Resistência dos Materiais II

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RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa -- FFllaammbbaaggeemm 
Índice 
 
FLAMBAGEM ............................................................................................................. 2 
 
 
 
 
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FLAMBAGEM 
Introdução: As peças estruturais submetidas a esforços normais estavam submetidas 
segundo duas condições: 
 a) Resistência da estrutura: admA
N   
 b) Controle da deformação: admAE
LN
L 


 
 
A terceira condição a ser verificada em uma peça estrutural é a 
estabilidade, que vem a ser a capacidade para suportar um esforço 
normal sem sofrer uma mudança em sua forma. 
 
Definição: É a ocorrência de flexão lateral em uma peça esbelta quando submetida 
à compressão axial. Essa flexão lateral acontece sempre na direção do 
eixo de menor momento de inércia da seção transversal, se a carga for 
aplicada no CG da seção transversal. 
 
No fenômeno da flambagem a peça pode perder a sua estabilidade antes mesmo do 
material atingir a tensão de escoamento, o que então denominamos de 
instabilidade elástica. 
 
Esbeltez: área da seção transversal muito pequena em relação a seu comprimento. 
 
Leonhard Euler: primeiro a se dedicar ao estudo da flambagem o qual encontrou, 
através desse efeito, a explicação para muitos colapsos 
estruturais. 
 
Causas: a) Instabilidade de forma ; b) Falta de retilinidade; 
 c) Excentricidade de carregamento ; d) Falta de homogeneidade. 
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Tipos de Equilíbrio: admitindo que a carga crítica de uma estrutura seja Nfl, tem-se 
três condições de equilíbrio, em função da posição da carga N 
aplicada: 
 Estável: N < Nfl 
 Indiferente: N = Nfl 
 Instável: N > Nfl 
Consideremos a peça abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aumentando a carga N, chegará a um valor para o qual a forma reta da barra deixa 
de ser estável. Então a carga N atingirá um valor tal que a peça se encurva 
adquirindo outra forma de equilíbrio estável. 
O valor que a carga N atinge passando entre as duas formas de equilíbrio estável 
chama-se carga de flambagem. 
 
Carga Crítica de Flambagem: Quando a carga atuante atinge um valor tal que a 
peça estrutural deixa de ter um equilíbrio estável e 
passa a ser instável. 
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Índice de Esbeltez: É a relação existente entre o comprimento axial da peça e o 
raio de giração mínimo da seção transversal. 
 
 
onde:  – índice de esbeltez (adimensional) 
 lfl – comprimento de flambagem 
 rmin – raio de giração mínimo: A
Ir min 
 onde: I – menor momento de inércia da seção transversal 
 A – área da seção transversal
 
 
 
- O índice de esbeltez mede o quão esbelto é uma peça; 
- Ele mede a facilidade ou dificuldade que a peça tem em flambar; 
- Se o índice de esbeltez limite do material for: 
 - pequeno: a probabilidade da peça comprimida de flambar é menor; 
 - grande: a probabilidade da peça comprimida de flambar é maior. 
 
Carga Crítica de Flambagem (Carga Crítica de Euler): 
 
Equação de Euler genérica: 2
2
fl
fl l
IE
N



 
 
 onde: I – menor momento de inércia da seção transversal; 
 E – módulo de elasticidade do material; 
 lfl – comprimento de flambagem (função das condições de apoio). 
- Comprimento de flambagem (lfl) em função do tipo de apoio da barra em suas 
extremidades. São denominados “fator K” podendo ser igual ou diferente de 1. Este 
fator K, multiplicador do comprimento da peça comprimida, representa a coluna 
que está sendo analisada por uma bi-rotulada com comprimento reduzido e 
comportamento equivalente: 
minr
l fl
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Tensão Crítica de Flambagem (Tensão Crítica de Euler): 
A tensão atuante em uma peça submetida a compressão vale: A
N 
Denominamos essa tensão atuante de Tensão Crítica de Flambagem, onde N é a 
carga crítica de flambagem. Então podemos escrever: A
NCRIT
flCRIT _ 
A tensão de flambagem altera o estado de equilíbrio da peça. Então, para que a 
peça não venha a flambar, a tensão de compressão atuante na peça deverá ser 
menor do que a tensão crítica de flambagem, ou seja, flCRITA
P
_  . 
Fazendo  = CRIT_fl, teremos: 
 
