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Poliedros Poliedros são figuras tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, na qual os ângulos poliédricos são todos congruentes. A união desses polígonos forma elementos que compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e faces. Poliedro convexo e não convexo Os poliedros podem ser convexos ou não convexos. Se qualquer segmento de reta que liga dois pontos de um poliedro estiver totalmente contido nele, então ele será convexo. Uma outra forma de identificar um poliedro convexo é verificar que qualquer reta não contida em nenhuma das face e nem paralela a elas, corta os planos das faces em, no máximo, dois pontos. Teorema de Euler O Teorema ou Relação de Euler é válido para os poliedros convexos e para alguns poliedros não-convexos. Este teorema estabelece a seguinte relação entre o número de faces, vértices e arestas: F + V = 2 + A ou V - A + F = 2 Onde, F: número de faces V: número de vértices A: número de arestas Exemplo Um poliedro convexo é formado por exatamente 4 triângulos e 1 quadrado. Quantos vértices tem esse poliedro? Solução Primeiro precisamos definir a quantidade de faces e arestas. Como o poliedro possui 4 triângulos e 1 quadrado, então possui 5 faces. Para encontrar o número de aresta podemos calcular o número total de lados e dividir o resultado por dois, visto que cada aresta é a intersecção de dois lados: O número de faces e arestas, podemos aplicar a relação de Euler, assim temos: Portanto, este poliedro possui 5 vértices. Capítulo 21 Poliedros regulares Os poliedros convexos são regulares quando suas faces são compostas por polígonos regulares e congruentes entre si. Além disso, o número de aresta que concorre em cada vértice é o mesmo. Devemos lembrar que os polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida. Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, que são também chamados de “Sólidos Platônicos” ou “Poliedros de Platão”. São eles: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro. Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas. Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas. Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas. Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas. Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas. Soma dos ângulos internos um polígono A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula: Sendo: n: número de lados.do polígono Poliedros regulares Prismas Os prismas são sólidos geométricos que apresentam duas bases formadas por polígonos congruentes e localizados em planos paralelos. Suas faces laterais são paralelogramos ou retângulos. De acordo com a inclinação das arestas laterais em relação a base, os prismas são classificados em retos ou oblíquos. As faces laterais dos prismas retos são retângulos, enquanto dos prismas oblíquos são paralelogramos, conforme imagem abaixo: Paralelepípedo Uma piscina possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 10 metros de comprimento, 6 metros de largura e 1,8 metros de profundidade. Determine o volume e a capacidade da piscina. V = a * b * c V = 10 * 6 * 1,8 V = 108 m³ ou 108 000 litros Prisma Cálculo da área lateral: AL = (base · altura) · número de lados da face Cálculo da área base: AB = 2 · área do polígono Cálculo da área total: AT = AL + AB Cubo Área da Base: Ab = l² Área lateral: Al = 4·l² Área total: At = 2·Ab + Al Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área lateral, teremos: At = 2·l2 + 4·l2 At = 6·l2 Dizemos que o volume de um corpo é o espaço que ele ocupa. Esses corpos possuem capacidade de acordo com o tamanho de suas dimensões. Observe as principais medidas de volume e sua correspondência com a capacidade: 1m³ (metro cúbico) = 1 000 litros 1dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro 1cm³ (centímetro cúbico) = 1 mililitro Fórmulas da geometria espacial
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