Aula 11 - Interpolação - REMOTA

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22/05/2020
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Interpolação Polinomial - Aulas remotas
22.05.2020
Prof. João Paulo
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AGENDA
Interpolação Polinomial:
• Quadrática;
• Lagrange;
• Newton
Introdução
• Para uma dada função determinada pelos pontos da tabela 
abaixo:
– Interpolar consiste em aproximar a função “f” por outra 
função “g”, satisfazendo as condições f(xi) ≈ g(xi), para 
todo i=0,1,2,...,n.
– A função “g” é chamada “função interpoladora”
Xi X0 X1 X2 ... Xn
F(Xi) F(X0) F(X1) F(X2) ... F(Xn)
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Interpolação Polinomial
• A Interpolação Polinomial tem como função interpoladora 
um polinômio de grau ≤ n, denominando polinômio 
interpolador.
• Pn(x) = a0 + a1x +a2x2 + ... + anxn
– Esse Polinômio é resolvido através da resolução do SL:
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
QUADRÁTICA
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Interpolação Polinomial Quadrática
• A Interpolação Polinomial tem como função interpoladora 
um polinômio de grau = 2.
• P2(x) = a0 + a1x +a2x2
• Para determinar os coeficientes a0, a1 e a2, basta resolver o 
sistema:
Interpolação Polinomial Quadrática
• Exemplo 1: Dada a tabela abaixo, determine o polinômio
interpolador.
X -1 0 1,5
F(X) 14,5 7,5 4,5
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Interpolação Polinomial Quadrática
• SOLUÇÃO:
• Temos que escrever o Sistema de equações, onde:
• Logo: a0+a1x0+a2x0
2 = 14,5
a0+a1x1+a2x1
2 = 7,5
a0+a1x2+a2x2
2 = 4,5
a0+a1.(-1)+a2.(-1)2 = 14,5
a0+a1.(0)+a2.(0)2= 7,5
a0+a1.(1,5)+a2.(1,5)2= 4,5
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
a0 - a1+ a2 = 14,5
a0 = 7,5
a0+ 1,5 a1+ 2,25a2 = 4,5
Interpolação Polinomial Quadrática
• SOLUÇÃO:
• Logo, temos que encontrar o a1 e a2:
• Logo: 7,5 - a1+ a2 = 14,5
7,5 + 1,5 a1+ 2,25a2 = 4,5
- a1+ a2 = 7
1,5 a1+ 2,25a2 = -3
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
a1= a2 – 7 (I)
1,5 a1+ 2,25a2 = -3 (II)
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Interpolação Polinomial Quadrática
• SOLUÇÃO:
• Substituindo (I) em (II), temos:
Logo: 1,5 a1+ 2,25a2 = -3
1,5 . (a2-7) + 2,25a2 = -3
1,5a2 - 10,5 + 2,25a2 = -3
3,75a2 = 7,5
a2 = 2
• Portanto: a1= 2 – 7 -> a1= -5
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
Logo, o polinômio será:
P2(x)=a0+a1x+a2x2
P2(x)=7,5-5x+2x2
P2(x)=2x2-5x+7,5
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE 
LAGRANGE
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Interpolação Polinomial de Lagrange
• A Interpolação Polinomial de Lagrange tem como objetivo 
reduzir o mal condicionamento quando utilizada a resolução 
de Sistemas Lineares com grau elevado.
• A diminuição desta instabilidade pode ser obtida através de 
uma forma para polinômios de modo que o SL gerado tenha 
como matriz de coeficientes (A) uma matriz diagonal unitária.
• Polinômios que satisfazem esta condição são os Polinômios de 
Lagrange.
Interpolação Polinomial de Lagrange
• A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
Pn(x) = 𝒏
𝒋 𝟎 f(xj). Lj
n(x)]
• Onde Lj(x) é dado por:
n
𝐧
𝐢 𝟎;𝐢 𝐣
𝒙 𝒙
𝒊
𝒙
𝒋
𝒙
𝒊
j=0, 1, 2, ..., n.
