GEOTECNIA EXPERIMENTAL - RESUMO DAS AULAS 1 E 2

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Disciplina:
Geotecnia Experimental (CIV - 2553)
Prof. Vitor Nascimento Aguiar
aguiar@puc-rio.br
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Curso de Pós-graduação em Engenharia Civil
Resumo das aulas 1 e 2:
Análise de tensões e deformações: revisão de 
alguns conceitos
11
1- Tensões em um meio contínuo
Para quantificar as forças internas em um ponto M pertencente ao plano S, 
tome-se em S um elemento de área DA contendo o ponto M.
Define-se o vetor tensão no ponto M associado ao plano S, cuja normal é 
o vetor , como:
22Atenção: o vetor tensão em um ponto está sempre associado a um plano.
I II
Plano s DA I
DA
DA N~
~N
~dF
N~
~DF
1.1- Conceito de tensão
Deve-se fixar o ponto e o plano.
33
Fixando-se um referencial cartesiano x, y, z, o vetor , que atua em uma 
faceta DA cuja normal é o vetor unitário e que contêm o ponto M, pode 
ser divido nas componentes: , , .
M
N
z
x y
z
x
y
N~
~

~
Atenção: componentes do vetor tensão atuante em um ponto e em um plano
44
Alternativamente, o vetor pode ser decomposto segundo as direções 
normal e paralela à faceta, recebendo as seguintes denominações: 
sn : componente normal do vetor tensão ou tensão normal
tn : componente tangencial (ou cisalhante) do vetor tensão ou tensão 
cisalhante
sN
N~
~

tN
Atenção: componentes do vetor tensão atuante em um ponto e em um plano.
Deve-se fixar o ponto e o plano.
55
O estado de tensões em um ponto está definido quando se conhecem os
vetores tensão que atuam nas facetas de um cubo infinitesimal que contêm o
ponto. Como por exemplo, as facetas cujos vetores normais estão nas
direções x, y, z do referencial cartesiano adotado.
Definido o estado de tensões em um ponto, pode-se calcular o vetor 
tensão atuante em qualquer plano naquele ponto. 
66
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
O vetor tensão pode ser dividido nas componentes , e :
O vetor tensão pode ser dividido nas componentes , e :
O vetor tensão pode ser dividido nas componentes , e :
77
1.2- Equações diferenciais do equilíbrio
Toma-se um cubo infinitesimal de dimensões dx, dy, dz, no qual atua uma
força de massa (força por unidade de volume) cujas componentes são
designadas por Fx, Fy e Fz, nas direções x, y e z, respectivamente.
88
Fazendo o equilíbrio de forças na direção x:
Fazendo o equilíbrio de forças na direção y:
Fazendo o equilíbrio de forças na direção z:
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a x e
passando pelo centro do cubo:
99
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a y e
passando pelo centro do cubo:
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a z e
passando pelo centro do cubo:
As tensões cisalhantes atuantes em planos ortogonais que
convergem para (ou divergem da) mesma aresta são iguais.
1010
Uma vez conhecidas as tensões em três facetas ortogonais entre si, é possível
determinar o vetor tensão numa faceta qualquer cujo vetor unitário é .
1.3- Tensão em um plano qualquer
O vetor unitário normal à faceta ABC é dado pelos cosenos diretores l, m , n ,
onde: , , .
 
1111
Vetor Vetor
Sob a forma matricial: 
Tensor das tensões 
escrito em relação ao 
sistema cartesiano x, y, z
Por equilíbrio de forças na direção x :
Por equilíbrio de forças na direção y :
Por equilíbrio de forças na direção z :
O tensor das tensões é uma matriz simétrica.
1212
Para determinar o vetor tensão numa faceta cujo vetor unitário seja 
basta multiplicar a matriz de tensões pelo vetor unitário normal à 
faceta. 
Portanto: 
Para obter as tensões normal e cisalhante na faceta ABC, basta fazer:
(produto escalar)
 
• Em qualquer estado tensional, demonstra-se que existem três facetas
ortogonais entre si nas quais o vetor tensão é normal a direção das
facetas, ou seja, não existem componentes cisalhantes.
1313
• Essas facetas são chamadas de planos principais, as direções normais
a estas facetas são chamadas de direções principais, e as tensões
que nelas atuam são chamadas de tensões principais.
• O tensor das tensões escrito em relação ao sistema das direções
principais é:
Tensão principal maior
Tensão principal intermediária
Tensão principal menor
onde: s1, s2 e s3 são as tensões
principais com:
1.4- Planos, direções e tensões principais
1414
1.5- Representação gráfica de um estado tensional (em um ponto)
De posse de s1, s2 e s3, são construídos três círculos de Mohr.
Demonstra-se que todas as facetas, onde atuam sn e tn, correspondem a pontos 
P localizados na região delimitada pelos três círculos (lúnula de tensões).
O1: ponto médio entre s2 e s3
O2: ponto médio entre s1 e s3
Na faceta genérica representada pelo ponto P e cuja normal tem cosenos
diretores em relação aos eixos principais: , , 
, atuam um vetor tensão de componentes sn e tn.
O3: ponto médio entre s1 e s2
Estado tensional em um 
ponto definido pelas 
tensões principais
1515
As circunferências que delimitam a lúnula de tensões, correspondem 
respectivamente a: , , . 
Uma circunferência de centro em O1 e raio r sendo
representa todas as facetas que têm um certo . 
Analogamente para aquelas de centro em O2 correspondem a e 
para aquelas de centro em O3 correspondem a .
ver observações das 
folhas 9 e 10
1616
Determinação gráfica das componentes sn e tn de um vetor que atua 
em uma faceta cuja normal é o vetor unitário 
1717
1.6-Tensões octaédricas
O vetor normal ao plano octaédrico faz o mesmo ângulo com as três
direções principais.
Seus cosenos diretores são iguais a:
= = 
+ + = 1
Então:
 
(Regra de Euler)
: vetor unitário normal ao plano octaédrico
1818
Então o vetor tensão que atua no plano octaédrico é calculado como:
 
 
 
(Produto escalar)
 
 
 
= Vetor tensão
que atua na
faceta
octaédrica
Média das tensões
principais
=
1919
O sistema de eixos ortogonais X, Y, Z está fixo no espaço.
O sistema de eixos ortogonais x, y, z está fixo no corpo sólido.
Deslocamento de corpo rígido As coordenadas de todos os pontos do corpo 
referidos ao sistema x, y, z não variam.
NÃO HÁ DEFORMAÇÃO DO CORPO
2- Deformações em um meio contínuo
2.1- Conceito deformações
2020
Deslocamentos de pontos 
no interior do corpo
Deslocamento 
de corpo rígido
+
Deslocamentos que 
produzem mudança de 
volume e/ou forma
O movimento de corpo rígido pode ser eliminado mediante 
a introdução de vínculos adequados.
Após a deformação, o ponto A (x, y, z) passa a 
ocupar a posição A* (x + u, y + v, z + w)
é uma função vetorial em (x, y, z):
: vetor deslocamento do ponto A que pode ser escrito pelas suas componentes u, v, w
+ + 
Essas funções definem o campo de deslocamentos do corpo. 
2121
Componentes de deformação
Deformação específica
linear
angular (ou distorção)
Deformação específica linear Em um ponto A e na direção S, considera-se o 
segmento elementar AB de comprimento ds. 
Define-se a deformação específica linear es no 
ponto A e na direção S como:
∗ ∗ ∗
O comprimento final do segmento é dado por:
∗
OBS: se em vez da direção S for tomada a direção x, então: e 
Tem-se ainda: e
2222
Deformação específica angular (ou distorção)
Em um ponto A e nas direções ortogonais s e t
consideram-se os segmentos elementares AB e AC de
comprimentos ds e dt, respectivamente.
Define-se a deformação específica angular (ou distorção) gst no ponto A e associada 
às direções s e t como sendo a redução do ângulo (originalmente reto) entre AB e 
AC, ou seja:
OBS: se em vez da direção s e t for tomada a direção x e y, então:
2323
1- O estado dedeformação em um ponto A fica completamente determinado se forem
conhecidas as componentes de deformação (deformações específicas lineares) em três direções
ortogonais e as distorções associadas a essas mesmas direções no ponto.
2- Referindo-se ao sistema cartesiano x, y, z, tem-se as componentes de deformação:
3- Sendo conhecidas estas componentes, pode-se calcular a deformação linear específica numa 
direção qualquer, e a deformação específica angular (distorção) associada a um par de direções 
ortogonais quaisquer no ponto.
4- A deformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, 
isto é, as componentes de deformação como funções das coordenadas (x, y, z) de cada ponto 
do corpo:
 (x, y, z)
 (x, y, z)
 (x, y, z)
 (x, y, z)
 (x, y, z)
 (x, y, z)
2424
2.2 Relações deformação-deslocamento
Hipótese básica
• As deformações e os deslocamentos são pequenos. 
• As componentes de deformação e as rotações (expressas em 
radianos) sofridas pelos segmentos elementares são pequenas. 
 
