Análise Estrutural I

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Análise Estrutural I
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
Disciplina: Análise Estrutural I
Professora: Andrea Brasiliano Silva
Semestre: 2018.1
Referência: “Métodos Básicos da Análise de Estruturas” – Luiz Fernando Martha – http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
Análise Estrutural I Análise de Estruturas
Dimensionamento
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
o comportamento da estrutura
atender condições de utilização
Deformações
Esforços internos e externos
Deslocamentos
Tensões
Introdução
Estruturas Reticuladas barras
Quais tipos ?
MECÂNICA GERAL E ISOSTÁTICA
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
https://www.aecweb.com.br/prod/cls/anuncios/pes_
42988/Estrutura-Metalica-Trelicada-1-gran.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-
Zj7JCi99tyQ/UMzTIjDw1nI/AAAAAAAAAVA/i
VV4L-sQ2dI/s1600/2.jpg
ANÁLISE ESTRUTURAL I
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
determinação dos esforços
Introdução
Método das Forças
Análise de estruturas hiperestáticas
Princípio dos trabalhos virtuaisPDV
PFV
Método dos Deslocamentos
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Leis Físicas Equilíbrio
Relações de compatibilidade
Leis constitutivas
Introdução
Concepção de uma estrutura modelo estrutural
Baseadas em que?
• Representação matemática da estrutura
descrever o comportamento da 
estrutura para as diversas 
solicitações
teorias e hipóteses
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
modelo estrutural
Estrutura Real
Modelo Estrutural O que 
representam?
Pilar
Viga
Fundações
Hipóteses!!
Introdução
Pórtico de um galpão industrial
formado por barrasEstruturas reticuladas
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
Análise de Estruturas Reticuladas Hiperestáticas
• Grelhas
• Pórticos planos
• Vigas
• Treliças
Método das Forças
Método dos Deslocamentos
Análise Estrutural I – Introdução à Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
Referência: “Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos” – Luiz Fernando Martha – Elsevier, 2010.
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
2.1 Classificação de modelos de estruturas 
reticuladas
Referência: “Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos” – Luiz Fernando Martha – Elsevier, 2010.
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Estruturas reticuladas Barras
Pórticos 
• Pórticos ou quadros planos
estrutura contida num plano
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Treliças
Grelhas
carregamento no próprio plano
Representação bidimensional
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Deslocamentos:
Simplificações
✓ não existem deslocamentos em z
✓ não existem rotações em torno de x e y
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Ligações entre as barras:
Rígidas Deslocamentos e rotações compatíveis
OBS: A MENOS QUE HAJA ARTICULAÇÕES
Esforços internos:
Eixos locais e esforços internos de uma barra de quadro plano
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
• Treliças
Estruturas reticuladas articulações nas ligações das barras
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Esforço interno normal 
de uma treliça plana
Análise estrutural
Eixos globais
Cargas e reações 
Cargas transferidas para os nós
+ ligações articuladas

Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Estabilidade das Construções I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
• Grelhas
Estruturas planas carregamento perpendicular ao plano
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
deslocamento na direção 
do eixo global Z
rotação em torno 
do eixo global Xrotação em torno 
do eixo global Y
Momentos em 
torno dos eixos 
do próprio plano
Não apresenta 
deslocamentos 
no próprio plano
Estabilidade das Construções I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
• Grelhas
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Esforços internos:
Ligações entre as barras: Rígidas
Deslocamentos e rotações compatíveis
OBS: A MENOS QUE HAJA ARTICULAÇÕES
esforço cortante na 
direção do eixo local z
momento fletor em torno 
do eixo local y
momento torçor em torno 
do eixo local x ou y
zQQ =
yMM =
xTT =
• Quadro ou pórtico espacial
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.1 Classificação de modelos de estruturas reticuladas
Cada ponto
três componentes de deslocamento
três componentes de rotação
Esforços internos:
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
Referência: “Métodos Básicos da Análise de Estruturas” – Luiz Fernando Martha – http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
2.2 Condições Básicas da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
Modelo estrutural
determinação de esforços
deslocamentos …
concebido a partir de hipóteses
Análise estrutural
representação adequada da estrutura real
Relações matemáticas:
Condições de equilíbrio
Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
Condições sobre o comportamento dos materiais
geometria
material
vínculos …
condições satisfeitas
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
2.2.1 Condições de equilíbrio
garantem o equilíbrio estático
Estrutura com três barras articuladas
Exemplo:
✓esforços internos axiais
✓ reações de apoio convergem em um ponto
✓ simetria da estrutura
barras inclinadas esforços normais iguais
Treliça plana Equilíbrio do nó em X e Y
(equilíbrio em X )
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
2.2.1 Condições de equilíbrio
Estrutura com três barras articuladas
Equilíbrio do nó P em Y:
2 incógnitas
1 equaçãoO que significa?
