Matematica aplica ao geoprocessamento

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Geoprocessamento
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
matemática 
aplicada ao
Indaial – 2023
1a Edição
Impresso por:
Elaboração:
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
Copyright © UNIASSELVI 2023
 Revisão, Diagramação e Produção:
Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI.
Núcleo de Educação a Distância. CARVALHO, Cibelle Machadi.
Matemática Aplicada ao Geoprocessamento. Cibelle Machadi Carvalho. 
Indaial - SC: Arqué, 2022.
263p.
ISBN 978-65-5466-215-4
ISBN Digital 978-65-5466-213-0
“Graduação - EaD”.
1. Coordenadas 2. Espaço 3. Conjunto 
CDD 510
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Caro aluno, seja bem-vindo à Disciplina de Matemática aplicada ao geoprocessa-
mento. Sabemos que a sociedade vive uma realidade com diversas tecnologias. Dentro 
desse contexto que revoluciona o dia a dia das pessoas, o geoprocessamento não é 
diferente, já que também necessita de elementos matemáticos para as construções 
dessas informações.
As técnicas matemáticas são primordiais para o tratamento de informação 
geográfica, em que a linguagem matemática é a base para o desenvolvimento dos recursos 
de modelagem em geoprocessamento. Vale destacar que os modelos espaciais ou modelos 
de sistemas são descrições matemáticas de processos complexos que interagem entre si, 
ou seja, enfatizando as interações entre todos os componentes do sistema.
Um exemplo disso são os Sistemas de Posicionamento Global (GPS) que 
utilizamos no nosso dia a dia. Esse sistema via satélite facilita a navegação, localização 
e o reconhecimento de qualquer lugar do planeta Terra. Esse método é utilizado 
cientificamente para a coleta de dados com precisão de horário em microssegundos de 
quando a amostra foi obtida. Um outro exemplo para a modelagem hidrológica é que 
necessitamos de dados diários de precipitação, vazão, localização da bacia hidrográfica, 
a fim de desenvolvermos os balanços hídricos. Esse processo facilita o conhecimento da 
quantidade de água que cada bacia hidrográfica tem para fins de licenciamento e outorga 
(licença do uso da água) de indústrias e agronegócio, visto que a legislação retrata a água 
como bem público e há a necessidade de gestão hídrica para todos da população.
No geoprocessamento, para compreender os dados históricos dos fenômenos, 
é utilizada a série temporal, que nada mais é do que o tempo em uma linha de análise, 
ou seja, é encadeada por observações de uma variável no tempo. Com esse processo, 
podemos entender o clima da região, a quantidade de chuva anual em determinada região, 
a média da temperatura em cidades e a previsibilidade de chuvas em regiões de seca. 
Além disso, podemos desenvolver gestão de riscos em áreas de inundação, 
reconhecendo o padrão das inundações por meio das séries temporais. Vale lembrar 
que o uso do geoprocessamento e do sensoriamento remoto no mundo atual torna-se 
imprescindível, considerando que o tempo é marcado pela informação. 
 
Esse processo só é viável devido à Matemática, que é a base das técnicas 
de coleta e referências geográficas. A sociedade atual está cada dia mais ligada aos 
sistemas de informações e às técnicas computacionais. O tempo é marcado pela informação 
e a atualização dos dados para o bom funcionamento. Quer um exemplo disso além 
do GPS? Celulares, carros, aplicativos, Google Maps e Google Earth. 
 
APRESENTAÇÃO
Além disso, tarefas que eram executadas de forma remota e com cálculos feitos à 
mão hoje são feitas pela programação. Podemos estudar a cartografia, desenvolver análises 
ambientais, realizar planejamento urbano, utilizar transportes e comunicação devido ao 
geoprocessamento, que interage com sistemas complexos e executa com rapidez. 
Outra questão que merece breve menção são os modelos empíricos nas 
modelagens, que são probabilidades de ocorrência em dada perspectiva de projeção. 
Em outras palavras, utilizamos modelos matemáticos para descrever uma probabilidade 
de desmatamento, por exemplo.
Dessa forma, nesta disciplina, veremos a Matemática aplicada ao geoprocessa-
mento e entenderemos por que compreendê-la é tão importante para a formação em 
tecnologia em geoprocessamento.
Na primeira unidade, compreenderemos a importância da geometria plana, 
espacial e analítica, bem como suas aplicações para o geoprocessamento. Além disso, 
entenderemos a aplicação dos cálculos vetoriais, retas, planos e curvas para os sistemas 
geoespaciais, com discussões de superfície quadrática e as trigonometrias.
Na sequência, na Unidade 2, estudaremos os sistemas de coordenadas, ou seja, 
levantamento planimétricos, cálculos de área, pontos topográficos, transformações das 
coordenadas geográficas e suas funções.
Para finalizar a disciplina, na Unidade 3, discutiremos a aplicação da Matemática 
na interseção nas ferramentas de geoprocessamento, cálculos de vértices, desvio-
padrão e, por fim, exemplos da Matemática no dia a dia do analista de geoprocessamento! 
Espero que esta disciplina sirva para muitas reflexões e práticas no mundo da 
geoespacialidade!
Bons estudos!
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
Dra. em Engenharia – UFSM. Pós-doutorado em Modelagem Hidrológica – INPE
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SUMÁRIO
UNIDADE 1 — A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ....... 1
TÓPICO 1 — GEOMETRIA ......................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3
2 GEOMETRIA PLANA ............................................................................................. 5
3 GEOMETRIA ESPACIAL ..................................................................................... 13
4 GEOMETRIA ANALÍTICA .................................................................................... 21
4.1 SISTEMA ANGULARES .......................................................................................................31
RESUMO DO TÓPICO 1 ......................................................................................... 40
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................42
TÓPICO 2 — CÁLCULO VETORIAL ........................................................................45
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................45
2 ÁLGEBRA VETORIAL ..........................................................................................45
3 RETAS, PLANO E CURVAS .................................................................................54
3.1 CURVAS ESPACIAIS ...........................................................................................................57
3.2 SUPERFÍCIE QUADRÁTICA ..............................................................................................58
RESUMO DO TÓPICO 2 .......................................................................................... 61
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................62
TÓPICO 3 — TRIGONOMETRIA ..............................................................................65
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................65
2 CONHECENDO A TRIGONOMETRIA ...................................................................65
3 APLICAÇÃO DA TRIGONOMETRIA .................................................................... 72
LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................................. 75
RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................... 81
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................82
REFERÊNCIAS .......................................................................................................85
UNIDADE 2 — SISTEMAS DE COORDENADAS .....................................................87
TÓPICO 1 — LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO ....................................................89
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................89
2 A IMPORTÂNCIA DO LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO ...................................90
3 CÁLCULO DE ÁREAS ..........................................................................................94
4 POLIGONAL ..................................................................................................... 101
4.1 POLIGONAL ENQUADRADA ........................................................................................... 104
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................ 110
AUTOATIVIDADE .................................................................................................. 111
TÓPICO 2 — COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
CARTESIANAS ................................................................................ 113
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 113
2 COORDENADAS CARTESIANAS.......................................................................115
3 SISTEMA MÉTRICO .......................................................................................... 123
3.1 MEDIDAS ........................................................................................................................... 126
3.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE ............................................................................................. 128
3.3 MEDIDAS DE CAPACIDADE ..........................................................................................129
3.4 MEDIDAS DE VOLUME ................................................................................................... 130
3.5 MEDIDAS DE TEMPO ....................................................................................................... 131
4 TRANSPORTE DE COORDENADAS ................................................................. 132
5 CÁLCULO DE COORDENADA PLANIMÉTRICA ............................................... 139
RESUMO DO TÓPICO 2 ........................................................................................144
AUTOATIVIDADE .................................................................................................145
TÓPICO 3 — COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
POLARES .........................................................................................149
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................149
2 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ........................................................149
LEITURA COMPLEMENTAR ................................................................................ 156
RESUMO DO TÓPICO 3 .........................................................................................161
AUTOATIVIDADE ................................................................................................. 162
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 165
UNIDADE 3 — APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ....... 167
TÓPICO 1 — INTERSEÇÃO ................................................................................... 169
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 169
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................... 170
2.1 NÚMEROS NATURAIS ........................................................................................................171
2.2 NÚMEROS INTEIROS .......................................................................................................171
2.3 NÚMEROS RACIONAIS ....................................................................................................172
2.4 NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................................................173
2.5 NÚMEROS REAIS ..............................................................................................................174
2.6 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................174
3 INTERSECÇÃO DE RETAS ................................................................................ 176
4 VÉRTICES VIRTUAIS ........................................................................................181
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................185
AUTOATIVIDADE .................................................................................................186
TÓPICO 2 — DESVIO PADRÃO .............................................................................189
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................189
2 O QUE É O DESVIO PADRÃO E PARA QUE SERVE?.........................................190
2.1 MEDIDAS DE DISPERSÃO .............................................................................................. 190
2.1.1 Variância .....................................................................................................................192
2.1.2 Desvio padrão ...........................................................................................................197
2.1.3 Coeficiente de variação e amplitude total ........................................................ 201
3 APLICAÇÃO DO DESVIO PADRÃO NA PRÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ...... 205
RESUMO DO TÓPICO 2 ........................................................................................ 212
AUTOATIVIDADE ................................................................................................. 213
TÓPICO 3 — APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MATEMÁTICA NAS FERRAMENTAS 
DE GEOPROCESSAMENTO ............................................................. 215
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 215
2 MATEMÁTICA E O GEOPROCESSAMENTO ..................................................... 216
3 TIPOS DE DADOS GEOESPACIAIS E A MATEMÁTICA..................................... 219
4 IMAGEM DIGITAL .............................................................................................. 219
5 COMPREENDENDO A MATEMÁTICA ENVOLVIDA NO 
GEOPROCESSAMENTO ................................................................................... 221
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................... 223
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................... 229
AUTOATIVIDADE ................................................................................................ 230
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 233
1
UNIDADE 1 — 
A IMPORTÂNCIA DA 
MATEMÁTICA NO 
GEOPROCESSAMENTO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender a importância da geometria plana, espacial e analítica e suas aplicações 
para o geoprocessamento;
• entender a aplicação do cálculo vetorial, retas, planos e curvas para o sistema de 
geoprocessamento;
• discutir o que é uma superfície quadrática e sua aplicação nas ferramentas de 
geoprocessamento;
• analisar a trigonometria e sua aplicação no dia a dia.
