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Disciplina: Geotecnia Experimental (CIV - 2553) Prof. Vitor Nascimento Aguiar aguiar@puc-rio.br Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Curso de Pós-graduação em Engenharia Civil Aula 1: Análise de tensões: revisão de alguns conceitos 1 1- Forças As forças internas são transmitidas no interior de um corpo sólido por interação entre suas moléculas. As forças internas são decorrentes da ação do meio exterior sobre o corpo (forças externas), e podem ser de dois tipos: forças de volume (ou forças de massa) e forças de superfície. Forças de volume (ou forças de massa): 2 São exercidas por ação de um campo (gravitacional, magnético, etc..) e agem em todo o volume (ou massa) do corpo. São especificadas em termos de força por unidade de volume. Forças de superfície: São exercidas diretamente através do contato de um corpo sobre o outro e agem ao longo da superfície de contato. São especificadas em termos de força por unidade de área. 2- Tensões em um meio contínuo 3 Seja um corpo em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças externas. Seccionando-o ao longo da seção S e tomando o equilíbrio de forças em qualquer uma das partes, tem-se que as forças internas f correspondem à ação de uma parte do corpo sobre a outra. As forças internas são forças de superfície. 2.1- Conceito de tensão I II S I S II S f f 2- Tensões em um meio contínuo Para quantificar as forças internas em um ponto M pertencente ao plano S, tome-se em S um elemento de área ∆A contendo o ponto M. Define-se o vetor tensão no ponto M associado ao plano S, cuja normal é o vetor , como: 4 O vetor tensão em um ponto está sempre associado a um plano. I II Plano s ∆A I ∆A ∆A N ~ ~ ρN ~ dF N ~ ~ ∆F �̰ ρ̰� = lim →� ΔF̰ ΔA 2- Tensões em um meio contínuo 5 Fixando-se um referencial cartesiano x, y, z, o vetor , que atua em uma faceta ∆A cuja normal é o vetor e que contêm o ponto M, pode ser divido nas componentes: , , ρ� ρ� ρ� 2.2- Decomposição do vetor tensão ρ̰� n̰ M N z x y ρz ρx ρy N ~ ~ ρ ~ 6 Alternativamente, o vetor pode ser decomposto segundo as direções normal e paralela à faceta, recebendo as seguintes denominações: 2- Tensões em um meio contínuo σN : componente normal do vetor tensão ou tensão normal τN : componente tangencial (ou cisalhante) do vetor tensão ou tensão cisalhante ρ̰� σN N ~ ~ ρΝ τN 7 2- Tensões em um meio contínuo O estado de tensões em um ponto está definido quando se conhecem os vetores tensão que atuam nas facetas de um cubo infinitesimal que contêm o ponto. Como por exemplo, as facetas cujos vetores normais são os eixos x, y, z do referencial cartesiano adotado. vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente.ḭ , j̰ , k̰ : 8 2- Tensões em um meio contínuo : vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário : vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário : vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário ρ̰� ḭ ρ̰� j̰ ρ̰� k̰ ρ̰� = σ� ḭ + τ�� j̰ + τ�� k̰ ρ̰� = τ�� ḭ + σ� j̰ + τ�� k̰ ρ̰� = τ�� ḭ + τ�� j̰ + σ� k̰ 2- Tensões em um meio contínuo Notação: faceta x faceta y faceta z direção x σx τyx τzx direção y τxy σy τzy direção z τxz τyz σz A faceta leva o nome da normal. σx : tensão normal na faceta x τzy : tensão cisalhante na faceta z com direção y Convenção de sinais Tensões normais: Em estruturas: positivas quando de tração. Em solos: positivas quando de compressão Tensões cisalhantes: Se estiver atuando numa faceta cuja normal exterior tem o mesmo sentido do eixo cartesiano, então é positiva se tiver o mesmo sentido do eixo cartesiano ao qual é paralela. 