Algebra linear Computacional_Metodos iterativos resolucao sistema lineares

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introdução
Introdução
ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONALÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL
MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
RESOLUÇÃO SISTEMASRESOLUÇÃO SISTEMAS
LINEARESLINEARES
Autor: Dr. Ricardo Igarashi
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
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Nesta unidade, reforçaremos o conteúdo do módulo II, apresentando a solução geométrica de
sistemas lineares e . Esse conceito nos fornecerá uma visão espacial do signi�cado de
um sistema linear. Posteriormente, trabalharemos a resolução de forma iterativa para sistemas
lineares. Esse fato é de muita importância, pois, muitas vezes, sistemas lineares não são
resolvidos de forma analítica, e dessa forma, teremos de usar métodos numéricos. Nesta
unidade, apresentaremos o método de Jacobi e método de Gauss Seidel. Esses métodos usarão
como base um “chute” inicial, e, após, serão usados métodos de recorrência, para a resolução do
sistema.
2x2 3x3
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Recordando:
Dizemos que ( é solução de um sistema linear com equações quando (
 é solução de cada uma das equações do sistema linear.
Vamos ver um exemplo:
Dado o sistema linear a seguir, mostre que é solução do sistema linear:
Veri�cando:
Como pudemos veri�car, o trio é solução do sistema linear, pois satisfez as três
equações.
Em estudos anteriores, vimos dois métodos de resolução de um sistema linear e , que
foram a regra de Crammer e o método de Gauss-Jordam.
Neste modulo, veremos a interpretação geométrica dos sistemas lineares e dois métodos
iterativos, para a resolução do sistema.
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica dosGeométrica dos
Sistemas LinearesSistemas Lineares
,   ,   … ,   )  ∈ Rα1 α2 αn n
,   ,   … ,   )α1 α2 αn
(2,   − 1,  4)
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
2x + 3y + 5z = 21
3x − 1y + 4z = 23
−4x + 2y − 6z = −34
2. (2) + 3. (−1) + 5. (4) = 4 − 3 + 20 = 21    
3. (2) − 1. (−1) + 4. (4) = 6 + 1 + 16 =  23   
−4. (2) + 2. (−1) − 6. (4) = −8 − 2 − 24 = −34
(2,   − 1,  4)
2x 3x3
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Interpretação Geométrica de um Sistema
Linear 2x2
Os pares ordenados de números reais que são solução de uma equação linear com duas
incógnitas determinam, no grá�co, uma reta. A intersecção das retas das equações do sistema
determina sua solução, se existir.
Veja, a seguir, a representação geométrica dos três sistemas lineares e, analisando os grá�cos,
classi�que como SI (Sistema Impossível) SPD (Sistema Possível e Indeterminado) ou SPI (Sistema
Possível e Indeterminado).
Para representar cada uma das retas no plano cartesiano, basta determinar pares ordenados que
satisfaçam cada uma das equações:
Na Figura 3.1, as retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado, que é a solução
do sistema solar, e essa solução é indicada na intersecção das duas retas.
Na Figura 3.2, as retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução
do sistema linear (SI).
{
3x − y = 10  → (4, 2) ,   (2,   − 4)    
2x + 5y = 1  → (−2, 1) ,   (3, −1)
Figura 3.1 - Retas concorrentes
Fonte: Elaborada pelo autor.
{ x − 2y = 5  → (1, −2) , (−1, −3)
2x − 4y = 2  → (1, 0) , (3, 1)               
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Veja a Figura 3.3:
Figura 3.3 - Retas coincidentes
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 3.3, as retas coincidentes indicam que existem in�nitos pares ordenados, que são
soluções do sistema linear (SPI).
praticar
Vamos Praticar
Figura 3.2 - Retas paralelas
Fonte: Elaborada pelo autor.
{ 2x − 6y = 8  → (4, 0) , (1, −1)   
3x − 9y = 12  → (4, 0) , (1, −1)
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Usando os conceitos apresentados até aqui, resolva o sistema linear 2x2 a seguir, usando o método da
adição. Classi�que-os quanto ao número de soluções e veri�que a solução encontrada, fazendo a
representação grá�ca do sistema linear.
a) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
b) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
c) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
d) O sistema não admite solução.
e) O sistema possui in�nitas soluções.
{     
3x − 2y = −12
5x + 6y = 8              
x = −2 y = 3
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
x = 2 y = −3
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
x = 3 y = 1
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
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Considerando um sistema linear com três equações e três incógnitas, geometricamente, cada
uma das equações de�ne um plano. O termo ordenado pertence à intersecção entre
os três planos.
Existem oito possibilidades para as posições relativas dos três planos que vamos nomear de
 no espaço.
1ª possibilidade : os três planos coincidentes
Nesse caso, todos os pontos de são solução do sistema; há, portanto, in�nitas
soluções (SPI).
Veja o exemplo a seguir:
Nesse caso, analisando o plano formado pelas três equações, podemos usar qualquer uma das
três equações para determinar uma solução genérica. Usaremos a equação 1.
Algumas possíveis soluções para o sistema que representam
um plano na �gura:
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica de umGeométrica de um
Sistema Linear 3x3Sistema Linear 3x3
(x,  y,  z)
,    e π1 π2 π3
P (x,  y,  z) π1
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 4
x + y − z = 1      z = x + y − 1Solução = (x,  y,  x + y − 1)
(1,  1,  1) ,   (1,  2,  2) ,   (2,  5,  6) ,
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Figura 3.4 - Plano formado pela 1ª equação
Fonte: Elaborada pelo autor.
• 2ª possibilidade : dois planos coincidem, e o terceiro é paralelo a eles
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo a seguir, cuja solução é apresentada na Figura 3.5:
Figura 3.5 - Dois planos coincidentes e outro paralelo
Fonte: Elaborada pelo autor.
3ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta,
como mostrado na Figura 3.6. Nesse caso, todos os pontos da reta
formada pela intersecção dos três planos é solução do sistema linear (SPI).
Como as duas primeiras equações formam o mesmo plano, analisaremos a primeira e a terceira
equações, para determinar a equação da reta e uma solução genérica para o sistema.
   então 
Solução genérica 
Exemplos de solução do sistema , 
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 7
P (x,  y,  z)
     {   
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1   
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − z = 4  
x + y − z = 1. (−4)
4x + 4y − z = 4           
{−4x − 4y + 4z = −4          
4x + 4y − z = 4            
3z = 0    z = 0 4x + 4y = 4    y = 1 − x
(x,  1 − x,  z)
(1,  0,  0) (2,   − 1,  0)
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Figura 3.6 - Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta
Fonte: Elaborada pelo autor.4ª possibilidade : os três planos são paralelos
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI),
como mostrado na Figura 3.7:
Veja o exemplo:
5ª possibilidade: dois planos são paralelos, e o outro os intersecta, formando duas
retas, como mostrado na Figura 3.8.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo:
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 7
Figura 3.7 - Três planos paralelos
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 4
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6ª possibilidade : os três planos são distintos e têm uma reta em comum, como
mostrado na Figura 3.9:
Nesse caso, todos os pontos da reta formada pela intersecção dos três planos são
solução do sistema linear (SPI).
A terceira equação é uma combinação entre a primeira e a segunda equações. Para veri�car,
basta multiplicar a primeira equação por dois e somar com a segunda.
Para determinar uma solução genérica, faremos combinações entre as duas primeiras equações:
Exemplos de solução do sistema 
Figura 3.8 - Dois planos são paralelos, e o outro os intersecta formando duas retas
Fonte: Elaborada pelo autor.