Al
IE
A
l
IE
A
N
lf
flCRIT
fl
flCRIT
CRIT
flCRIT 




2
2
_
2
2
__


 
 mas: raio de giração: 
A
I
r
A
I
r  2 
então: 















2
2
_
2
2
2
_2
22
_2
2
_
r
l
E
r
l
E
l
rE
l
A
IE
flCRIT
fl
flCRIT
lf
flCRIT
lf
flCRIT



 
 
 
2
2
_ 
 E
flCRIT


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Então, para que se possa empregar a fórmula de Euler é necessário que se cumpra 
as condições: 
pflCRIT
E 

 


2
2
_
 p
E

 

2
 
onde: p: tensão de proporcionalidade do material 
 
Isto quer dizer que a fórmula de Euler só é aplicável em peças que flambam no 
regime elástico, ou seja, peças longas ou de grande esbeltez. 
 
Para o caso do aço: 
 
Conforme aumentarmos a esbeltez da peça, diminuímos a tensão de flambagem e 
lim é a esbeltez limite da validade da expressão de Euler. 
 
O gráfico mostra que para peças com pequena esbeltez, será necessária grande 
tensão para que a flambagem aconteça. 
 
Para  > lim → a peça é considerada muito esbelta e irá flambar com uma tensão de 
flambagem fl abaixo da tensão de proporcionalidade p. 
 
Para  < lim → a peça é considerada pouco esbelta e irá flambar com uma tensão 
de flambagem fl acima de p. Nesta situação é possível a 
ocorrência da ruptura por compressão antes da peça flambar. 
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Valores de para alguns materiais: 
Material p (kgf/cm2) E (kgf/cm2) lim 
Aço ABNT 1010 / 
1020 
2050 2.100.000 100 
Aço ABNT 1040 / 
1050 
2400 2.100.000 100 
Ferro fundido 1540 800.000 80 
Madeira 108.000 60 a 100 
Concreto 85 
Duralumínio 2000 750.000 59 
Pinho 99 105.225 100 
 
A flambagem que segue a equação de Euler é denominada de flambagem elástica 
( ≥ lim), uma vez que a tensão é menor que a tensão limite de proporcionalidade 
do material. A flambagem que não segue ( ≤ lim) é denominada de flambagem 
inelástica, uma vez que o padrão de comportamento é função do material da peça 
e o resultado apresenta grande dispersão. A flambagem inelástica ocorre na fase 
plástica. 
No caso de  < lim a tensão de flambagem fl é calculada pelas fórmulas de 
Gordon-Rankine, Tetmajer ou Johnson. 
 
Então: 
 
Se:  ≥ lim  Região elástica 
 Valem as equações de Euler: 
2
2
fl
fl l
IE
N



 
2
2

 E
fl

 
Se:  < lim  Região não elástica 
 Valem as fórmulasempíricas para a obtenção de tensões 
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Para  ≤ lim → Regime não elástico → Utilizamos as fórmulas empíricas: 
 
Algumas fórmulas empíricas: 
a) Fórmula de Gordon-Rankine: 
21 



 o
fl 
onde: o = tensão limite de resistência a compressão 
  = esbeltez 
  = coeficiente do material, obtido em laboratório 
 
b) Fórmula Tetmayer: 2  baofl 
onde: “a” e “b” = são coeficientes do material. À exceção do ferro fundido, 
o coeficiente “b” é muito pequeno e pode ser desprezado. 
 Então:   aofl 
 Obs.: para aços: a = 0,005 
 
c) Fórmula de Johnson: 2  Cofl 
onde: o = tensão de escoamento do material na compressão 
 = esbeltez 
C = coeficiente do material e deve concordar com a curva de Euler. 
 C.S.: de 2 a 3 → aço 
 de 3 a 5 → madeira, ferro fundido 
 