9 9 2- Tensões em um meio contínuo 2.3 – Equações diferenciais do equilíbrio No cubo infinitesimal atua uma força de massa (por unidade de volume) cujas componentes são designadas por Fx, Fy e Fz. F̰ F = F� ḭ + F� j̰ + F� k̰ 1111 2- Tensões em um meio contínuo σ� + ��� �� dx dy dz − σ� dy dz + τ�� + �$%� �� dy dx dz − τ�� dx dz Fazendo o equilíbrio de forças na direção x: + τ�� + �$&� �� dz dx dy − τ�� dx dy + F� dx dy dz = 0 Portanto: ∂σ� ∂x dx dy dz + ∂τ�� ∂y dy dx dz + ∂τ�� ∂z dz dx dy + F� dx dy dz = 0 Finalmente: ∂σ� ∂x + ∂τ�� ∂y + ∂τ�� ∂z + F� = 0 Equação diferencial do equilíbrio de forças na direção x 1212 2- Tensões em um meio contínuo Fazendo de forma análoga o equilíbrio de forças na direção y: ∂τ�� ∂x + ∂σ� ∂y + ∂τ�� ∂z + F� = 0 Equação diferencial do equilíbrio de forças na direção y Fazendo de forma análoga o equilíbrio de forças na direção z: ∂τ�� ∂x + ∂τ�� ∂y + ∂σ� ∂z + F� = 0 Equação diferencial do equilíbrio de forças na direção z 2- Tensões em um meio contínuo Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a x e passando pelo centro do cubo: τ�� dx dz ) * dy + τ�� + �$%& �� dy dx dz ) * dy - τ�� dx dy ) * dz − τ�� + �$&% �� dz dx dy ) * dz = 0 Eliminando os termos de ordem superior: τ�� dx dy dz - τ�� dx dy dz = 0 Finalmente: τ�� = τ�� 1313 1414 2- Tensões em um meio contínuo Analogamente, fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo ao eixo y e passando pelo centro do cubo: τ�� = τ�� Analogamente, fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo ao eixo z e passando pelo centro do cubo: τ�� = τ�� Conclusões extraídas das equações de equilíbrio de forças e de momentos: • As tensões cisalhantes atuantes em planos ortogonais que convergem para (ou divergem da) mesma aresta são iguais. • As equações de equilíbrio não são suficientes para resolver o problema. Trata- se, portanto, de um problema estaticamente indeterminado. • Temos 6 incógnitas: σ� , σ�, σ�, τ��, τ��, τ�� • 3 equações diferenciais de equilíbrio de forças (deduzidas anteriormente) Balanço do problema até agora: 1515 2- Tensões em um meio contínuo No desenvolvimento do problema ainda irão aparecer: • 6 componentes de deformação específica do elemento: ε� , ε�, ε� • 3 componentes do vetor deslocamento: u, v, w O problema torna-se determinado com a introdução de: • 6 equações de compatibilidade de deformações. • 6 equações de constitutivas (Lei de Hook Generalizada). Ver “Introdução à Teoria da Elasticidade”, S.F. Vilaça e L.F. Taborda Garcia, ed. COPPE/UFRJ, capítulos 1, 2 e 3. γ��, γ��, γ��3 lineares : 3 angulares (distorção) : relacionam as componentes de deformação específica com as componentes de deslocamento Ou seja, mais 9 incógnitas, totalizando 15 incógnitas. relacionam as deformações específicas com as componentes de tensão através de E, G e ν. 2- Tensões em um meio contínuo 1616 Uma vez conhecidas as tensões em três facetas ortogonais entre si, é possível determinar o vetor tensão numa faceta qualquer cujo vetor unitário é 2.4 – Tensão em um plano qualquer ρ̰� n̰ 1717 2- Tensões em um meio contínuo O vetor unitário é escrito a partir dos seus cosenos diretores:� Sendo , , , os vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente. ḭ j̰ k̰ Para determinar o vetor tensão que atua na faceta ABC é preciso escrever as equações de equilíbrio de forças nas direções x, y e z. n̰ = cos(α) ḭ + cos(β) j̰ + cos(γ) k̰ ρ̰� 1818 2- Tensões em um meio contínuo Fazendo o equilíbrio do tetraedro OABC: Primeiramente decompõe-se o vetor em suas componentes , , ρ�� ρ�� ρ�� Fazendo o equilíbrio de forças na direção x: ρ�� S 89 − σ� S:89 − τ�� S: 9 − τ�� S: 8 = 0 ρ�� S 89 = σ� S:89 + τ�� S: 9 + τ�� S: 8 ρ�� δA = σ� δA cos α + τ�� δA cos β + τ�� δA cos γ ρ�� = σ� cos α + τ�� cos β + τ�� cos γ Fazendo o equilíbrio de forças na direção y: ρ�� = τ�� cos α + σ� cos β + τ�� cos γ Fazendo o equilíbrio de forças na direção z: ρ�� = τ�� cos α + τ�� cos β + σ� cos γ <̰= ρ�� = σ� cos α + τ�� cos β + τ�� cos γ ρ�� =τ�� cos α + σ� cos β + τ�� cos γ ρ�� = τ�� cos α + τ�� cos β + σ�cos γ ρ�� ρ�� ρ�� = σ� τ�� τ�� τ�� σ� τ�� τ�� τ�� σ� cos α cos β cos γ 1919 2- Tensões em um meio contínuo Vetor Vetor Sob a forma matricial: Tensor das tensões escrito em relação ao sistema cartesiano x, y, z ρ̰� n̰M̰��� ρ̰� = M̰��� n̰ 2020 2- Tensões em um meio contínuo Para determinar o vetor tensão numa faceta cujo vetor unitário seja basta multiplicar a matriz de tensões pelo vetor unitário normal . Portanto: Para obter as tensões normal e cisalhante na faceta ABC, basta fazer: (produto escalar) τ� = ρ̰� * − σ� ? ρ̰� n̰ M̰��� n̰ σ� = ρ̰� ∘ n̰ 2- Tensões em um meio contínuo • Demonstra-se que existem três facetas ortogonais entre si nas quais o vetor tensão é normal a direção das facetas, ou seja, não existem componentes cisalhantes. 2121 • Essas facetas são chamadas de planos principais, as direções normais a estas facetas são chamadas de direções principais, e as tensões que nelas atuam são chamadas de tensões principais. • A matriz de tensões escrita em relação ao sistema das direções principais é: M̰)*A = σ) 0 0 0 σ* 0 0 0 σA 2.5 – Tensões principais σ) Tensão principal maior σ* Tensão principal intermediária σA Tensão principal menor onde: σ1, σ2 e σ2 são as tensões principais com: σ) ≥ σ* ≥ σA 2222 2- Tensões em um meio contínuo Dado um estado de tensões referido a um sistema x, y, z, procede-se da seguinte forma para determinar as tensões e direções principais: Uma vez que, em uma direção principal, o vetor tensão é normal ao plano, então é um múltiplo escalar do vetor normal ao plano principal . , onde σp é o valor do módulo do vetor tensão e que vem a ser o valor da tensão principal associado àquele plano principal. Para determinar as tensões principais e direções principais, escreve-se: Onde: matriz identidade 3x3 matriz nula <̰= <̰= � ̰ <̰=<̰= = C̰DEF �̰ = GH �̰ C̰DEF − GH Ḭ �̰ = 0̰ Ḭ 0̰ C̰DEF�̰ − GH�̰ = 0̰ 2323 2- Tensões em um meio contínuo GD JED JDE JDF GE JEF JFD JFE GF − GH 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L M � = 0 0 0 (GD−GH) JED JDE JDF (GE−GH) JEF JFD JFE (GF−GH) L M � = 0 0 0 Onde: l, m, n são os cosenos diretores do vetor normal L = cos (N) M = cos (O) � = cos (P) Portanto: Pela regra de Cramer, o sistema acima só tem solução não trivial se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo. Trata-se de um problema de autovalores-autovetores. C̰DEF − GH Ḭ �̰ = 0̰ �̰ repetindo : 2424 2- Tensões em um meio contínuo Desenvolvendo o determinante da matriz dos coeficientes, tem-se que: Q GH = GH A − I) GH * + I*GH − IA = 0 Q GH Autofunção ou função característica I) = GD + GE + GF I* = RST GD JDE JDE GE + RST GD JDF JDF GF +RST GE JEF JEF GF I* = GDGE + GDGF + GEGF − JDE * − JDF * − JEF * Onde: IA = RST GD JED JFD JDE GE JFE JDF JEF GF IA = GD GE GF − GDJEF * −GEJDF * − GFJDE * +2JDEJDFJEF I) , I* , IA Invariantes das tensões Assumem os mesmos valores qualquer que seja o sistema de eixos ortogonais adotado como referência Primeiro invariante de tensões Segundo invariante de tensões Terceiro invariante de tensões 2525 2- Tensões em um meio contínuo • As três raízes da equação característica são reais e correspondem às tensões principais σ1, σ2, σ3. São os autovalores da equação característica. • As três direções principais são os