P (x,  y,  z)
   
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y + z = 1
2x − y + z = 5  
4x + y + 3z = 7
{     3x + 2z = 6    z =  
x + y + z = 1
2x − y + z = 5
6 − 3x
2
{        {      − x + 2y = −4    y =
x + y + z = 1          
2x − y + z = 5. (−1)
x + y + z = 1
−2x + y − z = −5
x − 4
2
Solu  o   gen  rica (x,   ,   )a~ é
x − 4
2
6 − 3x
2
(0,   − 2,  3) (2,   − 1,  0)
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Figura 3.9 - Três planos são distintos e têm uma reta em comum
Fonte: Elaborada pelo autor.
7ª possibilidade : os três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas
paralelas, como mostrado na Figura 3.10.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo:
Figura 3.10 - Três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas paralelas
Fonte: Elaborada pelo autor.
8ª possibilidade : os três planos têm um único ponto em comum, como mostrado na
Figura 3.11.
Nesse caso, o sistema é possível e determinado, pois existe um único ponto em comum aos três
planos.
Vamos ver um exemplo
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − 3z = 1  
5x + 2y + z = 2  
9x + 3y + 5z = 5
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Solução 
praticar
Vamos Praticar
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, os três planos acima que
vamos designar como e são os planos de�nidos pelas equações do sistema. Assim, as
soluções do referido sistema pertencem à intersecção desses planos.
Usando esses conceitos, assinale a alternativa que corresponda à solução geométrica do seguinte
sistema linear:
             
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − z = 13
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 2y − 3z = 4
  − y + 10z = −3
             − z = 0
z = 0,  y = 3,  x = −2
(−2,  3,  0)
Figura 3.11 - Três planos têm um único ponto em comum
Fonte: Elaborada pelo autor.
⎡
⎣
⎢
+ + =a11x1 a12x2 a13x3 b1
+ + =a21x1 a22x2 a23x3 b2
+ + =a31x1 a32x2 a33x3 b3
,  π1 π2 π3
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a) Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos
é uma solução do sistema.
b) O sistema é impossível. Nesse caso, dois planos coincidem, e o terceiro plano é paralelo a eles.
c) Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Nesse caso, o sistema é
indeterminado, e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
d) Os três planos são paralelos. Nesse caso, o sistema é impossível.D.
e) Os planos formados pelas duas primeiras equações são paralelos, e o plano formado pela
terceira equação os intersecta segundo duas retas paralelas. Nesse caso, o sistema é impossível.
⎡
⎣
⎢
x + 2y − z = 3
2x + 4y − 2z = 4
3x + 6y − 3z = 5
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Nesta seção, apresentaremos os métodos iterativos para a resolução de sistemas lineares.
Faremos uma pequena introdução aos métodos iterativos e, após, apresentaremos os métodos
de Gauss Jacobi e Gauss Seidel.
Introdução dos Métodos Iterativos
Os métodos iterativos consistem em transformar um sistema linear em que:
 matriz dos coe�cientes do sistema linear, 
 matriz das variáveis, 
 matriz dos termos constantes, 
Solução
Em um sistema do tipo em que é matriz e matriz 
Observamos que é uma função de iteração dada na forma matricial.
E, dessa forma, podemos iniciar o esquema iterativo.
Partindo de (aproximação inicial) podemos construir a seguinte sequência:
Métodos IterativosMétodos Iterativos
Ax = b
A = n x n
x = n x 1
b = n x 1
x = Mx + c M n x n c n x 1
φ (x) = Mx + c
x(0)
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A próxima iteração é sempre calculada usando o valor da iteração anterior.
