�
�
– Não existe um intervalo I centrado em 2, tal que ��(�) < �
ou basta testar as raízes na condição, ou seja:
• ��(�) = −�. � = � > � e ��(−�) = −�. (−�) =
� > �
– Condições de convergência não satisfeitas!
Método Iterativo Linear
2. � � = 6 − �
 ��(�) =
��
� ���
 � � é contínua em � = {� ∈ �|� ≤ �}
 �′ � é contínua em � = {� ∈ �|� < �}
– ��(�) < � ↔
�
� ���
< � ↔ � < �. �� ou basta testar as raízes na 
condição, ou seja:
• ��(�) =
�
� ���
=
�
� �
=
�
�.�
=
�
�
= �, �� < �
• ��(−�) =
�
� ��(��)
=
�
� �
=
�
�.�
=
�
�
≈ �, �� < �
– Condições de convergência satisfeitas!
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Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: Calcular a raiz de � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 , FIX=7 e sabendo que � ∈ I(0;1). Antes de iniciar os
cálculos da raíz aproximada, garanta que o � � escolhido satisfaz 
o Teorema da convergência.
• Exemplo 2: Calcular a raiz de � � = ���� + ��� + �, com 
precisão de 10-2 , FIX=5 e sabendo que � ∈ I(0;1). Antes de iniciar
os cálculos da raíz aproximada, garanta que o � � escolhido 
satisfaz o Teorema da convergência.
Exemplo 1 - � � = �� − 9� + 3
• Analisando condições de convergência para diferentes possibilidades de � � :
• �� � :
 � � = �� − 9� + 3 -> �� − 9� + 3 = 0 -> −9� = −�� − 3
dividindo por -9 ambos os lados, teremos: � =
��
�
+ 
�
�
, logo �1 � =
��
�
+ 
�
�
 �′1 � =
���
�
=
��
�
 �1 � e �′1 � são contínuas em R
– Testando um ponto dentro do intervalo, podemos considerar x0=0,5, ponto 
central do intervalo I=[0;1], logo �′1(�, �) =
�,��
�
=
�,��
�
= �, �� < �
– Condições de convergência satisfeitas! Logo �1 � é a função de interação 
que deverá ser usada na máquina geradora.
�������: ���� = � ��
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Exemplo 1 - � � = �� − 9� + 3
• Analisando condições de convergência para diferentes possibilidades de � � :
• �� � :
 � � = �� − 9� + 3 -> �� − 9� + 3 = 0 -> �� = 9� − 3
Extraindo a raiz cúbica, teremos: � = 9� − 3
�
, logo �2 � = 9� − 3
�
 �′2 � =
�
(����)�� (Usar a regra da cadeia)
 �2 � é contínua em R
 ��
2 � é contínua em R, com exceção do ponto x=1/3.
– Testando um ponto dentro do intervalo, podemos considerar x0=0,5, ponto central 
do intervalo I=[0;1], logo �′2(�, �) =
�
(�.�,���)�� =
�
(�,���)�� =
�
�,��� =
�, �� > �
– Condições de convergência não-satisfeitas! Logo �2 �
não é a função de interação que deverá ser usada na 
máquina geradora.
�������: ���� = � ��
Resolução da derivada
Regra da cadeia
Onde: u=9x-3
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Exemplo 1 - � � = �� − 9� + 3
• Usando uma possibilidade de � � quando a função de iteração não foi encontrada apenas 
isolando-se os diferentes “X’s” na função:
• �� � : Usando um Artifício
 � � = �� − 9� + 3 -> �� − 9� + 3 = 0 ; inverter os lados e:
 Basta somar “x” nos 2 lados da equação, teremos: � = �� − 9� + 3 + � 
-> � = �� − 8� + 3 , logo �3 � = �� − 8� + 3 
 �′3 � = 3�� − 8
 �3 � e ��
3 � são contínuas em R
– Testando um ponto dentro do intervalo, podemos considerar x0=0,5, ponto central 
do intervalo I=[0;1], logo �′3(�, �) = 3.0,5� − 8 = 3.0,25 − 8 = 0,75 − 8 =
= −�, �� = �, �� > �
– Condições de convergência não-satisfeitas! Logo �3 � não é a função de interação 
que deverá ser usada na máquina geradora.
�������: ���� = � ��
Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 e FIX=7 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
�� � =
��
�
�
�
�� � =
��
�
+ 
�
�
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Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 e FIX=7 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
0,5000000 0,3472222 -0,0831378 0,1527778I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
�� � =
��
�
�
�
�� � =
��
�
+ 
�
�
Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 e FIX=7 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
0,5000000 0,3472222 -0,0831378 0,1527778
0,3472222 0,3379847 -0,0032530 0,0092375
I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
�� � =
��
�
�
�
�� � =
��
�
+ 
�
�
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Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 e FIX=7 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
0,5000000 0,3472222 -0,0831378 0,1527778
0,3472222 0,3379847 -0,0032530 0,0092375
0,3379847 0,3376232 -0,0001237 0,0003614
I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
�� � =
��
�
�
�
�� � =
��
�
+ 
�
�
Método Iterativo Linear
• Exemplo 1: � � = �� − 9� + 3, com precisão 
de 5.10-4 e FIX=7 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
0,5000000 0,3472222 -0,0831378 0,1527778
0,3472222 0,3379847 -0,0032530 0,0092375
0,3379847 0,3376232 -0,0001237 0,0003614
<0,0005 (STOP!)
I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
�� � =
��
�
�
�
�� � =
��
�
+ 
�
� �� = 0,3376232 ± 0,0003614
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Método Iterativo Linear
• Exemplo 2: � � = ���� + ��� + �, com 
precisão de 10-2 e FIX=5 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução: �� i �� i+1 F(��) Precisão
I=[a;b]
I=[0;1]
X0=0,5
� � =� � = ?
�� = ? ± ? 
Método Iterativo Linear
• Exemplo 2: � � = ���� + ��� + �, com 
precisão de 10-2 e FIX=5 . ���� = � �� , � = �, �, � …
• Solução:
�� i �� i+1 F(��) Precisão
0,50000 0,25219 -0,15701 0,24781
0,25219 0,29507 0,03131 0,04288
0,29507 0,28598-0,00647 0,00909
<0,01 (STOP!)
I=[0;1]
X0=0,5
� � =� � = e(-cos(x) –x)
�� = 0,28598 ± 0,00909 �′ � = (���� − �)�′ � = (���� − �) e(-cos(x) –x)
�′ �, � = �, ����� < � , ���� � � ��������.�′ �, � = �, ����� < � , ���� � � ��������.
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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
OU TANGENTES
Método de Newton-Raphson
• Nem sempre é simples determinar uma função de iteração que 
satisfaça as condições do Método Iterativo Linear.
I. � e �´ forem contínuas em I;
II. . �� � ≤ � < �, ∀ x ∈ I;
III. .�� ∈ �
• Tentativa de garantir a convergência
• Ideia do método de Newton:
– Construir uma função de iteração �, tal que �′ � = 0
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Método de Newton-Raphson
Partindo da forma geral:
 � � = � + � � � � , � � � �′(�) ≠ 0, ∀� ∈ �
 ��(�) = 1 + � � �� � + �� � . �(�)
Impondo que �� � = 0, e sabendo que � � = 0, já que � é a raiz procurada, 
temos que:
 � � = −
�
�� �
Retornando à forma geral, teremos que:
 � � = � −
�(�)
�´(�)
O que nos leva ao seguinte processo iterativo:
 � �� = ���� = �� −
�(��)
�´(��)
= A – B/C na calculadora.
Método de Newton-Raphson
• Convergência do Método:
– Caso �� ∈ �, a sequência {��} gerada pelo 
processo iterativo ���� = �� −
�(��)
�´(��)
converge para a raíz
– Em geral, afirma-se que o método de 
Newton converge desde que �� seja 
escolhido “suficientemente próximo” da 
raíz
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Método de Newton-Raphson
• Interpretação geométrica
���� ��
�
�
�
��� =
�(��)
(�� − ����)�
���� = �� −
�(��)
�′(��)�
�´(��) =
�(��)
(�� − ����)�
�� − ���� =
�(��)
�´(��)�
�(��)
�(����)
Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: Calcular a raiz de � � = �. ��� − 3, com 
precisão de 0,05 , FIX=5 e sabendo que � ∈ I(2;3). Antes 
de iniciar os cálculos da raíz aproximada, determine o x0
que mais se aproxima da raiz.
• Exemplo 2: Calcular a raiz de � � = �� − 4�� + 2, com 
precisão de 10-2 , FIX=5 e sabendo que � ∈ I(3;4). Antes 
de iniciar os cálculos da raíz aproximada, determine o x0
que mais se aproxima da raiz.