 A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – GEOMETRIA 
TÓPICO 2 – CÁLCULO VETORIAL 
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
2
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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3
GEOMETRIA
TÓPICO 1 — UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO 
A geometria é o pilar que sustenta o desenvolvimento de atividades na área do 
geoprocessamento diariamente, devido à importância de compreender o universo da 
tecnologia da informação (que contém geometria computacional) e sua tridimensionalidade 
para a construção de problemas diversos (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Entretanto, para entendermos a geometria espacial aplicada a um Sistema de 
Informações Geográficas (SIG), por exemplo, precisamos compreender a geometria 
espacial, plana e analítica primeiro. Vale lembrar que sistemas como CAD (Computer 
Aided Design), ou seja, softwares que permitem que desenhos técnicos e modelos 3D 
digitais se tornem realistas, mas entender a geometria é fundamental devido à base 
para suas representações visuais.
A geometria é uma área da matemática que tem por objetivo estudar as formas 
geométricas e entender desde o comprimento, volume, área de uma determinada figura, 
mapa ou desenho. Em outras palavras, geometria é a união dos termos “geo” (terra) e 
“metron” (medir), ou seja, medir a Terra (COUCEIRO, 2016). 
A geometria nada mais é do que estudar as linhas presentes na natureza, bem 
como tamanhos, posições e propriedades dentro de um espaço qualquer. Quando 
analisamos os mapas, precisamos entender o que estamos estudando, e esse processo 
se deve aos pontos, retas, semirretas e formas geométricas.
Quando estudamos geometria, precisamos entender, primeiramente, as concep-
ções geométricas e o conceito de espaço, ou seja, pontos presentes no meio ambiente. 
Dessa forma, quando entendemos a descoberta das figuras, compreendemos que esse 
processo é um conjunto de pontos em um determinado espaço.
Vamos fazer um exercício? Olhe ao seu redor e perceba que tudo tem formas 
geométricas, cubos, quadrados, retas, pontos, círculos e polígonos. Esse processo é 
extremamente importante, visto que, no dia a dia no analista do geoprocessamento, é 
fundamental espacializar os mapas, mostrando as localizações, áreas de abrangência 
de um empreendimento, rios, áreas de preservação permanente, estradas, dentre 
outros. Contudo, deve-se entender não somente a forma, mas também a localização 
e a posição geográfica para que outros profissionais possam entender de forma clara a 
geoespacilidade.
4
Diante disso, estudar o comprimento, área e volume de um dado espaço, ou 
seja, tem por objetivo medir a Terra e/ou objeto. Vale a pena destacar que a geometria 
é dividida em categorias, que pode ser plana, analítica e espacial. A geometria é uma 
ciência que estuda as medidas das formas e figuras, podendo ser plana e/ou espacial, 
além disso, pode ser compreendida como as figuras estão posicionadas por meio do 
espaço e suas propriedades.
Outro aspecto que merece breve menção é que a geometria se refere às 
formas encontradas na natureza e às propriedades que essas formas podem possuir. 
Em outras palavras, são objetos primitivos, como ponto, reta, plano, espaço etc. Assim, 
os objetos não possuem uma definição, mas possibilitam entender a sua identificação 
(BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; NUNES, 2019).
Utilizando esses objetos primitivos, definiu-se as primeiras formas geométricas 
de um plano, que são os ângulos, os polígonos e os segmentos de reta. Assim, podemos 
estimar as distâncias entre dois pontos, construindo inicialmente a geometria espacial, 
por exemplo.
A geometria é responsável pelas figuras geométricas, resultantes das relações 
dos objetos e figuras. Além disso, a geometria é construída por meio de objetos básicos 
a fim de construir objetos mais elaborados. Esse processo decorre das relações desses 
objetos ainda mais complexos e assim sucessivamente. 
Entendemos que a geometria foi organizada pelos gregos a partir de formas 
dedutivas. Esse processo decorreu da necessidade do homem de compreender e 
descrever o seu meio ambiente físico e mental, em que as imagens, representadas por 
desenhos, foram paulatinamente contextualizadas até que se adquirissem significados 
matemáticos com as relações geométricas.
Durante séculos, a geometria foi estudada de forma dedutiva, no entanto, a partir 
de movimentos da matemática moderna, houve avanços, tendo como consequência a 
compreensão da geometria, visando ampliar o entendimento dos aspectos espaciais do 
mundo físico e desenvolver raciocínios espaciais.
Pavanello (2004) afirma que a geometria é um campo que tem por intuito 
desenvolver a capacidade de abstrair, projetar e transcender o que é imediatamente 
sensível, ou seja, o que éum dos objetivos de ensino da Matemática, obtendo, dessa 
forma, condições para os níveis sucessivos de abstração serem alcançados. Por fim, 
discutiremos neste tópico a importância da geometria plana, espacial e analítica e suas 
aplicações para o geoprocessamento e nos sistemas angulares.
Dessa forma, neste tópico, abordaremos o que é geometria plana, espacial, 
analítica e os sistemas angulares. Além disso, estudaremos cálculo vetorial, retas, 
planos, curvas, superfície quadrática e, para finalizar, discutiremos o que é trigonometria 
e suas aplicações.
5
2 GEOMETRIA PLANA
A geometria plana teve início da Grécia antiga, conhecida como geometria 
euclidiana plana. Essa denominação ocorreu devido ao estudioso matemático da área 
chamado de Euclides, de Alexandria, mais conhecido como pai da geometria (LEITE; 
CASTANHEIRA, 2014; COUCEIRO, 2016).
Para compreender a geometria plana, também conhecida como conceitos primiti-
vos, podemos entender que esses conceitos são denominados de ponto, reta, segmento 
de reta, semirreta, ângulo e plano.
A geometria plana é uma área da geometria que estuda os objetos que 
pertencem a um plano. Assim, os elementos primitivos são o foco desse conceito. Mas 
por que iniciarmos os estudos pela geometria plana? Ao analisarmos um mapa ou até 
o Google Maps, entendemos que o ponto, a reta ou a semirreta fazem parte desses 
softwares de localização.
O primeiro conceito da geometria plana é o ponto. Apesar de o ponto não possuir 
uma dimensão matemática, sua representação é conceituada por uma letra maiúscula, 
como na Figura 1 a seguir. Leite e Castanheira (2014) salientam que o ponto é definido 
por uma forma abstrata e não pode ser demonstrada, ou seja, não apresenta dimensões 
significativas, por isso que, matematicamente, utilizamos a letra maiúscula.
Figura 1 – Ponto não possui dimensão
Fonte: a autora 
A reta (Figura 2), ao contrário de um ponto, possui uma dimensão bem definida, 
ou seja, um comprimento. Matematicamente, a reta é definida por linhas infinitas, além 
de ter sua representação por uma letra minúscula. 
 
Vale destacar que a reta deve ser desenhada por setas para os dois lados. Esse 
processo indica que a reta não tem um fim. Dessa forma, a única dimensão significativa 
da reta é o comprimento. Além disso, por não existir uma definição principal, a reta é 
infinita e contém infinitos pontos distribuídos pela extensão da reta.
6
Figura 2 – Reta com dimensões definidas por infinitos pontos
Fonte: a autora 
A reta traz três conceitos importantes. O primeiro é o segmento de reta, 
definido como uma reta, mas delimitada por dois pontos, ou seja, a reta tem início e fim 
(LEITE; CASTANHEIRA, 2014; COUCEIRO, 2016). No geoprocessamento, utilizamos esse 
conceito quando um mapa aparece com retângulos pontilhados que podem representar 
um recorte de área, e essas representações têm diferentes espaços, comprimento e 
tamanho. 
Na Figura 3, a seguir, demonstramos que o segmento de reta tem definido o início 
e o fim por um ponto.
Figura 3 – Segmento de reta é delimitado por dois pontos
Fonte: a autora 
A semirreta é uma reta com começo, porém não tem fim. Em outras palavras, a 
semirreta é infinita em uma das direções (Figura 4).
Figura 4 – Semirreta
Fonte: a autora 
7
Na geometria, também existe o conceito de ângulo, que é utilizado para medir 
o espaço entre duas retas, segmentos de reta e semirretas. O ângulo é importante, pois 
podemos denominar a altura de um determinado prédio ou montanha no mapa. Além disso, 
na área ambiental, dependendo do ângulo do morro, compreendemos sua altura e, assim, 
diagnosticamos como área de preservação de acordo com as normativas brasileiras. 