Teste de Parada
O processo iterativo é repetido até que a matriz solução do sistema linear seja
su�cientemente próxima da matriz 
Medimos essa distância por 
Assim, dada uma precisão , a matriz será escolhida como resposta aproximada da solução
exata do sistema linear se 
Podemos, também, efetuar o cálculo utilizando o teste do erro relativo:
Método de Gauss – Jacobi
A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear em um sistema
 é a seguinte:
Vamos pegar um sistema genérico n x n
Primeira
Iteração
x (1) = C.x(0) + g = φ(x (0))
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x(k)
x(k−1)
=   −d(k) max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(k)
i x
(k−1)
i
∣
∣
ε x(k)
< εd(k)
=d
(k)
r
d(k)
 max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(k)
i
∣
∣
Ax = b
x = Mx + c
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Inicialmente, temos de supor isolamos o da diagonal principal
Para fazer os passos da iteração, usaremos o valor determinado no passo anterior e, portanto,
teremos:
Condição de Convergência
Considere o sistema linear
Vamos ver três critérios para analisar a convergência do sistema por método iterativo. Esses
critérios estabelecem apenas condições su�cientes.
1. Critério da soma por linha
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
+ + … + =a11x1 a12x2 a1nxn b1
+ + … + =a21x1 a22x2 a2nxn b2
    ⋮           ⋮                 ⋮          ⋮             ⋮ 
+ + … + =an1x1 an2x2 annxn bn
A =                      x =                      b =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
a11
a21
⋮
an1
a12
a22
⋮
an2
… a1n
… a2n
⋮
…
⋮
ann
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
x1
x2
⋮
xn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
b1
b2
⋮
bn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
≠ 0 ,  i = 1, … ,  naii x
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= . ( − − − … − )x1
1
a11
b1 a12x2 a13x3 a1nxn
= . ( − − − … − )x2
1
a22
b2 a21x1 a23x3 a2nxn
⋮           ⋮           ⋮           ⋮           ⋮
= . ( − − − … − )xn
1
ann
bn an1x1 an2x2 an,n−1xn−1
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= . ( − − − … − )x1
(k+1) 1
a11
b1 a12x2
(k) a13x3
(k) a1nxn
(k)
= . ( − − − … − )x2
(k+1) 1
a22
b2 a21x1
(k) a23x3
(k) a2nxn
(k)
⋮                 ⋮                  ⋮           ⋮              ⋮
= . ( − −− … − )xn
(k+1) 1
ann
bn an1x1
(k) an2x2
(k) an,n−1xn−1
(k)
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
+ + =a11x1 a12x2 a13x3 b1
+ + =a21x1 a22x2 a23x3 b2
+ + =a31x1 a32x2 a33x3 b3
  ≥ +                    ≥ +                   ≥ +  a11 a12 a13 a22 a21 a23 a33 a31 a32
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2. Critério da soma por colunas
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
3. Critério de Sassenfeld
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
Exemplo: mostre que, mesmo permutando a ordem das equações, o critério da soma por linhas e
por colunas não garante a convergência do sistema, mas o critério de Sassenfeld satisfaz a
condição de convergência.
Vamos permutar as equações, para tentar deixar os maiores valores de cada equação na posição
Critério da soma por linha não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
Critério da soma por colunas não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
O critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
1. Determine a solução do sistema linear a seguir, com :
  ≥ +                    ≥ +                   ≥ +a11 a21 a31 a22 a12 a32 a33 a13 a23
= + < 1          = . + < 1          = . + . < 1β1
∣
∣
∣
a12
a11
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a13
a11
∣
∣
∣ β2
∣
∣
∣
a21
a22
∣
∣
∣ β1
∣
∣
∣
a23
a22
∣
∣
∣ β3
∣
∣
∣
a31
a33
∣
∣
∣ β1
∣
∣
∣
a32
a33
∣
∣
∣ β2
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
3 + 3 − 5 = 2   x1 x2 x3
10 + 3 + 2 = −20x1 x2 x3
2 + 5 − 3 = 10 x1 x2 x3
,   ,  a11 a22 a33
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 3 + 2 = −20   x1 x2 x3
2 + 5 − 3 = 10    x1 x2 x3
3 + 3 − 5 = 2      x1 x2 x3
10 > 3 + 2  (v)        5 > 2 + 3  (f)     5 > 3 + 3  (f)
10 > 2 + 3  (v)     5 > 3 + 3  (f)     5 > 3 + 2  (f)
= + =     <  1                                                         = . + = < 1β1
∣
∣
∣
3
10
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
10
∣
∣
∣
1
2
β2
∣
∣
∣
2
5
∣
∣
∣
1
2
∣
∣
∣
−3
5
∣
∣
∣
4
5
= . + . = < 1β3
∣
∣
∣
3
−5
∣
∣
∣
1
2
∣
∣
∣
3
−5
∣
∣
∣
4
5
39
50
ε < 0, 05
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 18/32
Inicialmente, veri�caremos as condições de convergência:
O sistema atende à condição da soma por linha.
Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira
equação.
Se adotarmos como solução inicial teremos:
Para pularmos essa primeira iteração, podemos sempre adotar a solução inicial como sendo:
Prosseguindo vamos fazer a segunda iteração
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 2 + = 7x1 x2 x3
+ 5 + = −8x1 x2 x3
2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3
10 > 2 + 1          5 > 1 + 1          10 > 2 + 3
x1 x2 x3
= . (7 − 2 − )   x1
1
10
x2 x3
= . (−8 − − )x2
1
5
x1 x3
= . (6 − 2 − 3 )   x3
1
10
x1 x2
= ,x(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1
(1) 1
10
= . (−8 − 0 − 0) =   − 1, 6x2
(1) 1
5
= . (6 − 2.0 − 0) = 0, 6 x3
(1) 1
10
=x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 6
0, 6
⎤
⎦
⎥
=     = =           = =          =   =  x(0) bi
aii
x
(0)
1
b1
a11
7
10
x
(0)
2
b2
a22
−8
5
x
(0)
3
b3
a33
6
10
= . (7 − 2. (−1, 6) − 0, 6) =  0, 96x1
(2) 1
10
10/04/2023, 12:01 Ead.br
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Teremos de fazer mais uma iteração:
Teremos de fazer mais uma iteração:
= . (−8 − 0, 7 − 0, 6) =   − 1, 86x2
(2) 1
5
= . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 6)) = 0, 94x3
(2) 1
10
=               =      −   =  x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 6
0, 6
⎤
⎦
⎥ x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 96
−1, 86
0, 94
⎤
⎦
⎥ ∣∣x
(2) x(1)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 26
0, 26
0, 34
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 1827 > 0, 05d
(2)
r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(2)
i
∣
∣
0, 34
1, 86
= . (7 − 2. (−1, 86) − 0, 94) =  0, 978  x1
(3) 1
10
= . (−8 − 0, 96 − 0, 94) =   − 1, 98x2
(3) 1
5
= . (6 − 2.0, 96 − 3. (−1, 86)) =  0, 966x3
(3) 1
10
=               =      −   =  x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 96
−1, 86
0, 94
⎤
⎦
⎥ x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 978
−1, 98
0, 966
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(3) x(2)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 018
0, 12
0, 026
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 06O6 > 0, 05d
(3)
r
d(3)
 max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(3)
i
∣
∣
0, 12
1, 98
= . (7 − 2. (−1, 98) − 0, 966) =  0, 9994  x1
(4) 1
10
= . (−8 − 0, 978 − 0, 966) =   − 1, 9888 x2
(4) 1
5
= . (6 − 2.0, 978 − 3. (−1, 98)) = 0, 9984 x3
(4) 1
10
=                =     −   =  x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 978
−1, 98
0, 966
⎤
⎦
⎥ x(4)
⎡
⎣
⎢
0, 9994
−1, 9888
0, 9984
⎤
⎦
⎥ ∣∣x
(4) x(3)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 0214
0, 0088
0, 0324
⎤
⎦
⎥
= =     ≅0, 01629 < 0, 05d
(4)
r
d(4)
 max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(4)
i
∣
∣
0, 0324
1, 9888
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 20/32
Portanto, a solução aproximada do sistema linear é .
praticar
Vamos Praticar
Vimos que um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos. Nessa
metodologia, devemos escolher valores iniciais para fazer a convergência do cálculo iterativo. Também,
devemos levar em conta a convergência do sistema linear.