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Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão de 
0,05. Usar Fix = 5.
• Solução:
• F’(x)=x.(lnx)’+x’.lnx= x. (1/x)+1.lnx= 1+lnx
• Analisando o módulo das derivadas em cada lado do intervalo, temos: 
– |F’(2)|= 1+ln2 = 1,69315
– |F’(3)|= 1+ln3 = 2,09861
Como |F’(3)|>|F’(2)|, logo o ponto inicial da raiz será x0 = 3.
Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão 
de 0,05. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
F’(x)= 1+lnx
X0=3
���� = A – B/C
A B C D (D-A)
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Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão 
de 0,05. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
1 3,00000 0,29584 2,09861 2,85903 0,14097
F’(x)= 1+lnx
X0=3
���� = A – B/C
A B C D (D-A)
Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão 
de 0,05. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
1 3,00000 0,29584 2,09861 2,85903 0,14097
F’(x)= 1+lnx
X0=3
���� = A – B/C
A B C D -> A (D-A)
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Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão 
de 0,05. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
1 3,00000 0,29584 2,09861 2,85903 0,14097
2 2,85903 0,00336 2,05048 2,85739 0,00164F’(x)= 1+lnx
X0=3
���� = A – B/C
A B C D (D-A)
Método de Newton-Raphson
• Exemplo 1: � � = �. ��� − � , com precisão 
de 0,05. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
1 3,00000 0,29584 2,09861 2,85903 0,14097
2 2,85903 0,00336 2,05048 2,85739 0,00164
<0,05 (STOP!)
F’(x)= 1+lnx
X0=3
���� = A – B/C
�� = 2,85739 ± 0,00164 
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Método de Newton-Raphson
• Exemplo 2: � � = �� − ��� + �, com precisão de 
0,01. Usar Fix = 5.
• Solução:
• F’(x)=3x2-8x
• Analisando o módulo das derivadas em cada lado do intervalo, temos: 
– |F’(3)|= 3. (3)2-8.3 = 27-24 = 3
– |F’(4)|= 3. (4)2-8.4 = 48-32 = 16
Como |F’(4)|>|F’(3)|, logo o ponto inicial da raiz será x0 = 4.
Método de Newton-Raphson
• Exemplo 2: � � = �� − ��� + �, com precisão 
de 0,01. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
F’(x)= 3x2-8x
X0=4
���� = A – B/C
�� = ? ± ?
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Método de Newton-Raphson
• Exemplo 2: � � = �� − ��� + �, com precisão 
de 0,01. Usar Fix = 5.
• Solução: Iteração ��i F(xi) F’(xi) ��i+1 Precisão
1 4,00000 2,00000 16,00000 3,87500 0,12500
2 3,87500 0,12305 14,04688 3,86624 0,00876
<0,01 (STOP!)
F’(x)= 3x2-8x
X0=4
���� = A – B/C
�� = 3,86624 ± 0,00876
Exercícios – Método do Ponto Fixo
1. Calcular a raiz de �(�)=�3−�-1, com precisão de 10-3, 
FIX=6 e sabendo que �∈I(1;2). Antes de iniciar os 
cálculos da raíz aproximada, garanta que o �(�) 
escolhido satisfaz o Teorema da convergência.
2. Calcular a raiz de �(�)=x2-senx, com precisão de 10-3, 
FIX=5. Considere x0=0,9. Antes de iniciar os cálculos da 
raíz aproximada, garanta que o �(�) escolhido satisfaz 
o Teorema da convergência.
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Exercícios – Método de Newton-Raphson
1. Calcular a raiz de � � = �� − 9� + 3, com precisão de 0,01 , 
FIX=5 e sabendo que �∈I(0;1). Antes de iniciar os cálculos da raíz 
aproximada, determine o x0 que mais se aproxima da raiz.
2. O aquecimento de uma caldeira obedece a equação 
T= ln(t+1) + 5t. Como engenheiro, você precisaria saber em quanto 
tempo (t) ela atingirá a temperatura T=300 de forma que você tenha 
tempo hábil de posicionar um equipamento no local antes que esta 
temperatura limite seja atingida. Utilizar a precisão de 10-2 e FIX=5, 
sabendo que �∈I(5;6). Antes de iniciar os cálculos da raíz 
aproximada, determine o x0 que mais se aproxima da raiz.
Dúvidas e Sugestões 
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Referências
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