Figura 5 – Ângulo
Fonte: a autora 
Há também o conceito de plano (Figura 6), que apresenta duas dimensões. O 
plano é representado por letras gregas (α, β, γ etc.). Além disso, o plano é um conjunto 
infinito de retas, e apenas três pontos são suficientes para determiná-lo.
Figura 6 – Plano
Fonte: a autora 
Diante disso, podemos compreender que sabemos muita coisa de geometria. 
Vejamos os seguintes exemplos: duas retas distintas não podem se cruzar em mais 
de um ponto; dois pontos distintos determinam uma reta; a menor distância entre dois 
pontos é uma reta e/ou segmento de reta; por um ponto não pertencente a uma reta 
passa uma única reta paralela a essa reta (BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; NUNES, 2019).
8
Nas afirmações supracitadas, utiliza-se conceitos de reta, ponto que acabamos 
entendendo por intuição. Os matemáticos da Grécia antiga já pensavam nessas questões 
muitos antes de Cristo (a.C.), e essas reflexões constituíram-se em modelos baseados em 
Euclides (COUCEIRO, 2016), que foram distinguidos na seguinte sequência:
• axiomas; 
•	 definições; 
• teoremas.
No entanto, na era moderna foi acrescentado mais uma sequência, denominado 
de elementos primitivos, que ficou assim definida:
• elementos primitivos; 
• axiomas; 
•	 definições; 
• teoremas.
Para podermos entender com melhor precisão, discutiremos as ideias de 
maneira intuitiva. Os elementos primitivos são coisas que não definimos. Declara-se 
que sua existência deve obedecer a certas leis, a qual chamamos de axiomas (noções 
indemonstráveis da geometria). Dessa forma, dentro de uma lógica matemática, resulta-se 
no que denominamos de teoremas. Na geometria plana, os elementos primitivos são os 
pontos, retas e planos. Vale destacar que o plano e a reta são conjuntos de pontos, e as 
retas, subconjuntos do plano.
Dessa forma, o plano é o conjunto universo, visto que nenhum elemento fora do 
plano é admitido, já que estamos falamos de geometria plana (BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; 
NUNES, 2019). A Figura 7, por si só, é um subconjunto de pontos do plano. Por exemplo, 
as retas são as figuras dos planos (ângulos, polígonos e circunferências).
Agora, veremos as principais figuras e fórmulas para se calcular a geometria 
plana. O triângulo, um polígono de três lados, é uma figura que ocupa espaço limitado 
por três segmentos de reta com três lados e três ângulos que somam 180o. Por possuir 
três pontos, denomina-se de vértice. Para se calcular a área do triângulo, é necessário 
multiplicar a medida da base com a altura (h) e dividir por dois, como no exemplo a seguir.
9
Figura 7 – Triângulo
Fonte: a autora 
Em que:
h= altura;
b= base;
A= área.
A classificação dos triângulos quanto aos lados pode ser: equilátero, ou seja, 
possuir três lados e ângulos iguais; isósceles, que possui dois lados iguais (o terceiro 
lado é chamado de base); e o escaleno, que não possui nenhum lado e ângulo igual.
Mas como utilizamos isso no dia a dia do geoprocessamento? Por exemplo, com as 
representações geométricas, em diversas ocasiões há diferentes escalas em um mesmo 
banco de dados geográficos, ou seja, pode-se ter representações diferentes com a mesma 
realidade e escala geográfica. Quer um exemplo na prática? Diferentes mapas podem ter 
escalas diferentes, ou seja, mesmo geo-objeto com duas representações.
Dando continuidade, há também a circunferência, que é um conjunto de todos 
os pontos que estão em exata distância de um ponto dado do mesmo plano. A área do 
círculo ou circunferência de raio é o r e é dado pelo produto do raio ao quadrado com o 
número irracional π, em que geralmente utiliza-se o valor π = 3,14.
Figura 8 – Circunferência
Fonte: a autora 
10
Em que:
A= área;
π = 3,14;
r = raio.
No geoprocessamento, em diversas situações precisamos compreender as áreas 
do empreendimento e utilizamos os cálculos de circunferência para entender a área ao 
redor da localização. Vale lembrar que a circunferência tem elementos que merecem 
breve menção, como a corda, que é qualquer segmento interno à circunferência com 
extremidades de dois pontos pertencentes a ela. Na Figura 9, a seguir, percebe-se que 
AB e MN são cordas da circunferência.
Pode-se notar que o diâmetro é a corda da circunferência que contém o centrodo círculo, sendo a maior corda. Na Figura 9, nota-se que AB representa um diâmetro 
da circunferência. Já o raio é qualquer segmento que se possa ligar ao centro da 
circunferência a um ponto qualquer. Na Figura 10, vemos que o ponto PQ gera um raio, 
metade do diâmetro (D= 2.R). Por fim, o arco é uma parte da circunferência definida 
como um ângulo central, determinado por dois pontos (Figura 11).
Figura 9 – Corda e diâmetro 
Fonte: a autora 
Figura 10 – Raio
Fonte: a autora 
11
Figura 11 – Arco
Fonte: a autora 
O quadrado (Figura 12) nada mais é que todos os lados iguais. Dessa forma, para 
se calcular a área, é necessário multiplicar a medida da base pela medida da altura. 
Figura 12 – Quadrado
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
b = base;
h = altura.
O retângulo é dado pela multiplicação da base pela altura. 
12
Figura 13 – Retângulo
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
b = base;
h = altura.
O losango é uma área da diagonal maior (D), com a diagonal menor (d), dividido 
por dois. Vale lembrar que, no losango, a disposição dos lados é igual, com diagonais 
perpendiculares. No entanto, os lados não paralelos não são perpendiculares entre si.
Figura 14 – Losango
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
D= diagonal maior;
d= diagonal menor.
Para finalizar as figuras geométricas planas, temos o trapézio. A área do trapézio 
é a altura com a soma da base maior (B) vezes a base menor (b), dividida por dois, de 
acordo com a Figura 15, a seguir.
13
Figura 15 – Trapézio
Fonte: a autora 
Em que: 
s = área do trapézio;
B = base maior;
b = base menor; 
h = altura.
3 GEOMETRIA ESPACIAL 
No Egito, a geometria era estudada para medir terrenos e os construtores 
da época recorriam a ela para a construção de edificações. Em 600 a.C., filósofos e 
matemáticos passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos no que antes era 
puramente experimental, introduzindo conceitos e raciocínios dedutivos.
Euclides desenvolveu treze volumes, chamados de elementos. O autor os 
ordenou de forma e ordem lógica e trabalhou a fundo nas propriedades das figuras 
geométricas, áreas e volumes (DANTE, 2000). Para Euclides a geometria era puramente 
dedutiva, com hipóteses básicas denominadas de axiomas ou postulados. Vale destacar 
que Euclides era um dos mais jovens discentes de Platão, estudando em Atenas, onde 
a grande maioria dos estudiosos da época estava.
Dessa forma, os elementos tornaram-se um clássico, considerados até hoje 
como um texto básico para a geometria. Essa obra logo superou e aperfeiçoou todos 
os teoremas da época, montando demonstrações sólidas. Assim, a geometria é uma 
manifestação que surgiu da necessidade prática do uso, espaço e utilização das formas 
e para que houvesse riqueza e variedade em diferentes atividades. Diante disso, o 
conhecimento prático para sistematizar conceitos formais foi criando modelos, figuras 
e formas geométricas, além da busca incessante para entender as formas espaciais.
14
Atualmente, diversos profissionais usam os conceitos geométricos, entre eles 
o analista de geoprocessamento, os engenheiros, os arquitetos, os pesquisadores, as 
costureiras e o mestre de obras, demonstrando a inquestionabilidade do ponto de vista 
prático.
Até quando somos crianças necessitamos pensar e elaborar a geometria para 
solucionar problemas, como criar brinquedos, pintar ou montar um equipamento. Apesar 
dos grandes avanços tecnológicos, a geometria é um componente essencial para a 
construção do conhecimento científico e tecnológico, nos quais a sociedade deve se 
aprofundar.
Verona e Lopes (2016) salientam que a geometria espacial é uma ciência que 
objetiva analisar, organizar e sistematizar o conhecimento espacial. Assim, a geometria 
faz que possamos adquirir hábitos de raciocinar. Em outras palavras, o conhecimento da 
Matemática é necessário para poder conquistar o conhecimento tecnológico, incluindo 
suas complexas técnicas. 
As ideias e os princípios básicos do conhecimento da geometria espacial são 
imprescindíveis, visto que a Matemática e a compreensão dos seus conceitos fazem 
com que os seres humanos raciocinem claramente e comuniquem a ideia, para que, 
assim, possam aplicá-la e abordá-la com segurança.
A geometria espacial aplica-se à vida diária e dá suporte a distintas áreas, como 
construções dos conhecimentos científicos e tecnológicos e interfere na estrutura do 
pensamento (VERONA; LOPES, 2016). Mas como compreender a geometria espacial? 
Primeiramente, é fundamental entender que a geometria é baseada na construção e 
interpretação das propriedades dos objetos geométricos e a solução está em observar 
e compreender as relações e criar uma demonstração formal da validade do resultado.