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Exercícios: 
 
1 – Dada uma coluna de aço, bi-rotulada, com seção reta de 40 x 60 mm, 
determinar a altura mínima “h” que deverá ter essa coluna, quando axialmente 
comprimida, a fim de ser possível a aplicação da fórmula da carga crítica de 
Euler. 
 Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; p = 2000 kgf/cm2 
 
2 – Utilizando os dados do problema anterior e considerando a coluna bi-engastada, 
calcular a altura mínima “h” para que a fórmula de Euler seja aplicável. 
 
3 – Qual deverá ser o diâmetro da barra de aço, com extremidades bi-rotuladas, 
suportando uma carga de 2,0 tf, para que a peça não venha a flambar. 
 Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
4 – Calcular a carga máxima que poderá ser aplicada ao sistema estrutural abaixo, 
de maneira que não haja flambagem na barra, de seção transversal retangular. 
Aplicar o fator de segurança igual a 1,2. 
Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; F.S. = 1,2 
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5 – Calcular o valor máximo que o pilar poderá suportar sem flambar. Considerar o 
coeficiente de segurança a flambagem igual a 2,0. Verificar também a tensão 
crítica de flambagem. 
Dado: E = 2 x 106 kgf/cm2 
esc = 2530 kgf/cm2 
LIM = 100 
 
 
6 – Calcular o valor da carga máxima que poderá ser aplicada na seção abaixo. 
Utilizar um fator de segurança a flambagem igual a 2,0. 
Dados: esc = 2530 kgf/cm2 ; F.S. = 2,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – A coluna de alumínio possui 5 m de altura. Calcular a carga máxima P que pode 
ser aplicada a coluna de maneira que a mesma não venha a flambar e nem 
escoar. 
 
Dados: E = 70 GPa Seção transversal 
 (em milímetros) 
esc = 95 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
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8 – O pilar metálico é construído a partir de um perfil laminado W 200 x 86 kgf/m, 
em aço ASTM A 572, grau 50, com 5,50 m de altura. Calcular a máxima carga 
de compressão que poderá ser aplicada no pilar metálico, utilizando um 
coeficiente de segurança igual a 1,2. Verificar a tensão crítica de flambagem. 
 
Dados: E = 200 GPa 200 kN/mm2 
 esc = 0,0345 MPa = 34,50 kN/mm2 
 Área = 11090 mm2 
 Ix = 94,98 x 106 mm4 
 Iy = 31,39 x 106 mm4 
 
 
 
 
9 – Calcular o maior valor possível para a força F que poderá ser aplicado à 
estrutura, utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,0 na flambagem do 
perfil horizontal AB. Calcular também o diâmetro mínimo para o tirante BC, 
utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,5. 
 
Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
Características das Peças 
Tirante (BC) Perfil horizontal (AB) 
Material: aço CA 50 B Tipo: I 6” x 18,5 kg/m – ASTIM A 36 
esc = 5000 kgf/cm2 Área = 23,6 cm2 
Coeficiente de segurança:  = 1,5 Ix = 919 cm4 
 Iy = 76 cm4 
 rx = 6,24 cm 
 ry = 1,79 cm 
 
 
 
 
 
 
 
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10 – O pórtico metálico é interligado por pinos nas suas extremidades e está 
submetido a uma carga uniformemente distribuída de 3 kN/m. Verificar se o 
pilar, de seção transversal retangular 20 mm x 30 mm, irá flambar. Considerar 
um coeficiente de segurança igual a 1,2 contra a flambagem. 
 
Dados: E = 210 GPa = 210 kN/mm2 
 esc = 350 MPa = 0,35 kN/mm2 
 F.S. = 1,2