Note que:
✓equações de equilíbrio
geometria 
indeformada
análise de 1ª ordem
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
2.2.2 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
O que são?
Para que servem?
condições geométricas
continuidade da estrutura
compatibilidade com vínculos externos
Compatibilidade interna
sem vazios
Compatibilidade externa
deslocamentos e deformações compatíveis com vínculos externos
barras ligadas pelos nós
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
2.2.2 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
Compatibilidade externa garantida !
Compatibilidade interna garantida !
Deslocamento do nó  alongamento das barras
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
2.2.2 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
Compatibilidade interna garantida
estabelecer relações de compatibilidade 
alongamento das barras 
deslocamento vertical do nó inferior
X
relação de compatibilidadealongamentos das barras 
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
Condição de compatibilidade
4incógnitas
Condição de equilíbrio
N1 , N2 , d1 e d2
Como estabelecer uma relação 
entre elas?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2.3 Leis Constitutivas
Comportamento dos materiais relações entre tensões e deformações
2.2 Condições básicas da análise estrutural
linear
Teoria da Elasticidade
tensões proporcionais às deformações
regime elástico - linear
+ hipótese de pequenos deslocamentos
Métodos de análise de estruturas hiperestáticas
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2.3 Leis Constitutivas
2.2 Condições básicas da análise estrutural
Estrutura material elástico linear
Barras esforços axiais de tração
normais às seções transversais
Lei constitutiva
(Lei de Hooke)
E → módulo de elasticidade
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2.3 Leis Constitutivas
2.2 Condições básicas da análise estrutural
equação de equilíbrio:
equação de compatibilidade:Relacionar
lei constitutiva:
Barra vertical
Barras inclinadas
1
2
3
4
4 equações 4 incógnitas
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.2 Condições básicas da análise estrutural
Conclusão:
Estrutura HIPERESTÁTICA
Solução
3 condições básicas
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
Referência: “Métodos Básicos da Análise de Estruturas” – Luiz Fernando Martha – http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
2.3 Comportamento Linear e Superposição 
de Efeitos
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
Método das forças 
Análise de estruturas hiperestáticas
Método dos deslocamentos
Superposição de casos básicos
Princípio da superposição de efeitos
(metodologia)
(possibilita)
“Superposição dos campos de deslocamentos provocados por
vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo
de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças
atuando concomitantemente”
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
• Princípio da superposição de efeitos
Comportamento linear da estrutura
O que significa?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
hipótese de pequenos 
deslocamentos
regime elástico-
linear
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
• Hipótese de pequenos deslocamentos
maioria das estruturas civis
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
geometria indeformada
Análise de 1ª ordem
equações de equilíbrio 
• Casos particulares:
deslocamentos não podem ser desprezados
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
• EXEMPLO 
Análise de 2ª ordem
Geometria deformada equações de equilíbrio 
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
• Exemplos clássicos de estruturas instáveis (White et al. 1976)
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
três componentes verticais de 
reação de apoio
três reações concorrentes 
em um ponto
Equilíbrio 
poderia ser 
alcançado?
Como torná-
la estável?
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.3 Comportamento linear e superposição de efeitos
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Análise de 2ª ordem
Pequenos deslocamentos x Comportamento linear
2 situações:
1) pequenoa →
2) grandea →
),,,( baHVaa  =
(função linear)
),,,( baHV aaa  +=
(função não-linear)
material 
elástico-linear
não-linearidade geométrica
Referência: “Métodos Básicos da Análise de Estruturas” – Luiz Fernando Martha – http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
2.4 Estruturas Estaticamente Determinadas 
e Indeterminadas
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
O que 
seriam?