A geometria espacial numa perspectiva contextualizada enfatiza a relação do 
espaço e a geometria percebida. O desenvolvimento da noção de espaço é a percepção 
espacial e a habilidade de orientar-se no espaço, coordenar diferentes ângulos na 
observação. Diante disso, essas habilidades contribuem para que os seres humanos 
tenham maior grau de conhecimento em atividades como bioquímica, cirurgia, escultura, 
arquitetura, decoração etc.
Neste subtópico, estudaremos as figuras reais, diferentes da geometria plana, que 
apenas é trabalhada duas dimensões. Para entendermos melhor a geometria espacial, 
precisamos entender que o geoprocessamento é um conjunto de ferramentas que exibe 
dados espaciais do mundo real para um conjunto particular de propósitos (BURROUGH; 
MCDONNELL, 1998). 
15
Logicamente, o sistema de informação geográfica evoluiu e os mapas que até 
então era denominados de mapas elementares, com avanços da tecnologia também 
houve avanços do geoprocessamento. Assim, os computadores começaram a medir 
as dimensões e limitavam as organizações, com refinamento de técnicas e análises 
quantitativas espaciais de forma rápida. 
Dessa forma, a geometria espacial considera as três dimensões das figuras. As 
medidas de comprimento e área são analisadas juntamente com as laterais das figuras, 
além da área total, área de base e volume (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). A geometria 
espacial é a análise dos sólidos em um determinado espaço, sendo a geometria para figuras 
e objetos tridimensionais. Contudo, com base nos elementos primitivos e construções 
geométricas, foi construída a geometria espacial, que tem por objetivo considerar o 
cálculo da área total e volume dos objetos.
Vale destacar que, com esses conceitos bases, pode-se desenvolver estudos 
qualitativos no geoprocessamento, como distribuição espacial de problemas como 
doenças em forma de um padrão em determinado espaço ou concentração espacial de 
roubo, poluição, contágios ou variações de características socioeconômicas, ou até a 
estimação de depósito de mineral em uma determinada área.
As três dimensões da geometria espacial são: a largura, a altura e o comprimento 
e pode também utilizar, largura, profundidade e comprimento. Os objetos conhecidos 
na geometria espacial são denominados de sólidos geométricos ou figuras geométricas 
espaciais. As mais conhecidas são prisma, cubo, paralelepípedo, pirâmide, cone, cilindro 
e esfera.
Com isso, a geometria espacial possibilita determinar, por meio de cálculos 
matemáticos, os volumes dos objetos (espaço ocupado). Os sólidos geométricos são 
classificados como poliedros, que são sólidos fechados que possuem faces poligonais. 
 
No geoprocessamento, em diversas situações são realizadas sobreposições de 
dados. Dessa forma, as faces poligonais são importantes, visto que os dados podem 
estar agrupados em um único elemento ou agrupados por polígonos. Um corpo de água 
ou área urbana podem estar em polígonos diferentes e serem sobrepostos para estudos de 
análise ambiental, ou seja, sobreposições de mapas. Por isso, é importante estudar o 
tamanho das figuras geométricas.
Assim, os poliedros são compostos de vértices, arestas e faces. Exemplos típicos 
são os prismas, pirâmides e os sólidos de Platão (cubo, dodecaedro e tetraedro),de acordo 
com a figura 16.
16
Figura 16 – Os elementos de um poliedro são as arestas, as faces e os vértices
Fonte: a autora 
Vale destacar que a aresta é o segmento da reta que liga duas vértices de um 
poliedro. A vértice é o encontro de uma ou mais arestas, denominado de pontos (A, B, C, 
D, E, F, G, H) e a face de um poliedro são os polígonos que compõem o sólido. A Figura 
17 demonstra o que é poliedro, vértice e aresta.
Figura 17 – Poliedro, vértice e face
Fonte: a autora 
O matemático Euler entendeu que, com a relação entre os números de vértices, 
faces e arestas, é possível descobrir a quantidade de arestas de um sólido, com o 
número de faces e vértices, com base na seguinte equação: 
V — A + f = d
Sendo:
v = vértices;
A = arestas;
f = faces;
d = quantidade de arestas do sólido.
Além disso, na geometria espacial, as principais fórmulas são utilizadas para 
cálculos da área total (At) e volume (V) de cada sólido, como veremos a seguir, na Figura 18.
17
Em que o cubo de aresta a, é igual: Paralelepípedo de dimensões a, b, c. 
Sendo:
V = volume do sólido;
At = área total;
a = aresta.
Figura 18 – Cubo
Fonte: a autora 
Vale destacar que o volume e a área total do prisma (Figura 19) e da pirâmide 
(Figura 20) dependem do polígono que está na base de cada sólido. Dessa forma, 
utilizamos Ab: área da base, e Ai: área lateral.
Figura 19 – Prismas de base triangular e hexagonal
Fonte: a autora 
18
Fórmula:
V = Ab . h
At = 2Ab + Ai
Sendo:
V = volume;
Ab = área da base;
Ai = área da lateral;
h = altura.
A base do prisma pode ser diferente em diversas situações. Dessa forma, o 
volume depende da área da base. Para as pirâmides (Figura 20), assim como os prismas, 
depende-se da base para conhecer o volume. 
Figura 20 – Pirâmides de base quadrada e pentagonal
Fonte: a autora 
Fórmula:
At = Ab + Al
Em que:
At = área total;
Ab = área da base;
Ai = área da lateral.
O cálculo do volume do cilindro é a altura e o raio da circunferência, de acordo 
com a Figura a seguir.
19
Figura 21 – Cilindro
Fonte: a autora 
Fórmula:
V = πr2 . h
At = 2πr (r+h)
Sendo: 
V = volume;
π = 3,14;
r = raio;
h = altura.
O cálculo do volume do cone considera o raio e a altura, de acordo com a fórmula 
da figura a seguir.
Figura 22 – Cone
Fonte: a autora 
20
Fórmula:
At = πr (g + r)
Sendo:
At = área total;
π = 3,14;
r = raio;
h = altura;
g = hipotenusa do triângulo.
A esfera teoricamente é definida como uma sequência de pontos alinhados 
no mesmo sentido, como uma distância de um centro em comum. Por ser um sólido 
geométrico formado por superfície de curvas, os pontos acabam ficando equidistantes. 
A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:
Figura 23 – Esfera
Fonte: a autora 
Fórmula:
At = 4 πr2
Sendo:
At = área total;
π = 3,14;
r = raio.
21
Por fim, podemos compreender que a geometria espacial é realizada por meio 
de três dimensões, que denominamos de espaço. Os sólidos geométricos têm por intuito 
conhecer a largura, o comprimento e a altura. O que, na geometria plana, conhecíamos 
como círculo, agora passa para a tridimensionalidade e denominamos de esfera. Vale 
lembrar que, na geometria espacial, não falamos em perímetros, mas de uma área total 
do sólido e sua capacidade (volume). 
4 GEOMETRIA ANALÍTICA
A geometria analítica tem como objetivo representar elementos geométricos. 
Quando estudamos pontos, retas, quadrados e circunferências, podemos utilizar expres-
sões, que denominamos de “expressões algébricas”. 
A lógica é simples: a união dos pontos segue determinado padrão, porém 
esses pontos estão em um sistema de coordenadas proposto por René Descartes. No 
geoprocessamento, não é muito diferente, visto que necessitamos das coordenadas para 
determinar uma localização. Rene Descartes, além de ser o criador do plano cartesiano, 
foi o filósofo moderno conhecido pela famosa frase “penso, logo existo”. Além disso, 
estava preocupado em calcular a localização de um ponto em um determinado espaço.
Dessa forma, a geometria analítica apresenta um plano cartesiano, que nada 
mais é que um plano com coordenadas do eixo X e Y, o qual tem por objetivo descrever 
objetos geométricos utilizando o sistema de coordenadas. Ao conhecermos os pontos e 
eixos reais, podemos localizar o ponto e calcular a distância de um ponto a outro. Esse 
processo é o princípio para entender o sistema de coordenadas georreferenciadas.
Mas por que estudar geometria analítica? Para entender o objetivo e a figura ge-
ométrica que estão em um espaço e, assim, representados geometricamente por meio de 
uma fórmula algébrica, ou seja, estudar o ponto e a reta analítica.
René, para facilitar a localização dos pontos, deixou o gráfico mais preciso 
e dividiu o gráfico com eixos X e Y por malhas e em quatro diferentes quadrantes. 
Atualmente, no geoprocessamento, utilizamos demasiadamente as malhas. O IBGE 
libera as malhas dos municípios, estados e do país, que são mapas com divisões políticas 
administrativas com a representação vetorial dos limites, em que se utiliza a coleta de 
censos demográficos. Vale lembrar que essas malhas são utilizadas em diversas áreas 
para diversos fins, como drenagem, bacia hidrográfica, lagoa, flora, biomas etc.
É extremamente importante discutir malhas, pois é um dos principais assuntos 
do geoprocessamento, visto que é fundamental construir pontos e localizações a fim de 
que a topografia local seja preservada para os mapas reais.