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Interpolação Polinomial de Lagrange
• Exemplo 1: Dada a tabela abaixo, determine o polinômio
interpolador através da Interpolação de Lagrange.
X -1 0 1,5
F(X) 14,5 7,5 4,5
Interpolação Polinomial de Lagrange
• SOLUÇÃO:
– O polinômio interpolador de Lagrange com três pontos é de grau ≤ 2;
– Seu formato é f(x) = P2(x) = f(x0). L0
2(x) + f(x1).L1
2(x) + f(x2).L2
2(x)
– Calculando cada Lj
2(x), teremos:
 L0
2(x) = 𝒙 𝒙𝟏 .(𝒙 𝒙𝟐)
𝒙𝟎 𝒙𝟏 .(𝒙𝟎 𝒙𝟐)
=
𝒙 𝟎 .(𝒙 𝟏,𝟓)
𝟏 𝟎 .( 𝟏 𝟏,𝟓)
=
𝒙 .(𝒙 𝟏,𝟓)
𝟏 .( 𝟐,𝟓)
= 𝒙𝟐 𝟏,𝟓𝒙
 𝟐,𝟓
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
 L1
2(x) = 𝒙 𝒙𝟎 .(𝒙 𝒙𝟐)
𝒙𝟏 𝒙𝟎 .(𝒙𝟏 𝒙𝟐)
=
𝒙 𝟏 .(𝒙 𝟏,𝟓)
𝟏 .( 𝟏,𝟓)
= 𝒙𝟐 𝟎,𝟓𝒙 𝟏,𝟓
𝟏,𝟓
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Interpolação Polinomial de Lagrange
• SOLUÇÃO:
– O polinômio interpolador de Lagrange com três pontos é de grau ≤ 2;
– Seu formato é f(x) = P2(x) = f(x0). L0
2(x) + f(x1).L1
2(x) + f(x2).L2
2(x)
– Calculando cada Lj
2(x), teremos:
 L2
2(x) = 𝒙 𝒙𝟎 .(𝒙 𝒙𝟏)
𝒙𝟐 𝒙𝟎 .(𝒙𝟐 𝒙𝟏)
=
𝒙 𝟏 .(𝒙 𝟎)
𝟏,𝟓 𝟏 .(𝟏,𝟓 𝟎)
=
𝒙 𝟏 .(𝒙)
𝟏,𝟓 .(𝟏,𝟓)
= 𝒙𝟐 𝒙
 𝟑,𝟕𝟓
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
 Agora devemos encontrar o 
P2(x), substituindo os valores na 
fórmula!
Interpolação Polinomial de Lagrange
• SOLUÇÃO:
– Logo: P2(x) = f(x0). L0
2(x) + f(x1).L1
2(x) + f(x2).L2
2(x)
– P2(x) = 14,5. ,
 ,
+ 7,5. , ,
,
+ 4,5. 
 ,
– P2(x) = 145. ,
 
- 75. , , + 450. 
 
– P2(x) = . , . , , .
– P2(x) = , ,
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
 Agora devemos deixar os denominadores inteiros positivos e tirar o MMC. (Ajustar fracionários no Num. e Den.)
Logo, o polinômio será:
P2(x)=2x2-5x+7,5
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INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE 
NEWTON 
- MÉTODO DAS DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Interpolação Polinomial de Newton
• Visa diminuir a complexidade da aplicação do Polinômio 
Interpolador de Lagrange a uma tabela com uma grande 
quantidade de pontos.
• Permite determinar o grau do polinômio que melhor 
aproxima a função em estudo, proporcionando a diminuição 
do grau do polinômio e consequentemente um menor 
número de pontos.
• Faz uso da Tabela de Diferenças Divididas para determinar o 
polinômio.