Estaticamente determinadas 
Estaticamente indeterminadas 
esforços internos e externos determinados 
apenas por condições de equilíbrio
As estruturas que não podem ter seus esforços
internos e externos determinados apenas pelas 
condições de equilíbrio
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
Isostática
Hiperestática
infinitos valores possíveis 
para a reação horizontal H
um vínculo 
externo excedente
solução única
número exato 
de vínculos
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
reações verticais = P/2 reações horizontais iguais
valor indefinido!!
Isostática x Hiperestática
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
maior distribuição dos esforços
X
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
Hiperestática
Variação de rigidez relativa
maior controle dos esforços internos
caso intermediário
Isostática x Hiperestática
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
Segurança adicional
vínculos excedentesHiperestática
Recalques de apoio:
viga isostática
viga hiperestática
movimento de corpo rígido sem o 
aparecimento de esforços internos deformações que induzem 
momentos fletores
Isostática x Hiperestática
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
nº exato de vínculosIsostática pequenas variações
não alteram equações de equilíbrionão introduzem esforços adicionais
Variação de temperatura:
HIPERESTÁTICA
Isostática x Hiperestática
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.4 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas
ISOSTÁTICA pequenas deformações não introduzem esforços adicionais
pequenas deformações
PODEM induzir esforços adicionais
Referência: “Métodos Básicos da Análise de Estruturas” – Luiz Fernando Martha – http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Grau de Hiperestaticidade
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Método das forças 
Análise de estruturas hiperestáticas
Método dos deslocamentos
vínculos excedentesgrau de hiperestaticidade (g)
g = (n° de incógnitas do problema estático) – (n° de equações de equilíbrio)
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Procedimento geral pórticos planos e grelhas
Incógnitas do problema estático A que estão associadas?
vínculos externos e internos
reações de apoio
ciclos fechados
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Cada reação 1 incógnita
E quanto ao ciclo fechado?
Grau de hiperestaticidade externa
Quantas incógnitas são introduzidas no problema?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
EXEMPLO:
Isostático ou Hiperestático?
É possível determinar as reações apenas 
com as condições de equilíbrio?
E quanto aos esforços internos?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Pórtico plano externamente isostático e 
internamente hiperestático
Cada ciclo fechado  3 incógnitas
Grau de hiperestaticidade interna
Estrutura Hiperestática!
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Número de incógnitas do problema estático
nincógnitas= (n° de componentes de reação de apoio) + 3 x (n° de anéis)
E quanto ao número de 
equações?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Número de equações do problema estático
nequações= 3+ (n° de equações vindas de articulações 
internas)
Equações que garantem o equilíbrio global
Equações provenientes de liberações de continuidade interna
3
+
rótulas (articulações internas)
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Equações provenientes de liberações de continuidade interna
n = 2 barrasrótula simples
rótula com três barras 
convergindo
n = 3 barras
1 equação de equilíbrio
2 equações de equilíbrio
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
nó com três barras convergindo (apenas uma 
barra articulada)
1 equação de equilíbrio
O número adicional de equações de equilíbrio introduzido por uma 
articulação completa na qual convergem n barras é igual a n – 1
Equações provenientes de liberações de continuidade interna
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Resumindo:
g = [(n° de reações de apoio) + 3 ⋅ (n° de anéis)] – [ 3 + (n° de eq. vindas de rótulas)]
g = (n° de incógnitas do problema estático) – (n° de equações de equilíbrio)
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
EXEMPLOS:
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
EXEMPLOS:
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.5 Determinação do grau de hiperestaticidade
Grelhas:
a presença de articulações (rótulas) em grelhas pode
acrescentar mais do que uma equação de equilíbrio por
rótula
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2. Conceitos Básicos da Análise Estrutural
2.6 Determinação do grau de hiperestaticidade
Como proceder no caso de treliças?
Análise Estrutural I – Conceitos Básicos da Análise Estrutural