Dimensionamento de Estruturas de Concreto

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Universidade de São PauloUniversidade de São Paulo
Escola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia Civil
PEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas 
e Fundaçõese Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de 
Dimensionamento de Estruturas de 
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Solicitações Tangenciais
Professores: Túlio N. Bittencourt 
Rui Oyamada
ES25ES25
ES025ES025
Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de 
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
____________________________________________________
Objetivos:
• Transmitir os conceitos fundamentais de 
dimensionamento de estruturas de concreto: 
vigas, lajes e pilares
• Introduzir os avanços tecnológicos provenientes da 
atualização das normas técnicas.
• Aplicar técnicas computacionais disponíveis.
Aula 04 - Solicitações Tangenciais
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ES25ES25
Dimensionamento à torção
______________________________________________________________________
1.Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade 
 
1.1.Torção de Saint Venant 
 
1.2.Arranjo Usual das Armaduras para Resistir à Torção 
 
1.3.Comportamento da Viga de Concreto Armado sujeita à Torção 
 
 
2.Dimensionamento 
 
ES25ES25
Dimensionamento à torção
______________________________________________________________________
.
.
Torção de equilíbrio e torção de compatibilidade
l
A
B
c
TA=m l / 2
TB=m.l / 2
p
m=p.c2/2
A
B
P A
B
P
TA
TB
R
T
R
a
b
TA=T.b / l
TB=-T.a / l
3
ES25ES25
Dimensionamento à torção
______________________________________________________________________
.
Torção de Saint Venant
T
T
T
T
ES25ES25
Dimensionamento à torção
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Arranjo Usual das Armaduras 
* armadura longitudinal
diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do estribo (não 
menor do que 10 mm);
garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto às extremidades 
do trecho sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo da barra;
distribuição uniforme da armadura longitudinal no perímetro da seção.
* armadura transversal (estribos)



≤
cm
d
st 20
3/
4
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Dimensionamento à torção
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.
Comportamento da viga de concreto armado sujeita à torção
T
l
l θ⋅⋅= )k(T t
l
θ
kt
T
b
h
h/b = 1
h/b = 6
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Elementos lineares sujeitos à torção - Estado limite último
Resistência do elemento estrutural- Torção pura
TSd ≤ TRd,2
TSd ≤ TRd,3
TSd ≤ TRd,4
TRd,2 limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto
TRd,3 limite definido pela parcela resistida pelos estribos 
TRd,4 limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais
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ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Seções poligonais convexas cheias
he ≤ A/µ
he ≥ 2 c1
A é a área da seção cheia;
µ é o perímetro da seção cheia;
c1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto 
e a face lateral do elemento estrutural
Ae he
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Prescrições da NB1-2003 
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Seção composta de retângulos
i
3
i
i
3
i
SdSdi ba
baTT
Σ
=
a é o menor lado do retângulo;
b é o maior lado do retângulo
Seções vazadas
Deve ser considerada a menor espessura de parede entre
- a espessura real da parede;
- a espessura equivalente calculada supondo a seção 
cheia de mesmo contorno externo da seção vazada.
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ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
TRd2 = 0,50 αv fcd Ae he sen 2 θ
TRd3= (A90 / s) fywd 2Ae cotg θ
fywd é a resistência de cálculo do aço da armadura passiva limitada a 435 MPa
θ: inclinação da biela
TRd4= (Asl/ ue). 2Ae fywd tg θ
Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais
ue é o perímetro de Ae





 −=α
250
f
1 ck
V fck em (MPa)
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Prescrições da NB1-2003 
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Torção e força cortante
1
22
≤+
Rd
Sd
Rd
Sd
T
T
V
V
VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem 
concomitantemente na seção.