22
Na prática, podemos entender que o plano cartesiano pode ser a Terra, e o Meridia-
no de Greenwich, a linha do Equador, o X. Assim, podemos calcular as coordenadas em 
uma distância de um local conhecido. Quando estudamos Geografia, em que marcamos 
pontos no mapa, medimos a distância e consideramos padrões reais, entendemos que 
estamos estudando geometria analítica.
O cartógrafo holandês Gerard Mercator desenvolveu, em 1569, uma projeção 
cartográfica cilíndrica, que se tornou o mapa preferido dos navegantes, devido ao fato 
de as direções serem desenhadas em linhas retas sobre o mapa, ou seja, a projeção da 
Terra em um plano. Dessa forma, na projeção de Mercator, paralelos e meridianos são 
representados por linhas retas que se cruzam, formando um ângulo de 900, processo 
que demonstra a geometria na prática.
De forma prática, com a base quadriculada e a utilização de coordenadas, 
podemos entender a localização de um barco, por exemplo, e a distância que ele irá 
percorrer. Além disso, podemos entender a menor distância, formando a hipotenusa, 
triângulo retângulo, ou seja, desenvolver estratégias a partir de um plano cartesiano e 
o domínio da álgebra.
Você quer outro exemplo? O Global Positioning System (GPS) utiliza as bases 
da geometria analítica. Vamos tentar entender como esse dispositivo funciona? 
Primeiramente, a Terra é uma esfera achatada nos dois polos. Dessa forma, ao se colocar a 
esfera achatada (ambos os lados) e colocar em um plano tridimensional, temos como 
origem o plano ponto (0,0) e isso será o centro da Terra. Os eixos X e Y formam os planos 
que conhecemos como linha do Equador.
Além disso, a geometria analítica é um dos princípios da computação gráfica e, 
devido aos conceitos básicos, é possível criar, editar imagens e desenvolver figuras e 
objetos tridimensionais por meio de programas de modelagem 3D.
Por exemplo, em impressoras 3D, é fundamental compreender a geometria 
analítica, pois o objeto tem três dimensões. Outro exemplo é a construção civil, em que a 
noção de vetores, pontos e coordenadas é fundamental, já que precisa encontrar largura, 
altura e comprimento das estruturas. Isso evita desastres e riscos nas construções e 
canteiros de obras.
Logicamente, as disciplinas se sobrepõem, pois os conceitos de vetor e força 
estudamos também na Física, mostrando a multidisciplinariedade da geometria 
analítica. Diante disso, a aplicação da geometria analítica possibilita descobrir a força 
resultante sobre determinada estrutura. A geometria analítica deve servista como uma 
disciplina moderna, capaz de explicar as situações relacionadas ao espaço. As noções 
intuitivas de vetores, por exemplo, começam a ser exploradas para entender resultados 
de forma numérica à direção e ao sentido a partir das características do espaço vetorial!
23
A geometria analítica representa os pontos de uma reta utilizando números 
reais, em que cada ponto de uma reta representa um único número real (WINTERLE, 
2014). Esse número real é obtido pela distância entre o ponto e a origem da reta, sendo 
que o ponto é relacionado com o número zero. O sistema cartesiano ortogonal (Figura 24) 
é a base para a referência de localização de coordenadas, processo fundamental no 
geoprocessamento. Além disso, é constituído por um plano e dois eixos perpendiculares 
entre si. Em outras palavras, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular 
equações para planos, retas, curvas e círculos no plano.
Figura 24 – Sistema cartesiano ortogonal
Fonte: a autora 
A Figura 24 merece algumas considerações. Primeiramente, o eixo x é chamado 
“eixo das abscissas”, enquanto o eixo y é o “eixo das ordenadas”. A origem 0 (0,0) é uma 
intersecção desses eixos, em que o x é o das abscissas e o y é o das ordenadas. Dessa 
forma, convenciona-se a orientação anti-horário dos quatro quadrantes.
Como na geometria analítica, os pontos foram expandidos na representação do 
plano, ou seja, cada ponto é representado por um único par de números reais conhecidos 
como par ordenado. A Figura 24, a seguir, ilustra como o par ordenado representa o 
ponto A (2,1). Na Figura 24, o X é a abscissa do ponto A, e constitui a distância entre sua 
projeção ortogonal no eixo x até a origem. A ordenada y, do ponto A, constitui a distância 
entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.
24
Como já sabemos, no plano cartesiano, a sua formação é por dois eixos perpen-
diculares entre si, que devem formar um ângulo de 900. Em cada eixo, é representado 
por uma reta numérica com todos os números reais. Dessa forma, em cada um desses 
eixos, representados por uma reta numérica, todos são números reais. Já o eixo vertical 
é conhecido como eixo de ordenadas ou eixo y, enquanto o eixo horizontal é conhecido 
como eixo de abcissas ou eixo x.
Figura 25 – Representação de um ponto no plano por um par de números reais
Fonte: a autora 
Assim, ao representar um objeto no plano cartesiano, conseguimos extrair 
informações algébricas do objeto. O primeiro passo para isso é entender o que é o ponto, 
que é representado por um par ordenado de acordo com a sua localização em relação a 
cada eixo. Esse par é representado de acordo com a Figura 26.
Figura 26 – Plano cartesiano representado por um par ordenado
Fonte: a autora 
25
A partir da posição dos elementos geométricos e do comportamento, foram 
desenvolvidos meios para entender os elementos. Essas representações geraram fórmulas 
para a geometria analítica. A primeira que estudaremos é a distância entre os dois pontos 
(Figura 27). 
Figura 27 – Distância entre os dois pontos
Ao visualizarmos a Figura 27, vemos a linha reta em azul, com os dados dos 
pontos A1 e A2) do plano. Para podermos calcular a distância entre esses dois pontos, 
empregamos a seguinte fórmula:
Sendo:
dA1A2 = distância entre os pontos A1 e A2 – comprimento do segmento que liga 
os dois pontos;
X = abscissas – par ordenado;
Y = ordenadas – par ordenado.
Vamos a um exemplo?
Dado A1 (3, 4) e A2 (6, 8): qual a distância entre A1 e A2 desses dois pontos? 
Observe a Figura 28 a seguir:
26
Figura 28 – Plano cartesiano e a distância entre os pontos
Fonte: a autora 
X1:3;
X2:6;
Y1: 4;
Y2:8.
 
Além disso, podemos calcular o ponto médio com base no segmento que une 
os dois pontos e a distância. Essa fórmula é uma média aritmética entre as abcissas e 
as ordenadas dos dois. Diante disso, para calcular o ponto M(xm,ym), o ponto médio do 
segmento A1(x1,y1) e A2(x2,y2), utilizamos a seguinte fórmula:
Em que:
xm = ponto médio das abscissas;
ym = ponto médio das ordenadas;
X = abscissas – par ordenado;
Y = ordenadas – par ordenado.
27
Vamos a um exemplo? Encontre o ponto médio entre os pontos A1 (2,4) e A2 (6,8).
Figura 29 – Plano cartesiano e o ponto médio 
Fonte: a autora 
Sendo:
X1=2;
X2=6;
Y1=4;
Y2=8.
M: (4,6)
O ponto médio é o ponto M (4,6).
Além disso, pode-se calcular também a condição de alinhamento de três pontos 
(Figura 30), que serve para verificar se os pontos estão alinhados, por exemplo: A1 (x1,y1), 
A2(x2,y2) e A3(x3,y3). Dessa forma, calculamos a determinante da matriz:
28
Figura 30 – Condição de alinhamento de três pontos
Fonte: a autora 
Dessa forma, se o determinante for igual a 0, os três pontos estão alinhados. Se 
for obtido um número diferente de zero, podemos dizer que não estão alinhados ou são 
vértices de um triângulo. Vamos ao exemplo! Verifique se os pontos A (-3,5), B (1,1), C 
(3-1) estão alinhados.
D= (-3 +15 -1) – (5 + 3 + 3)
D = 11 – 11
D = 0
Os pontos A, B e C estão alinhados.
Se o determinante for igual a 0, os três pontos estão alinhados. Se for obtido um 
número diferente de zero, podemos dizer que não estão alinhados ou são vértices de 
um triângulo. Para a equação da reta, existem duas possibilidades, que são a equação 
geral da reta e a equação reduzida da reta. 
Na equação geral da reta: ax + by + c = 0, em que a, b e c são coeficientes que 
determinam características como a inclinação. Essa fórmula é utilizada para representar 
de forma algébrica a reta. Em outras palavras, a equação geral da reta é uma maneira 
algébrica de compreender o comportamento de uma reta em um plano cartesiano, em 
que a e b são constantes e não podem ser nulos (Figura 31).
29
Figura 31 – Representação da reta do plano cartesiano
Fonte: a autora 
Equação geral da reta: 
ax+by+c=0
Sendo:
a e b = coeficiente angular # 0;
x = valor da abcissa;
y = valor da ordenada;
c = valor constante.
A equação reduzida da reta: y = mx + n representa de forma algébrica a reta, sendo 
que m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear). Além disso, o coeficiente linear da 
reta (n) é definido como um ponto que intercepta o eixo Y. A equação reduzida da reta é: 
y+mx+n
Em que:
y = expressão algébrica da reta;
mx = coeficiente angular da reta – define a inclinação da reta;
n = coeficiente linear da reta.
Vamos a um exemplo? Veja a Figura 32;
Y = X + 2
30
Figura 32 – Equação reduzida
Fonte: a autora 
A) Y= x + 2
m=1
n=2
 A equação da circunferência é determinada pelas equações gerais e reduzidas 
da circunferência, mas vale lembrar que tem o centro definido pelo ponto O (xc,yc). As 
fórmulas são:
Equação	geral	da	circunferência:
x² + y² – 2xcx – 2ycy + xc² + yc² – r² = 0
Equação	reduzida	da	circunferência: 
(x – xc)² + (y – yc)² = r²
Sendo:
Xc e Yc = coordenada em que inicia o círculo;
r² = raio do círculo.
Vamos a um exemplo? Descubra qual ponto central e o raio do círculo.
 
Dados: 
x2 + y2 — 10x + 2y — 17=0
(x — 5)2 + (y + 1)2 = 17+25+1
(x — 5)2 + (y + 1)2 = 43
Resposta: C= (5, -1) RAIO= 
31
Figura 33 – Representação de circunferência no plano cartesiano
Fonte: a autora 
Você quer assistir à aula do professor Pedro Fagundes, que retrata a 
função da área em geometria espacial? Vale muito a pena! Disponível 
em: http://twixar.me/zrQm.
DICA
4.1 SISTEMA ANGULARES
O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados à 
geometria. Dessa forma, a investigação e a descoberta dos ângulos foi um tema para os 
avanços nas áreas de navegação e astronomia. O astrolábio náutico é um exemplo para 
medir ângulos, desenvolvido nos séculos V e VI, que tinha o objetivo de medir a elevação 
das estrelas e do Sol, com o intuito de localizar as embarcações (COUTINHO, 2015). Com 
o passar do tempo, o astrolábio deu origem ao sextante. Apesar de mais simplificado, 
tinha a mesma função (COUTINHO, 2015).
Desse modo, a definição de ângulo é a região de duas semirretas que partem da 
mesma origem. Em outras palavras,é a medida da abertura de duas semirretas em uma 
circunferência, por exemplo. A Figura 34 a seguir mostra o ponto "O" como o vértice do 
ângulo e as semirretas OA e OB são os lados do ângulo. 
32
Figura 34 – Duas semirretas que partem da mesma origem
Fonte: a autora 
Como já sabemos, o ângulo é uma região delimitada por duas semirretas. No 
entanto, para medi-lo, há duas unidades possíveis: grau e radiano. Dessa forma, 1 radiano 
é o ângulo que faz com que o arco formado na circunferência tenha a mesma medida que 
o raio da circunferência. Para a medição de um ângulo, na geometria plana, podemos 
utilizar o compasso e o transferidor de acordo com a Figura 35, a seguir:
Figura 35 – Ângulos 45O, 90O E 120O
Fonte: a autora 
Para podermos medir, utilizamos um transferidor posicionado uma semirreta que 
aponta para 0º. Assim, pode-se observar o grau que a outra semirreta está apontando. 
Portanto, 1 radiano é o ângulo que faz com que o arco na circunferência tenha a mesma 
medida que o raio dessa circunferência. No entanto, diversas vezes, há necessidade de 
conversão de graus para radianos. Dessa forma, utilizamos regra de três, em que 180° 
corresponde a π.
33
Primeiramente, vale destacar que um grau (°) e radiano (rad) são unidades de 
medida de um ângulo e essas unidades são relacionadas a um círculo. Dessa forma, 
sabemos que 1° corresponde a 1/360 de um círculo, então um círculo corresponde a um 
ângulo de 360°. 
Quando falamos em radianos, sabemos que a medida de um ângulo θ em 
radiano é dado pela seguinte fórmula:
O comprimento do perímetro de um círculo de raio é C= . Assim, podemos 
escrever que: 
Assim, o círculo em radianos corresponde a: 
Concluímos que: 360º = 
Dessa forma, podemos compreender que para obter um ângulo em graus para 
radianos, podemos aplicar a seguinte relação:
Ao contrário, ou seja, obter um ângulo em radianos a partir de um ângulo em 
graus a relação é:
Desse modo, entendemos que a unidade do ângulo de um arco ou círculo ou é 
grau ou radinho. Mas também podemos entender que um grau (1°) possui 60 minutos 
(60’) e um minuto (1’) possui sessenta segundos (60’’). Quando falamos em minutos 
utilizamos essa expressão (’) e quando utilizamos segundos usamos essa expressão (’’). 
A circunferência possui 360 arcos de abertura de 1° (em caso de radiano, falamos 
que um arco mede 1 rad (radiano) se o seu comprimento for igual ao comprimento de 
um raio da circunferência que se encontra no arco medido). Α tabela 1, a seguir mostra 
algumas relações entre as unidades em graus e radianos.
34
Tabela 1 – Relações entre unidades em graus e radianos 
2π (rad) 360°
π (rad 180°
π____
2 rad
90°
π____
3 rad
60°
π____
4 rad
45°
π____
6 rad
30°
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007)
Vamos a alguns exemplos?
Inicialmente, vamos converter graus para radianos.
Conversão de 20º
20º-------- x
180º-------- )
= 
Agora vamos converter radianos para graus: 
Esse processo basta substituir o .
Ou seja: = 
Vamos a outro exemplo?
Qual é o valor de um ângulo de 60º em radianos?
35
Além disso, podemos classificar o ângulo de acordo com sua medida, podendo 
ser ângulo agudo, reto, obtuso, raso, côncavo ou inteiro (Figura 36). O ângulo considerado 
agudo dever ter um número maior que 0 e menor que 90º. O ângulo reto possui 90º, 
estritamente (semirretas se cruzam de forma perpendicular. O ângulo obtuso é quando a 
medida é maior 90º, porém menor que 180º.
O ângulo raso possui 180º, ou seja, metade de um ângulo. O ângulo côncavo é uma 
medida maior que 180º e menor que 360º. Por fim, o ângulo inteiro é uma representação 
da volta de uma circunferência, ou seja, 360º.
Figura 36 – Classificação dos ângulos a partir das medidas
Fonte: a autora 
Outro aspecto que merece breve menção é a existência dos ângulos consecutivos, 
adjacentes e a congruência (Figura 37). Os ângulos consecutivos são dois ângulos que 
compartilham o mesmo lado. Os ângulos adjacentes ocorrem se dois ângulos consecutivos 
são adjacentes e se não compartilham pontos internos, em outras palavras, não sejam 
sobrepostos um ao outro. A congruência significa que, para que os ângulos possam ser 
considerados iguais (congruentes), devem satisfazer os seguintes postulados: reflexiva 
(todo o ângulo é congruente a si próprio) – AÔB ≅ AÔB; simétrica AÔB ≅ CÔD, então 
CÔD ≅ AÔB e transitiva: se aôb ≅ côd e côd ≅ eôf, então aôb ≅ eôf.
36
Figura 37 – Ângulos consecutivos, adjacentes e a congruência
Fonte: a autora 
Os ângulos são denominados de congruentes quando possuem a mesma 
medida, mas destaca-se que não necessitam ser iguais, mas ter a mesma medida. Os 
ângulos AÔB e CÔD são congruentes (Figura 38).
Figura 38 – Ângulos congruentes
Fonte: a autora 
Além disso, os ângulos podem ser opostos pela vértices. Esse processo ocorre 
quando há duas retas concorrentes entre si. Dessa forma, pode-se traçar diversos ângulos 
entre elas. Assim, ao se comparar os dois ângulos, de lados opostos de um mesmo vértice, 
eles também são considerados congruentes devido a mesma medida (Figura 39).
Figura 39 – Ângulos opostos pelo vértice são congruentes
Fonte: a autora 
37
Além disso, podemos ter a bissetriz do ângulo, que é definido pela semirreta que 
divide o ângulo congruente, ou seja, com a mesma medida, sendo que AOC e BOC são 
congruentes (Figura 40).
Figura 40 – Bissetriz do ângulo
Fonte: a autora 
Quando a soma entre os ângulos é igual a 90° ou 180° ou 360°, eles são conhecidos, 
respectivamente, como ângulos complementares, suplementares e replementares (Figura 
41, 42 e 43). Os ângulos complementares são dois ângulos quando o resultado da soma 
é 90º, formando um ângulo reto. Os ângulos suplementares são dois ângulos cuja soma é 
180°. Assim, formam um ângulo raso. Por fim, o ângulo replementar é quando a soma 
dos dois ângulos é igual a 360°.
Figura 41 – Ângulos complementares
Fonte: a autora 
38
Figura 42 – Ângulos suplementares (exemplo 1)
Fonte: a autora
Figura 43 – Ângulos suplementares (exemplo 2)
Fonte: a autora 
Por fim, há também as retas paralelas cortadas por uma transversal, que podem 
delimitar oito ângulos, como na Figura 44, a seguir. Vale destacar que podemos estabelecer 
relações entre esses ângulos formados por uma reta, os quais serão suplementares e 
congruentes.
Figura 44 – Retas paralelas cortadas por uma transversal
Fonte: a autora 
39
Por fim, a partir da Figura 44, podemos concluir que os ângulos agudos e obtusos 
são sempre congruentes, e a soma de um agudo com um obtuso é igual a 180°, ou seja, 
eles são suplementares.
Caro aluno, caso tenha interesse em pesquisas de aplicação na área, 
sugiro a leitura da pesquisa de Valeriano, M. de M. e Carvalho Júnior, 
denominada de Geoprocessamento de modelos digitais de elevação 
para mapeamento da curvatura horizontal em microbacias. Acesse em: 
http://twixar.me/SrQm.
DICA
40
Neste tópico, você aprendeu:
• O ponto não possui dimensões. A reta possui uma dimensão bem definida o compri-
mento. O segmento de reta é delimitado por dois pontos. A semirreta é uma reta com 
começo, sem fim.
• O ângulo é utilizado para medir o espaço entre duas retas, segmentos de reta e 
semirretas.
• O plano apresenta duas dimensões e é um conjunto infinito de retas.
• A classificação dos triângulos pode ser equilátera, possuir três lados e ângulos iguais; 
já o isósceles possui dois lados iguais (o terceiro lado é chamado de base), enquanto 
o escaleno não possui nenhum lado e ângulo igual.
• O quadrado é quando todos os lados são iguais, para calcular a área, é necessário 
multiplicar a medida da base pela medida da altura; já o retângulo é dado pela 
multiplicação da base pela altura. 
• O losango é uma área da diagonal maior (D) com a diagonal menor (d), dividido por dois.
• A área do trapézio é a altura com a soma da base maior vezes a base menor, dividida 
por dois.
• Diâmetro é a corda da circunferência do centro do círculo ao arco.
• Raio é qualquer segmento que possa se ligar ao centro da circunferênciaa um ponto 
qualquer.
• Os objetos conhecidos na geometria espacial são denominados de sólidos geométricos 
ou figuras geométricas espaciais.
• A aresta é o segmento da reta que liga duas vértices de um poliedro.
• O volume e a área total da pirâmide e do prisma (Figura 19) dependem do polígono 
que está na base de cada sólido.
• O volume do cilindro é a altura e o raio da circunferência.
• Os sólidos geométricos têm por intuito conhecer a largura, comprimento e altura.
RESUMO DO TÓPICO 1
41
• A geometria analítica representa os pontos de uma reta utilizando números reais.
• Eixo x é chamado eixo das abscissas, enquanto o eixo y é o eixo das ordenadas.
• Ângulo é definido como a região de duas semirretas que partem da mesma origem. A 
principal medida de um ângulo é o grau (o).
• Um grau possui sessenta minutos (1° = 60').
• A classificação do ângulo de acordo com sua medida é: agudo, reto, obtuso, raso, 
côncavo ou inteiro.
• A=a é soma entre os ângulos é igual a 90° ou 180° ou 360°. Eles são conhecidos, 
respectivamente, como ângulos complementares, suplementares e replementares.
42
1 João vive exatamente do lado esquerdo da BR, no km 2, e decidiu ir ao mercado às 
13h. No entanto, o mercado se localiza no km 4 da rodovia e João chegou exatamente 
às 15h. No ponto médio está localizado seu amigo, no qual ele parou para tomar água. 
Pergunta-se: qual ponto médio da reta que o João percorreu? 
Dados: os pontos são A1 (1,2) e A2 (3,4) do plano cartesiano. Com base nesse contexto, 
assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) M (2,2).
b) ( ) M (3,1).
c) ( ) M (4,2). 
d) ( ) M (5,2).
2 Maria foi passear em Gramado com seus amigos. No entanto, ficou em um hotel 
diferente devido à diferença de preços da alta temporada. Maria está preocupada com a 
distância a ser percorrida tarde da noite. Assim, pergunta-se: qual a distância entre 
o hotel em que Maria está hospedada e o hotel dos amigos? O hotel da Maria fica no 
ponto A1 (1,2) e seus amigos estão no hotel A2 (3,4). Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) √8.
b) ( ) √10.
c) ( ) √1.
d) ( ) √12.
3 Helena precisou fazer coletas da qualidade da água em uma bacia hidrográfica. 
Metodologicamente, utilizamos dois pontos à margem do rio e uma coleta no ponto 
médio da reta entre os dois pontos. Dessa forma, considere os pontos A1 (3,-4) e A2 
(5,-9) de um plano cartesiano. Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) M (4,- 6,5).
b) ( ) M (4,- 6,).
c) ( ) M (8,- 6,5).
d) ( ) M (3,- 5).
4 O licenciamento ambiental de uma empresa teve como um dos pré-requisitos mapear 
a distância do processo produtivo da área de tratamento de efluente da empresa. 
Esse processo ocorre devido à empresa ser da área alimentícia e necessita de 
seguridade na qualidade dos produtos gerados. Diante da problemática em questão, 
as distâncias entre os pontos são A1 (1,2) e A2 (3,4) em um plano cartesiano. Analise 
as afirmativas a seguir.
AUTOATIVIDADE
43
I- √29.
II- 5,38.
III- √12
IV- √2
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas I, II estão corretas.
b) ( ) Apenas II e IV estão corretas.
c) ( ) Apenas as afirmativas I, III, IV e V estão corretas.
d) ( ) Apenas I e IV estão corretas. 
5 A equação reduzida da circunferência é estudada para poder compreender a 
representação algébrica do comportamento da circunferência no plano. Dessa forma, a 
partir destes dados x2 + y2 — 4x = 0, classifique V para a equação verdadeira e F para 
equação falsa.
( ) (x — 2)2 + (y + 0)2 = 4.
( ) (x — 4)2 + (y + 1)2 = 8.
( ) (x — 2)2 + (y + 0)2 = 6.
( ) (x — 5)2 + (y + 1)2 = 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – V.
b) ( ) F – V – F – V.
c) ( ) V – F – F – F.
d) ( ) F – F – V – V.
44
45
CÁLCULO VETORIAL
UNIDADE 1 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO 
Cálculo vetorial são operações matemáticas feitas com grandezas físicas, deno-
minadas também de grandezas vetoriais, que dependem da intensidade, direção e sentido. 
Vale destacar que essas propriedades são relacionadas à geometria. Dessa forma, o 
principal objetivo das operações matemáticas é encontrar o um único valor, que quando 
é incorporado ao sistema, terá por consequência o mesmo efeito de todos os outros.
Além disso, todas as propriedades são importantes e relacionadas geometri-
camente. Por exemplo: como há necessidade de associar os conceitos de direção e 
sentido aos valores da grandeza física e sem conhecer o que é cálculo vetorial, não é pos-
sível entender como se comportam essas grandezas. Assim, os dados vetoriais podem 
ser rodovias, solos, coberturas do solo e geologia, conhecidas também como primitivas 
gráficas.
Quando estudamos cálculo vetorial, damos sentido aos problemas que vivemos 
no geoprocessamento. Um polígono é uma sequência de segmentos de uma reta que 
tem por objetivo formar um objeto. Dessa forma, é o cálculo da área ocupada pelo 
mesmo espaço. 
A Matemática é uma ferramenta que possibilita encontrarmos as grandezas 
físicas vetoriais, a qual denominamos de vetor, sendo caracterizada como um segmento 
de reta orientado. Sabemos que vetor é um conjunto infinito de segmentos orientados 
em uma direção, os quais chamamos de equipolentes, que têm o mesmo comprimento, 
direção e sentido. Desse modo, entendemos que vetor é um conjunto infinito de 
segmentos que a compõem.
Neste tópico, compreenderemos e estudaremos o que é álgebra vetorial e enten-
deremos a aplicação do cálculo vetorial, retas, planos e curvas para o sistema de geopro-
cessamento. Por fim, discutiremos o que é uma superfície quadrática e sua aplicação 
nas ferramentas de geoprocessamento.
2 ÁLGEBRA VETORIAL
O conceito de vetor surgiu do engenheiro Simon Stevin, o arquimedes holandês, 
que discutiu o problema de composição de forças emitindo uma regra empírica para se 
achar a soma de duas forças aplicadas em um mesmo ponto. Dessa forma, os vetores 
apareceram como linhas dirigidas e, assim, foi sistematizada a teoria vetorial no século XIX. 
 
46
Desse modo, as grandezas ficam determinadas apenas por um número real e 
são acompanhadas por uma unidade correspondente. Por exemplo: 10 kg de pão, 10 
m2 de área, 20 cm de comprimento. Essas grandezas são denominadas de escalares. 
No entanto, existem grandezas que, além de necessitar de um número real, precisam 
de sentido, por exemplo, velocidade, vento, aceleração, peso e essas denominadas de 
vetoriais. 
 
Na álgebra, utilizamos os vetores, uma quantidade física caracterizada por 
intensidade, direção e sentido. São elementos de um espaço, definidos de forma abstrata. 
Assim, os vetores são um conjunto de elementos definidos em duas operações: a soma 
de vetores e o produto de vetores por escalares (produto vetorial), obedecendo às 
propriedades (MENON, 2009). Graficamente, o vetor é representado por A (uma letra 
com uma seta em cima) e representado por um segmento de reta orientado, como 
ilustrado na figura a seguir.
Figura 45 – Vetor é representado por A
Fonte: a autora 
O vetor é constituído por uma tripla informação: direção, sentido e um número 
que não pode ser negativo. Em outras palavras, o vetor é constituído de segmentos 
orientados na mesma direção, sentido e comprimento (Figura 46).
Figura 46 – Representante de um vetor
Fonte: a autora 
47
Na Figura 46 há um conjunto segmentos orientados por um único vetor, em que 
cada segmento orientado é uma imagem geométrica ou representante de um vetor. Por 
exemplo:
Figura 47 – Direção do vetor
Fonte: a autora
Sendo: 
ou
No exemplo supracitado, percebe-se que C é a origem e B a extremidade do 
vetor. O vetor, quando está em direção e sentido diferentes, tende a zero. Assim, o 
vetor nulo tem coordenadas (0,0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de 
coordenadas. O vetor nulo é . 
Além disso, temos o vetor unitário, versor e vetor oposto, sendo que o vetor 
unitário é igual a 1. Já o versor de um vetor que não é nulo é o vetor unitário, que deve 
ter a mesma direção e sentido . Vamos ao exemplo de vetorunitário:
Figura 48 – Vetor unitário
Fonte: Venturi (2015, p. 67)
48
Exemplo de versor: 
Figura 49 – Vetores
Fonte: Venturi (2015, p. 67)
O vetor oposto é dado por um vetor e o seu aposto é . Dessa forma, o 
vetor oposto é um vetor e representado por um - . Veja por exemplo, a Figura 51: 
Figura 50 – Vetor oposto
Fonte: Venturi (2015, p. 68)
Quando denominamos de paralelismo de vetores, significa dizer que são dois 
vetores na mesma direção e colinearmente, por exemplo, a Figura 51:
Figura 51 – Paralelismo de vetores
Fonte: Venturi (2015, p. 68)
49
Além disso, podemos ter vetores equiversos e contraversos. Esses vetores estão 
relacionados aos sentidos, sendo que os dois vetores paralelos têm sentidos controversos 
ou equiversos. Por exemplo (Figura 52):
Figura 52 – Vetores equiversos e contraversos
Fonte: Venturi (2015, p. 69)
Em que:
 e são equiversos e contraversos.
Podemos multiplicar um vetor por uma escala, em que K seja um escalar, e 
um vetor. Dessa forma, o produto do vertor pelo número real K é representado por K . 
Então, temos:
k>0 = significa dizer que e k são equidiversos. Por exemplo (Figuras 54 e 55):
Figura 53 – Vetores equidiversos
Fonte: Venturi (2015, p. 70)
K<0 = significa dizer que os vetores e k são controversos. Por exemplo:
Figura 54 – Vetores controversos
Fonte: Venturi (2015, p. 71)
50
Além disso, temos também coplanaridade de vetores, em que os vetores 
e são coplanares se obtiverem imagens geométricas paralelas (mesmo plano). Vale 
destacar que dois vetores são coplanares, no entanto, três poderão ser ou não. Por 
exemplo:
Figura 55 – (A) São coplanares e (B) não são coplanares
(a) (b)
Fonte: Venturi (2015, p. 69)
Além disso, podemos somar os vetores, em que dado dois vetores, para se obter 
a soma, colocamos um ponto qualquer no plano. Por exemplo: temos dois vetores , 
e, para se obter a soma, é necessário + e os pontos são B=A+ e C=B+ . De acordo 
com a figura a seguir, temos: + = (C-A):
Figura 56 – Exemplo de vetores de soma
Fonte: Venturi (2015, p. 70)
A Figura 56 retrata que, considerando a diferença de pontos, temos: + = 
(B-A) + (C-B) = (C-A), em que é o vetor resultante, obtido por meio da soma de 
com . Desse modo, vale destacar que, geometricamente, a soma de n vetores é feita 
considerando as imagens geométricas, em que a extremidade de cada vetor é o início 
do vetor seguinte e o vetor soma é o que fecha a poligonal. Vamos a um exemplo?
Vale lembrar que o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal. Já 
a origem do primeiro vetor é a extremidade do último vetor. Dado: vetores e , obter 
graficamente a soma:
51
Figura 57– Vetor soma
Fonte: adaptado de Winterle (2014) e Venturi (2015, p. 57)
Já a subtração dos vetores é definida como: - por: . Dessa 
forma, podemos detonar a diferença de dois pontos (Figura 58).
52
Figura 58 – Exemplos de diferença de vetores
Fonte: a autora
Além disso, podemos obter a diferença entre os dois vetores, . Esse 
processo acontece fazendo com que eles tenham a mesma origem, sendo que a 
diferença entre vetores não é cumulativa. Vejamos como obter dados dos vetores e 
graficamente (Figura 59):
53
Figura 59 – Vetores
Fonte: a autora
No entanto, quando falamos de paralelogramo sobre dois vetores, e , as 
diagonais são os vetores soma e diferença (Figura 60):
Figura 60 – Paralelogramo de dois vetores
Fonte: a autora
54
Sugerimos a leitura do artigo Caracterização empírica da fragilidade 
ambiental utilizando geoprocessamento, em que os autores utilizaram o 
mapeamento da fragilidade ambiental para a execução de inúmeros 
produtos intermediários que auxiliam na análise do produto, como 
técnicas de geoprocessamento, Modelagem Numérica do Terre-
no (MNT), Sensoriamento Remoto (SR) e álgebra linear. Acesse em: 
http://twixar.me/qrQm .
DICA
3 RETAS, PLANO E CURVAS
A equação vetorial de uma reta é obtida pelo ponto , pertencente à reta, com 
vetor diretor dela, ou seja, aquele que dará direção para a reta. A equação vetorial de 
uma reta se dá por meio da expressão:
Sendo: 
 = ponto pertencente à reta;
= variável, em que cada valor dado para ele fornece uma posição, ;
 = vetor da reta.
Vale lembrar que estamos discutindo o cálculo vetorial, ou seja, os termos , 
sendo que também é vetor. Dessa forma, os vetores fornecem a posição do ponto em 
relação à origem do sistema de coordenadas. Vamos a um exemplo?
Determine a equação da reta que passa pelos pontos (4, -1,2) e (1, 1,5). Vale 
lembrar: os dois pontos pertencem à reta, em que um deles será usado diretamente na 
equação. Ambos os pontos são usados para definir o vetor diretor da reta e, assim, basta 
colocar os resultados na equação e resolvido o problema estará.
Já para determinar a equação de um plano, é fundamental entender que um 
ponto pertencente é um vetor normal. Dessa forma, o ponto em um plano é definido 
por meio de um vetor formado pelos pontos no plano, que poderá ser ortogonal ao vetor 
normal do plano. Assim, a fórmula matemática se descreve:
55
 
No entanto, podem ocorrer espaços tridimensionais, sendo que a equação se 
expande para:
Em que:
 = , é um vetor do plano;
 = é um ponto que pertence ao plano;
 = é um ponto genérico do ponto.
Vamos a um exemplo? Determine o ponto (2,1) e o paralelo é ax+4y-3z=1. 
Observação: ponto do plano é fornecido e o paralelo é outro plano. Dessa forma, o vetor 
normal do plano é fornecido para obter a fórmula do novo plano.
(2,1,0)
 = (1,4,-3)
Além da reta e plano, há também as superfícies. As superfícies tridimensionais 
são formadas por equações de segundo grau, que podem ser parametrizadas assim:
x=x
y=y
z=z
O x e y são a função dependente, ou seja, a forma das funções quadráticas, que 
podem ser parábola, hipérbole ou elipse. Vamos a um exemplo? Observe a figura a seguir.
56
Figura 61 – Parametrização da parabolóide
Fonte: a autora
Na Figura 61, podemos concluir duas ideias: a primeira é que existe uma 
parábola em Z e E; a segunda é que existe uma circunferência no plano x0y. Dessa 
forma, estudaremos as parametrizações com coordenadas retangulares. Primeiramente, 
isolamos o z. Usaremos x e y como parâmetros e a função z (x, y). Assim:
x2 + y2 — z = 0
z = x2 + y2
Concluímos que, apesar de os limites não terem sido especificados, podemos 
encontrá-los por meio do: x2 = y2 = r2, em que r é o raio do círculo no plano x0y. Assim, 
facilmente o x e y variarão de —r + r.
57
3.1 CURVAS ESPACIAIS
Após estudarmos o espaço euclidiano, agora entenderemos a noção da trajetória 
de um objeto em movimento em um determinado espaço. Mas como podemos explicar a 
noção cotidiana de uma trajetória diária que possuímos? Pode ser uma sequência de 
fotos em movimentos tiradas em um intervalo de tempo, com posições ligadas a retas. 
Essa trajetória tem três dimensões. 
Assim, quando falamos de curvas, precisamos de uma estrutura matemática 
geral para qualquer trajetória. No entanto, o problema é representar a curva no espaço 
de forma eficiente, tendo sistema de coordenadas para representar analiticamente uma 
curva em termos de coordenadas, ou seja, tornar objetos geométricos em números. 
Uma curva espacial é definida por y como o lugar geométrico dos pontos:
 Na fórmula, utilizamos as coordenadas de um vetor , mas para 
descrever as coordenadas de um ponto na curva y. Assim, identificamos a posição de 
um objeto em sua trajetória descrita pela curva espacial γ. Além disso, o t é definido 
como o tempo, medido pelos nossos relógios. No entanto, para a geometria, o t não tem 
o significado específico, mas é utilizado como o comprimento da trajetória. 
 
A curva descrita como na definição supracitada está em forma paramétrica, em 
que t é o parâmetro que pertence a algum intervalo da reta real. Assim, denominaremos: 
as coordenadas x(t),y(t)z(t), ou x𝒊(t) de fórmulas horárias (ou seja, t será o tempo). 
Vamos ao exemplo? A reta é a forma paramétrica que exige que as suas 
equações sejam polinômios