Pelo critério de linhas, assinale a alternativa que indica o intervalo de k, para que exista a convergência
do sistema apresentado:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
x =
⎡
⎣
⎢
0, 9994
−1, 9888
0, 9984
⎤
⎦
⎥
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
k + 3 + = 1x1 x2 x3
k + 6 = 2x1 x2
+ 6 + 8 = 3x1 x2 x3
1 < k < 3
2 < k < 4
3 < k < 7
4 < k < 6
8 < k < 10
10/04/2023, 12:01 Ead.br
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Inicialmente, o método de Gauss-Seidel é exatamente igual ao método de Gauss-Jacobi, ou seja, o
processo iterativo consiste em sendo uma aproximação inicial, calcular
 até atingir uma resposta em que o erro relativo seja menor do que o erro
estipulado.
A diferença no processo iterativo de Gauss-Seidel consiste em usar valores já conhecidos de ,
portanto, no momento de se calcular usamos todos os valores que já
foram calculados e os valores restantes.
Vamos pegar como exemplo o mesmo problema proposto anteriormente e resolvido pelo
método de Gauss-Jacobi.
Exemplo: determine a solução do sistema linear a seguir, com 
Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira
equação.
Método de Gauss-SeidelMétodo de Gauss-Seidel
x(0)
,    , … ,  x(1) x(2) x(k)
x(k)
x
(k+1)
j
,   … ,  x
(k+1)
1 x
(k+1)
j−1
,   … ,  x
(k)
j+1 x
(k)
n
ε < 0, 05 :
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 2 + = 7x1 x2 x3
+ 5 + = −8x1 x2 x3
2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3
x1 x2 x3
= . (7 − 2 − )   x1
1
10
x2 x3
= . (−8 − − )x2
1
5
x1 x3
= . (6 − 2 − 3 )   x3
1
10
x1 x2
10/04/2023, 12:01 Ead.br
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Se adotarmos como solução inicial teremos:
Agora vem a diferença no método de Gauss-Seidel, pois para calcular já usaremos o
 já encontrado no passo anterior.
Para calcular o , vamos utilizar os valores já calculados acima e
.
Portanto, essa é a diferença do método de Gauss-Seidel: os valores que já foram calculados são
usados na própria iteração.
Vamos fazer mais uma iteração:
Teremos de fazer mais uma iteração:
= ,x(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1
(1) 1
10
x2
(1),
= 0, 7,x1
(1)
= . (−8 − 0, 7 − 0) =   − 1, 74x2
(1) 1
5
x3
(1) = 0, 7x1
(1)
=   − 1, 74x2
(1)
= . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 74)) = 0, 982  x3
(1) 1
10
=x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 74
0, 982
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2. (−1, 74) − 0, 982) =  0, 9498x1
(2) 1
10
= . (−8 − 0, 9498 − 0, 982) =   − 1, 98636x2
(2) 1
5
= . (6 − 2.0, 9498 − 3. (−1, 98636)) = 1x3
(2) 1
10
=               =      −   =  x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 74
0, 982
⎤
⎦
⎥ x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1,005948
⎤
⎦
⎥ ∣∣x
(2) x(1)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 2498
0, 24636
0, 023948
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 1258 > 0, 05d
(2)
r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n ∣
∣x
(2)
i
∣
∣
0, 2498
1, 98636
10/04/2023, 12:01 Ead.br
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Portanto, a solução aproximada do sistema linear é 
Para concluir, o método de Gauss-Seidel e o método de Gauss-Jacobi são algoritmos utilizados
para determinar soluções aproximadas para um sistema linear tão próximas quanto for desejado.
saiba mais
Saiba mais
Os métodos iterativos são vastamente investigados na
área de computação para a veri�cação de qual método
pode ser mais e�ciente do ponto de vista computacional.
Para ter um entendimento melhor, você pode ler o artigo
“Paralelização e comparação de métodos iterativos na
solução de sistemas lineares grandes e esparsos”.
Fonte: Adaptado de Barroso (1987).
ACESSAR
O método de Gauss-Seidel foi criado para convergir mais rapidamente, pois na própria iteração já
utiliza os valores calculados. Isso acontece com a grande maioria dos sistemas, mas não sempre.
=x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1, 005948
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2. (−1, 98636) − 1, 005948) =  0, 9966772  x1
(3) 1
10
= . (−8 − 0, 9966772 − 1, 005948) =   − 2, 000525x2
(3) 1
5
= . (6 − 2.0, 9966772 − 3. (0, 9966772)) =  1, 0008221x3
(3) 1
10
=               =      −   =  x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1, 005948
⎤
⎦
⎥ x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 9966772
−2, 000525
1, 0008221
⎤
⎦
⎥ ∣∣x
(3) x(2)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 0468772
0, 014165
0, 0051259
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 023 < 0, 05d
(2)
r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n
∣
∣x
(2)
i
∣
∣
0, 0468772
2, 000525
x =
⎡
⎣
⎢
0, 9966772
−2, 000525
1, 0008221
⎤
⎦
⎥
http://www.forscience.ifmg.edu.br/forscience/index.php/forscience/article/view/18
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 24/32
Vamos ver mais um exemplo de resolução do sistema linear usando o método de Gauss-Seidel.
Exemplo: veri�que a convergência e, caso seja satisfeita, obtenha a solução pelo método de
Gauss-Seidel com erro absoluto inferior a .
Critério da soma por linha não satisfaz.
Critério da soma por colunas não satisfaz.
Critério de Sassenfeld:
Critério de Sassenfeld é satisfeito, pois 
O sistema converge:
reflita
Re�ita
Tente aplicar essa técnica de método iterativo
para resolver os sistemas lineares do bloco 2. Veja
se encontra as mesmas soluções com os outros
métodos diretos e re�ita sobre a resolução.
10−3
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
5x + y + z = 5     
3x + 4y + z = 6  
3x + 3y + 6z = 0
5 > 1 + 1                4 > 3 + 1  (f)
5 > 3 + 3  (f)
= + = 0, 4  < 1                                           = .0, 4 + = 0, 55  < 1         β1
∣
∣
∣
1
5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
5
∣
∣
∣ β2
∣
∣
∣
3
4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
∣
∣
∣
= .0, 4 + .0, 55 = 0, 475 < 1β3
∣
∣
∣
3
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3
6
∣
∣
∣
< 1      < 1      < 1β1 β2 β3
            =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x = . (5 − y − z)      1
5
y =   . (6 − 3x − z)  1
4
z =   . (−3x − 3y)   1
6
x̄(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 25/32
E assim sucessivamente, até que o erro absoluto seja menor do que .
Lembrando que o erro absoluto é calculado por .
Vamos, agora, utilizar o Excel para resolver o problema proposto.
Inicialmente, devemos escrever o sistema linear da seguinte forma:
Agora, passemos ao Excel:
1° passo – criar a tabela a seguir no Excel, em que é o chute inicial:
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0 − 0) = 1                       x(1) 1
5
=   . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75            y(1) 1
4
=   . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875  z(1) 1
6
x̄(1)
⎡
⎣
⎢
1
0, 75
−0, 875
⎤
⎦
⎥
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0, 75 − (−0, 875)) = 1, 025  x(2) 1
5
=   . (6 − 3.1, 025 − (−0, 875)) = 0, 95 y(2) 1
4
=   . (−3.1, 025 − 3.0, 95) = −0, 9875    z(2) 1
6
x̄(2)
⎡
⎣
⎢
1, 025
0, 95
−0, 9875
⎤
⎦
⎥
10−3
−x̄(k) x̄(k−1)
= . (5 − − )x(k+1) 1
5 yk zk
=   . (6 − 3 − )y(k+1) 1
4 x(k+1) zk
=   . (−3 − 3 )z(k+1) 1
6 x(k+1) y(k+1)
k = 0
Figura 3.12 - Chute inicial para o processo iterativo
Fonte: Elaborada pelo autor.
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 26/32
Figura 3.13 - Digitar 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 3.14 - Digitar 
Fonte: Elaborada pelo autor.
= . (5 − − )x(k+1) 1
5 yk zk
=   . (6 − 3 − )y(k+1) 1
4 x(k+1) zk
Figura 3.15 - Digitar 
Fonte: Elaborado pelo autor.
=   . (−3 − 3 )z(k+1) 1
6 x(k+1) y(k+1)
Figura 3.16 - Primeira iteração
Fonte: Elaborada pelo autor.
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 27/32
Aqui, já podemos veri�car a primeira iteração e comparar com o resultado obtido acima:
Na sexta linha, já é possível obter a resposta com um erro absoluto menor do que , como
proposto no exercício.
praticar
Vamos Praticar
Resolva o sistema linear a seguir no Excel, usando o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com erro
absoluto , determinando o número de iterações para cada método.
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0 − 0) = 1                       x(1) 1
5
=   . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75            y(1) 1
4
=   . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875  z(1) 1
6
x̄(1)
⎡
⎣
⎢
1
0, 75
−0, 875
⎤
⎦
⎥
Figura 3.17 - Digitando o erro 
Fonte: Elaborada pelo autor.
−∣∣xk+1 xk ∣∣
Figura 3.18 - Arrastar toda a linha 1 para as outras linhas
Fonte: Elaborada pelo autor.
10−3
ε <    10−4
10/04/2023, 12:01 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=T4xbPzAwaY3Lda5HFFtL8g%3d%3d&l=zSO%2blqy3z0a15b6%2fao4nVQ%3d%3d&cd=T… 28/32
a) Gauss-Jacobi = 10 ; Gauss-Seidel= 9
b) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 9
c) Gauss-Jacobi = 13 ; Gauss-Seidel= 7
d) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 7
e) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 8
               =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
7x + 3y + 2z + w = 13, 5        
2x + 10y + 3z − 2w = −24, 5
x − y + 11z − 3w = 16        
−x + 2y − 3z + 8w = 3            
x̄(0)
⎡
⎣
⎢⎢⎢
0
0
0
0
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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indicações
Material
Complementar
FILME
O jogo da imitação
Ano: 2015
Comentário: Filme que conta a história de Alan Turing, um cientista
que ajudou a decifrar os códigos que os alemães usam para se
comunicarem com os submarinos. O mais interessante é como ele
programava o computador, para tentar decifrar esses códigos.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer , disponível.
TRA ILER
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LIVRO
Guia Mangá. Álgebra Linear
Shin Takahashi
Editora: Novatec
ISBN: 8575222937
Comentário: Uma maneira divertida para aprender álgebra.
Basicamente, nesse mangá, um personagem que conhece Matemática
tem de ensinar álgebra para uma menina. Se ele conseguir fazer isso,
poderá entrar para o clube de caratê.
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conclusão
Conclusão
Neste capítulo, aprendemos a resolver e a interpretar as soluções de sistemas lineares 2x2 e 3x3 .
Lembrando que no sistema 2x2 teremos duas retas e no sistema 3x3 , três planos. Também,
apresentamos o método de resolução do sistema linear pelo método iterativo. Nesses métodos,
temos de começar com um “chute” inicial e, depois, fazemos as iterações, até a convergência.
Vimos dois métodos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Veri�camos que o método de Gauss-Seidel é
mais rápido de convergir do que o de Gauss-Jacobi.
referências
ReferênciasBibliográ�cas
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de cálculo numérico . Porto Alegre: Editora Bookman,
2016.
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