autovetores associados aos autovalores, e podem ser determinadas substituindo-se no sistema σp por σ1, σ2, σ3 para a determinação dos cosenos diretores (l = cos(α), m = cos(β), n = cos(γ)) das direções principais associadas às tensões principais maior, intermediária e menor, respectivamente. Lembrando que: Invariantes de tensão em relação ao sistema de eixos ortogonais correspondentes às direções principais: I) = G) + G* + GA I* = G)G* + G)GA + G*GA IA = G) G* GA Primeiro invariante de tensões Segundo invariante de tensões Terceiro invariante de tensões L* + M* + �*= 1 2626 2- Tensões em um meio contínuo 2.8 – Representação gráfica de um estado tensional – Círculos de Mohr De posse de σ1, σ2 e σ3, são construídos os círculos de Mohr abaixo. Demonstra-se que todas as facetas, onde atuam σn e τn, correspondem a pontos P localizados na região delimitada pelos três círculos (lúnula de tensões). O1: ponto médio entre σ2 e σ3 O2: ponto médio entre σ1 e σ3 Na faceta genérica representada pelo ponto P e cuja normal tem cosenos diretores em relação aos eixos principais: , , ,l̅ = cos (n, 1) mW = cos (n, 2) nX = cos (n, 3) atuam um vetor tensão ρn de componentes σn (normal) e τn (tangencial). O3: ponto médio entre σ1 e σ2 2727 2- Tensões em um meio contínuo As circunferências que delimitam a lúnula de tensões, correspondem respectivamente a: , , . l̅ = 0 mW = 0 nX = 0 Uma circunferência de centro em O1 e raio r sendo: representa todas as facetas que têm um certo . l̅ = cte Analogamente para aquelas de centro em O2 correspondem a e para aquelas de centro em O3 correspondem a . mW = cte nX = cte σ* − σA 2 \ r \ σ) − σ* + σA 2 2828 2- Tensões em um meio contínuo • Após a construção das circunferências que representam o estado tensional, marca-se o ângulo (a partir da vertical σ1); ficam definidos sobre as circunferências de centros em O2 e O3 dois pontos pertencentes à circunferência (dado do problema).L ̅ = cos NX Da mesma forma, marcam-se o ângulo ou (apenas um é suficiente), obtendo na interseção das circunferências e ou o ponto P, com suas coordenadas σn e τn (solução do problema). NX P̅ L ̅ = ^TS MW �X = ^TS O̅ 2- Tensões em um meio contínuo 2929 2.7 – Tensões octaédricas • O vetor normal ao plano octaédrico faz o mesmo ângulo com as três direções principais. Seus cosenos diretores são iguais a: cos(�, 1) = cos(�, 2) = cos(�, 3) Mas: l X* + m *+ n W * = 1 Então: L W = mW = nX = 3 ? 3 l̅ = mW = nX �̰ : vetor unitário normal ao plano octaédrico l̅ mW nX 2- Tensões em um meio contínuo 3030 Sabe-se que: Onde: e 3 ? 3⁄ 3 ? 3⁄ 3 ? 3⁄ Então: σ) 0 0 0 σ* 0 0 0 σA 3 ? 3⁄ 3 ? 3⁄ 3 ? 3⁄ Sabe-se que: (Produto escalar) σ`ab = σ) 3 ? 3⁄ , σ* 3 ? 3⁄ , σA 3 ? 3⁄ o 3 ? 3⁄ , 3 ? 3⁄ , 3 ? 3⁄ σ`ab = 1 3 σ) + 1 3 σ* + 1 3 σA σ) 3 ? 3⁄ σ* 3 ? 3⁄ σA 3 ? 3⁄ σ`ab = 1 3 σ) + σ* + σA ρ̰� = M̰)*A n̰ M̰)*A = σ) 0 0 0 σ* 0 0 0 σA n̰ = ρ̰� c ρ̰� c Vetor unitário normal à faceta octaédrica Vetor tensão que atua na faceta octaédrica σ`ab = ρ̰� ∘ n̰ Média das tensões principais 2- Tensões em um meio contínuo 3131 Sabe-se que: Mas: ρ� * = 1 3 σ) * + σ* * + σA * σ`ab * = 1 9 σ) * + σ* * + σA * + 2 σ) σ* + 2 σ) σA + 2 σ* σA Então: τ`ab * = 3 9 σ) * + σ* * + σA * − 1 9 σ) * + σ* * + σA * + 2 σ) σ* + 2 σ) σA + 2 σ* σA τ`ab * = 1 9 2σ) * + 2σ* * + 2σA * − 2 σ) σ* − 2 σ) σA − 2 σ* σA τ`ab * = 1 9 σ) * − 2 σ) σ* + σ* * + σ) * − 2 σ) σA + σA * + σ* * − 2 σ* σA + σA * τ`ab * = 1 9 σ) − σ* * + σ) − σA * + σ* − σA * τ`ab * = ρ� * − σ`ab * 2- Tensões em um meio contínuo Gefg = 1 3 G) + G* + G* Portanto: τefg = 1 3 G) − G* * + G) − GA * + G* − GA * ) *⁄ Finalmente: 3232 τefg = 1 3 G) − G* * + G) − GA * + G* − GA * ) *⁄