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Interpolação Polinomial de Newton
• A forma de Newton para o polinômio interpolador é:
Pn(x) =∆0f(x0) + ∆1f(x0).(x-x0) + ∆2f(x0).(x-x0).(x-x1) + (...) + ∆nf(x0).(x-x0).(x-x1). (...) . (x-xn-1) 
Onde ∆kf(x0) = [x0, x1, x2, ..., xk] são operadores de diferenças 
divididas.
Esses operadores são calculados através da Tabela de Diferenças 
Divididas.
Interpolação Polinomial de Newton
Tabela de Diferenças Divididas:
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Interpolação Polinomial de Newton
Onde:
Interpolação Polinomial de Newton
• Exemplo 1: Dada a tabela abaixo, determine o polinômio
interpolador através da Interpolação de Newton e da construção
da Tabela das Diferenças Divididas. Depois, calcule P(1) e P(2).
X -1 0 1,5
F(X) 14,5 7,5 4,5
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Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Inicialmente elaboramos a Tabela das Diferenças Divididas:
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
i xi ∆0f(x0) = f(x)
Ordem 0
∆1f(x0) 
Ordem 1
∆2f(x0) 
Ordem 2
Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Inicialmente elaboramos a Tabela das Diferenças Divididas:
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
i xi ∆0f(x0) = f(x)
Ordem 0
∆1f(x0) 
Ordem 1
∆2f(x0) 
Ordem 2
0 -1 14,5
1 0 7,5
2 1,5 4,5
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Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Inicialmente elaboramos a Tabela das Diferenças Divididas:
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
i xi ∆0f(x0) = f(x)
Ordem 0
∆1f(x0) 
Ordem 1
∆2f(x0) 
Ordem 2
0 -1 14,5 =(7,5−14,5)
( ( )
= -7
1 0 7,5
2 1,5 4,5
Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Inicialmente elaboramos a Tabela das Diferenças Divididas:
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
i xi ∆0f(x0) = f(x)
Ordem 0
∆1f(x0) 
Ordem 1
∆2f(x0) 
Ordem 2
0 -1 14,5 =(7,5−14,5)
( ( )
= -7
1 0 7,5 =(4,5−7,5)
( , )
= -2
2 1,5 4,5
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Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Inicialmente elaboramos a Tabela das Diferenças Divididas:
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
i xi ∆0f(x0) = f(x)
Ordem 0
∆1f(x0) 
Ordem 1
∆2f(x0) 
Ordem 2
0 -1 14,5 =(7,5−14,5)
( ( )
= -7 =(−2−(−7))
( , ( ))
= 2
1 0 7,5 =(4,5−7,5)
( , )
= -2
2 1,5 4,5
Interpolação Polinomial de Newton
• SOLUÇÃO:
– Logo, utilizando a fórmula, teremos que:
P2(x) = ∆0f(x0) + ∆1f(x0).(x-x0) + ∆2f(x0).(x-x0).(x-x1)
P2(x) = 14,5+ (-7).(x-(-1)) + 2.(x-(-1)).(x-0)
P2(x) = 14,5-7x-7+(2x+2).x
P2(x) = 14,5-7x-7+2x2+2x
P2(x) = 2x2-5x+7,5
X -1 x0 0 x1 1,5 x2
F(X) 14,5 7,5 4,5
Logo:
P(1) = 2.12-5.1+7,5 = 2-5+7,5 = 4,5
P(2) = 2.22-5.2+7,5 = 8-10+7,5 = 5,5
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Exercícios
1) Dada a tabela abaixo, determine o polinômio interpolador atravésda 
Interpolação de Newton e da construção da Tabela das Diferenças
Divididas. Depois, calcule P(2) e P(3,5). 
2) A tabela a seguir relaciona o calor específico da água em função da 
temperatura. Calcular o calor específico da água a uma temperatura de 
25oC a partir da determinação do Polinômio Interpolador de Lagrange. 
Utilizar 5 casas decimais: 
X 1 3 4 5
F(X) 0 6 24 60
Dúvidas e Sugestões 
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Referências
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