A partir dessas hipóteses básicas, são deduzidas as
seguintes expressões que refletem as relações deformação-
deslocamento (ver por Villaça e Garcia, 2000).
 
 
 
 
 
A partir dessas 6 equações são deduzidas 
6 equações de compatibilidade de 
deformações necessárias para garantir um 
campo de deslocamentos contínuo.
Deriva-se as 6 equações em relação a x, y e z, 
e combina-se as equações de forma a eliminar 
as componentes de deslocamento u, v e w.
2525
2.3- Deformações Principais
Num ponto de um sólido submetido a um estado de deformação, existem 3 direções 
ortogonais segundo as quais a distorção é nula. As deformações específicas lineares 
em tais direções são as deformações principais e1, e2, e3 (e1 ≥ e2 ≥ e3 ≥).
Atenção: Assim como as tensões cisalhantes são iguais a zero nos planos principais
de tensões, as distorções são iguais a zero nos planos principais de deformação.
2.4- Relação entre gxy e exy
= 
= 
= = 
Tem-se que:
Mas:
Então: e
Da mesma forma:
= = e
2626
2.4- Lei de Hook generalizada
Relações que ligam as componentes de deformação específica 
às componentes de tensão, caracterizando o comportamento do 
material.
Equações constitutivas
Material homogêneo Possui as mesmas propriedades em todos os pontos.
Material isotrópico Em cada ponto as propriedades são as mesmas em todas as direções.
Material elástico Propriedade de se deformar sob a ação de um estado de tensões e 
de retornar à sua forma original uma vez cessada a ação do estado 
de tensões que provocou a deformação.
Material elástico linear as deformações específicas estão relacionadas às componentes 
de tensão por expressões lineares.
Lei de Hook generalizada – Matriz constitutiva
2727
 
Completar a matriz 
constitutiva analisando os 
efeitos de cada componente 
de tensão, agindo 
isoladamente, em cada 
componente de deformação.
2828
Constantes elásticas
sx agindo isoladamente: 
E : módulo de elasticidade longitudinal (ou módulo 
de Young)
Por definição:
O alongamento longitudinal na direção x, provoca contrações transversais nas direções
y e z (efeito de Poisson) ocasionando deformações específicas lineares ey e ez.
Por definição:
Provoca alongamento na direção x:
onde n é chamado de coeficiente de Poisson.
2929
ou G : módulo de elasticidade transversal
Constantes elásticas
txy e tyx agindo isoladamente: 
Por definição: 
3030
Lei de Hook generalizada
E : módulo de elasticidade 
longitudinal (ou módulo de Young)
G : módulo de elasticidade transversal
n : coeficiente de Poisson
Material homogêneo, isotrópico, linearmente elástico:
2.5- Relação entre E, n e G
E, G e n não são independentes
3131
Demonstração:
Estado de cisalhamento puro:
Material homogêneo, isotrópico e linearmente elástico
Estado plano de tensão:
=
Mas:
Então:
 
Mas:
 
Então:
Logo:
 
3232
Deslocamento do ponto C na direção 
perpendicular ao segmento CD (direção y):
 
Deslocamento do ponto D na direção 
perpendicular ao segmento CD (direção y):
Deslocamento relativo do ponto C em relação ao ponto 
D na direção perpendicular ao segmento CD (direção y):
 
     
O segmento AB mede:
 
Então:
 
  Logo:
3333
Mas, por definição:
Como: , e=
 
Então: