Aula 2 - álgebra

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Polinômios 
Operações com polinômios 
 
Soma e subtração 
 
Exemplo: 
 
(5x²-2x+3) - (3x²-7x+5) = 
5x²-2x+3-3x²+7x-5 
5x²-3x²-2x+7x+3-5 
2x²+5x-2 
 
Multiplicação 
 
Exemplo: 
 
i) 3x(x²-2x+3) = 
3x³-6x²+9x 
 
ii) (2x-1) . (3x²+4x) = 
 6x³+8x²-3x²-4x 
 6x³+5x²-4x 
 
Produtos notáveis 
 
Quadrado da soma de dois termos 
 
Exemplo: 
 
(2x+y)²= 
(2x+y). (2x+y) = 
4x²+2xy+2xy+y²= 
4x²+4xy+y²= 
 
Também podemos resolver produtos notáveis com a regra: “o quadrado do primeiro 
mais duas vezes o primeiro multiplicado pelo segundo mais o quadrado do último”. 
Quadrado da diferença de dois termos 
Exemplo: 
(x-3)²= 
 
 
Unid. Curricular: Cálculo 0 
Professor: Jeronimo Becker Flores 
Curso: Engenharias, Arquitetura, Administração 
(x-3).(x-3) 
x²-3x-3x+9= x²-6x+9 
Também podemos utilizar a mesma regra do quadrado da soma. 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
Exemplo: 
(x-3)(x+3)= 
x² +3x-3x+9= 
x²+9 
Fatoração 
 
Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser descrita na forma abaixo: 
 
 p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn 
 
em que n é um número inteiro e a ≠ 0. 
 
 
Principais casos de fatoração: 
 Fator comum (evidência) 
 
ax + bx = x(a + b) 
 
 Diferença de Quadrados: 
a2 - b2 = (a + b) (a - b) 
x² - 16 = (x-4)(x+4) 
 
 Quadrados Perfeitos: 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
x²-10x + 25 = (x-5)² 
 
Agrupamento 
3x³ +x² -6x – 2 
X² (3x +1) -2 (3x+1) 
(x² -2) (3x+1) 
 
 Para equações do segundo grau 
 
Se a equação for ax²+bx+c=0 usamos (x-r). (x-r). 
 
Ex. x²-7x+10=0 
Pela fórmula de básckara encontramos x1= 2 e x2=5 
 
Logo (x-2) (x-5). 
 
 
Exercícios: 
 1) Simplifique as expressões: 
 
a) ( x² - 3x +7) +( 3x² + 5x – 3 ) 
 
b) ( - 3x² - 5 ) – ( x² + 7x + 12 ) 
 
c) ( 4x³ - x² + 3x) – ( x³ + 12x – 3) 
 
d) 2x(x² - x + 3) 
 
e) y²(2y² + 3y – 4) 
 
f) (a+3)² 
 
g) (m-6)² 
 
h) (2x+3).(2x-3) 
 
2) Fatore as expressões abaixo conforme cada um dos casos revisados: 
 
a) 5x – 15 
 
b) 25x² - 36 
 
c) z² - 49 
 
d) x²+6x+9 
 
e) 9x²+6x+1 
 
f) x²-9x+14 
 
 
3) Escreva as expressões na forma reduzida: 
 
a) xy
xxy
3

 b) 
𝑥2−49
𝑥+7
 
 
 
 
c) aab
cbc


 d) 
5𝑥+10
𝑥2−4
 
 
 
 
 
e) 4
44
2
2


x
xx
 f)
𝑎2−𝑏²
𝑎−𝑏
 
 
 
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
 
Uma equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade entre 
duas expressões algébricas. 
 
Exemplos: 
 
i) 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟑) + 𝟑(𝒙 + 𝟏) = 𝟓𝒙 + 𝟐 
𝟒𝒙 − 𝟔 + 𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟐 
𝟕𝒙 − 𝟓𝒙 = 𝟐 − 𝟑 + 𝟔 
𝟐𝒙 = 𝟓 
𝒙 = 𝟓/𝟐 
 
ii) 
𝟓𝒙−𝟐
𝟖
= 𝟐 +
𝒙
𝟒
 
𝟓𝒙 − 𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟐𝒙
𝟖
 
𝟓𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟔 + 𝟐 
𝟑𝒙 = 𝟏𝟖 
𝒙 =
𝟏𝟖
𝟑
= 𝟔 
 
iii) 
𝟑𝒙−𝟓
𝟐
−
𝒙−𝟐
𝟓
= 𝟕 
 
𝟓(𝟑𝒙 − 𝟓) − 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟕𝟎
𝟏𝟎
 
 
𝟏𝟓𝒙 − 𝟐𝟓 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟕𝟎 
𝟏𝟓𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟕𝟎 − 𝟒 + 𝟐𝟓 
𝟏𝟑𝒙 = 𝟗𝟏 
𝒙 =
𝟗𝟏
𝟏𝟑
= 𝟕 
Exercícios Propostos pelo professor: