Lista 4

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Módulo 1 Lista 4 2.◦/2018
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangüineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B
e O em uma determinada população, então a proporção P de indiv́ıduos da população que
possuem dois alelos distintos é dada por
P = 2(xy + xz + yz).
Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções
z = z(x, y) e P = P (x, y) das variáveis x e y. A figura ilustra o domı́nio D da função P e os
segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3.
C E a) O domı́nio D intercepta a região x+ y > 1.
C E b) O valor máximo de P sobre o segmento L3 é 1/2.
C E c) O valor máximo de P sobre o bordo ∂D é 3/2.
C E d) A função P possui dois pontos cŕıticos interiores ao
domı́nio D.
L1
L2
L3
D
C E e) As proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indiv́ıduos
com dois alelos distintos são x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3.
2) A produção do hormônio vegetal auxina em uma folhagem é uma função P (t, x) do
tempo t e da intensidade luminosa x à qual a folhagem está exposta. Suponha que, em
unidades apropriadas, a produção pode ser modelada pela função P : D −→ R dada por
P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(t, x) ∈ R
2; 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}.
15
1
7
L1
L3
L2 L4D
a) Justifique a afirmação de que P (t, x) possui pontos de
máximo e de mı́nimo absolutos em D.
Resposta:
b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x).
Resposta:
c) Determine os pontos cŕıticos da função P no interior de D.
Resposta:
d) Determine o ponto de máximo de P na fronteira ∂D, que é assumido sobre o lado L3.
Resposta:
e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de máximo absoluto de P em D.
Resposta:
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3) Um algoritmo de inteligência artificial dispõe das medidas padronizadas sn, das sépalas,
e pn, das pétalas, de quatro flores. As duas primeiras flores são da espécie Setosa, e as duas
últimas da espécie Versicolor. Com esses dados, e com constantes apropriadas en, o algoritmo
primeiro calcula o ponto (x0, y0) que minimiza a função
f(x, y) =
1
2
4
∑
n=1
(en − xsn − ypn)
2
Dada as medidas padronizadas s e p de uma quinta flor, o al-
goritmo decide qual a sua espécie a partir do sinal do número
D = sx0 + py0: é Setosa se D ≥ 0, e Versicolor se D < 0.
Use a notação
∑
4
n=1
s2n = a,
∑
4
n=1
p2n = b,
∑
4
n=1
snpn = c,
∑
4
n=1
ensn = d e
∑
4
n=1
enpn = e.
a) Justifique a afirmação de que f não possui ponto de máximo.
b) Calcule fx e fy em termos das contantes a, b, c, d e e.
c) Calcule os pontos cŕıticos de f sabendo que ab− c2 6= 0.
d) Pode-se mostrar que f possui um ponto de mı́nimo. Use essa informação para justificar
o fato de que os pontos cŕıticos de f são necessariamente pontos de mı́nimo.
e) A quinta flor tem medidas padronizadas s = −0, 84 e p = −0, 85. Determine sua
espécie usando os valores de ab− c2 = 7, 59, bd− ce = −3, 45 e ae− cd = −4, 14.
4) Considere A =
[
3 −1
−1 3
]
uma matriz simétrica, v = (x, y) um vetor,
Av = (3x − y,−x + 3y) o produto de A por v e f(v) = 〈Av, v〉 = 3x2 − 2xy + 3y2 a
forma quadrática correspondente. A função f é homogênea de grau 2, no sentido de que
f(tv) = t2f(v) para quaisquer v e t. Em problemas de otimização é importante decidir se f
muda ou não de sinal e, sendo homogênea, basta estudar o sinal de f nos pontos do ćırculo
C : x2 + y2 = 1. Indique por g(x, y) = x2 + y2, de modo que C é a curva no ńıvel 1 de g.
a) Justifique a afirmação de que f
∣
∣
C
possui pontos
de máximo e de mı́nimo absolutos.
b) Expresse os gradientes de f(v) e g(v) em termos
da matriz A e do vetor v. Em seguida, verifique
que v ∈ C é ponto cŕıtico de f
∣
∣
C
se, e somente se,
Av = λv para algum λ ∈ R.
c) Conclua que, se v ∈ C é um ponto cŕıtico com
Av = λv, então f(v) = λ.
d) Para que Av = λv, com v ∈ C, é necessário que det(A− λI) = 0, onde I =
[
1 0
0 1
]
é
a matriz identidade. Use essa informação para obter os pontos cŕıticos de f
∣
∣
C
.
e) Se v=‖v‖ v
‖v‖
é um ponto de R
2 \ {(0, 0)}, então f(v)=‖v‖2f( v
‖v‖
), onde v
‖v‖
∈ C. Use
essa informação e os itens anteriores para decidir se f muda ou não de sinal em R
2.
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