Noções de Probabilidade e Estatística

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NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
E ESTATÍSTICA 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
1. O QUE É ESTATÍSTICA?
Durante um telejornal, o repórter divulgou uma 
pesquisa segundo a qual apenas 5% dos brasileiros têm o 
hábito de ler jornal diariamente. 
Você já pensou em como são feitas pesquisas 
como essa? Como é possível entrevistar toda a 
população brasileira para se saber a porcentagem de 
leitores de jornal? 
O uso da pesquisa é bastante comum nas várias 
atividades humanas. 
Exemplos: 
1°) As indústrias costumam realizar pesquisas 
entre os consumidores antes do lançamento de um novo 
produto no mercado. 
2°) As pesquisas eleitorais fornecem elementos 
para que os candidatos direcionem a campanha. 
3°) A pesquisa do desempenho dos atletas ou das 
equipes em uma partida ou em um campeonato interfere 
no planejamento dos treinamentos. 
4°) Emissoras de tevê utilizam pesquisas que 
mostram a preferência dos espectadores para organizar 
sua programação. 
A realização de uma pesquisa envolve muitas 
etapas, como a escolha da amostra, a coleta e 
organização dos dados (informações), o resumo desses 
dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos 
resultados. 
A parte da Matemática que trata desses assuntos é 
a ESTATÍSTICA. 
Como uma primeira idéia, podemos entender a 
estatística como sendo um método de estudo de 
comportamentos coletivos cujas conclusões são 
traduzidas em resultados numéricos. 
2. POPULAÇÃO
A Estatística parte da observação de grupos, 
geralmente numerosos, aos quais damos o nome de 
população ou universo estatístico. 
Cada elemento da população estudada é 
denominado unidade estatística. 
Veja: 
POPULAÇÃO 
ESTATÍSTICA 
UNIDADE ESTATÍSTICA 
48 alunos que estudam 
na 5ª série de uma 
escola 
Cada aluno que estuda na 
5ª série dessa escola 
Clubes campeões 
paulistas de futebol 
Cada clube campeão 
paulista de futebol 
3. AMOSTRA
A população estatística pode ser finita ou infinita. 
• Finita: quando apresenta um número finito de
elementos.
Por exemplo: 
– Um número de operários que trabalham em uma
fábrica em uma determinada data. 
– As notas de Matemática dos alunos do ensino
médio em um determinado bimestre. 
• Infinita: quando apresenta um número infinito de
elementos. 
Por exemplo: 
– as temperaturas nos diversos pontos do Brasil
em determinado momento. 
Quando o universo estatístico é infinito, não é 
possível fazer uma observação que abranja todos os seus 
elementos. Nesse caso, recorre-se a um subconjunto do 
universo estudado que chamamos de amostra. 
Mesmo quando o universo é finito, há razões que 
nos levam à utilização da técnica de amostragem, tais 
como: 
- razões econômicas, por ser dispendioso observar
grande número de elementos; 
- razões de tempo, pois uma observação demorada
pode levar a resultados desatualizados. 
4. VARIÁVEL
A observação da população é dirigida ao estudo de 
uma dada propriedade ou característica dos elementos 
dessa população. Essa característica pode ser: 
• Qualitativa: se os valores tomados não são
numéricos, como: raça, área de estudos, meio
de transporte etc.
• Quantitativa: se os valores tomados são
numéricos, como a altura, o peso, o preço de
um produto etc.
Uma característica quantitativa também se chama 
variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor 
que essa variável pode assumir chama-se dado 
estatístico. 
As variáveis estatísticas podem ser: 
– Contínuas: quando podem assumir qualquer
valor do intervalo da variação. Por exemplo, na
determinação das alturas dos adolescentes de
uma escola, a variável "altura" é contínua.
– Discretas: quando só podem assumir valores
inteiros. Por exemplo, na determinação do
número de sócios de um certo clube, a variável
"número de sócios" é discreta.
5. ROL
É toda sequência (a1; a2; a3; ...; a4,) de dados 
numéricos tal que: 
1
• cada termo, a partir do segundo, é maior ou
igual ao seu antecessor; 
• ou cada termo, a partir do segundo, é menor
ou igual ao seu antecessor. 
Exemplo: os cinco alunos de uma amostra 
apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de 
matemática 6; 4; 8; 7; 8. Apresentando esses dados em 
rol, temos: (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4). 
6. CLASSES
Em uma mostra de latas de óleo comestível, foram 
constatados os seguintes volumes em mililitros: 980; 990; 
1.000; 970; 980; 1.000; 1.010; 950; 970; 940; 1.020; 
1.010; 920; 990; 950; 900; 1.000; 950; 970; 1.010. 
Podemos separar os elementos dessa amostra em róis 
disjuntos (sem elementos comuns). 
Por exemplo: 
I. 900;920
II. 940
III. 950; 950; 950
IV. 970; 970; 970; 980; 980
V. 990; 990; 1.000; 1.000; 1.000
VI. 1.010; 1.010; 1.010; 1.020
Qualquer intervalo real que contenha um rol da 
amostra é chamado de classe. Por exemplo, podemos 
formar as seguintes classes com os elementos dessa 
amostra: 
• o intervalo [900, 940[ contém o rol (I);
• o intervalo [940, 950[ contém o rol (II);
• o intervalo [950, 970[ contém o rol (III);
• o intervalo [970, 990[ contém o rol (IV);
• o intervalo [990, 1.010[ contém o rol (V);
• o intervalo [1.010, 1.020] contém o rol (VI).
A diferença entre o maior e o menor elemento de 
uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude da 
classe. 
Por exemplo: 
A amplitude da classe [900, 940[ é 940 – 900 = 40. 
► NOTAS
1. Os extremos de cada classe não precisam ser,
necessariamente, elementos da amostra, mas se o forem, 
deve-se tomar o cuidado de não permitir que um mesmo 
elemento pertença a duas classes simultaneamente; por 
isso, no exemplo anterior, com exceção do último 
intervalo, consideramos os demais abertos à direita. 
2. Embora não seja obrigatório, é conveniente que,
dentre duas classes consecutivas, o extremo à direita 
(aberto) da primeira coincida com o extremo à esquerda 
(fechado) da segunda, como fizemos no exemplo ar tenor. 
7. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A quantidade de elementos da amostra que 
pertencem a uma determinada classe é chamada de 
frequência dessa classe. No exemplo anterior: 
• a frequência da classe [900, 940[ é igual a 2, pois
2 elementos da amostra pertencem a essa classe; 
• a frequência da classe [940, 950[ é igual a 1, pois
apenas 1 elemento da amostra pertence a essa classe; 
• analogamente, as classes [950, 970[; [970, 990[;
[990, 1.010[ e [1.010, 1.020] têm frequências, 
respectivamente, iguais a 3, 5, 5 e 4. 
Podemos apresentar as classes com suas 
respectivas frequências através de uma tabela chamada 
de tabela de distribuição de frequência: 
Classe (volume em mililitros) F 
[900, 940[ 2 
[940, 950[ 1 
[950, 970[ 3 
[970, 990[ 5 
[990, 1.010[ 5 
[1.010, 1.020] 4 
A soma de todas as frequências, 
2+1+3+5+5+4=20, é chamada de frequência total (Ft) da 
distribuição. Dividindo a frequência F de uma classe pela 
frequência total Ft, obtemos um número chamado de 
frequência relativa da classe. É usual apresentar-se a 
frequência relativa em porcentagem. Indicando a 
frequência relativa de uma classe por F%, tem-se que: 
%100
F
F
%F 
Assim, da tabela anterior, temos que: 
• a classe [900, 940[ tem frequência relativa igual a
%10%1001,0%100
20
2

• a classe [940, 950[ tem frequência relativa igual a
%5%10005,0%100
20
1
 
• a classe [950, 970[ tem frequência relativa igual a
%15%10015,0%100
20
3

• a classe [970, 990[ tem frequência relativa igual a
%25%10025,0%100
20
5

• a classe [990, 1.010[ tem frequência relativa igual
a 
%25%10025,0%100
20
5

• a classe [1.010, 1.020] tem frequência relativa
igual a 
%20%10020,0%100
20
4

Assim, temos a tabela de distribuição de frequência 
e de frequência relativa: 
Classe 
(volume em mililitros) 
F F% 
[900, 940[ 2 10% 
[940, 950[ 1 5% 
[950, 970[ 3 15% 
[970, 990[ 5 25% 
[990, 1.010[ 5 25% 
[1.010, 1.020] 4 20% 
F1 = F =20 
2
8. CLASSES UNITÁRIAS
Podemos considerar uma classe como sendo um 
único número real. Esse tipo de classe é denominado 
classe unitária. 
Exemplo: 
Para avaliar o nível de ensino em uma região, 
escolheu-se uma amostra de trezentos alunosda primeira 
série do ensino médio e aplicou-se uma prova. 
A tabela de distribuição de frequência abaixo 
mostra o resultado dessa prova. As notas representam 
classe unitárias. 
Classe (nota) Freqüência (nº. de alunos) 
2,0 40 
3,0 85 
5,0 75 
6,0 50 
7,0 30 
8,0 20 
9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Em muitos casos, uma representação gráfica de 
uma distribuição de frequências nos dá uma idéia melhor 
de um levantamento estatístico do que um quadro com 
números. 
Nesse item, estudaremos as representações 
gráficas mais usadas em Estatística. 
Gráfico de barras 
Os dados de uma tabela podem ser representados 
graficamente por retângulos paralelos, horizontais ou 
verticais, todos de mesma largura e comprimentos 
proporcionais às frequências. 
Esses gráficos, chamados gráficos de barras, 
permitem uma rápida exploração visual e uma 
comparação entre a variável em estudo e suas 
frequências. 
O gráfico de barras verticais é também chamado 
de gráfico de colunas. 
Gráfico de Setores 
O gráfico de setores é um círculo dividido em 
partes (setores), cujas medidas são proporcionais às 
frequências relativas, como nos dois exemplos a seguir: 
Gráfico poligonal ou de linha 
Traçado no plano cartesiano, esse tipo de gráfico é 
usado geralmente para identificar tendências de aumento 
ou diminuição de valores numéricos de uma variável: 
índices de audiência de programas de televisão, lucros de 
empresas, desempenho de atletas etc. 
O gráfico poligonal é chamado também de gráfico 
de linha. 
10. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
Observe o gráfico abaixo sobre abate de animais. 
Vamos responder às seguintes perguntas: 
3
► Qual a porcentagem de animais abatidos de cada
espécie?
► Supondo que a produção de carne bovina foi obtida de
20 mil animais, qual a quantidade de aves abatidas?
O gráfico ilustra a porcentagem de abate em 3 
espécies de animais em um frigorífico. 
Projetando cada barra no eixo horizontal lemos que 
foram abatidos 48% de suínos, 36% de aves e 16% de 
bovinos. 
Para sabermos a quantidade de aves abatidas, 
temos: 
20000  16%
x(aves)  36%
45000x
16
3620000
x 


Portanto, foram abatidas 45 mil aves.
Veja, agora, outra situação: 
Foi feita uma pesquisa com os 1200 alunos de 
uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam 
de praticar. O resultado foi o seguinte: 
ATIVIDADE 
ESPORTIVA 
N° DE ALUNOS 
vôlei 600 
basquete 180 
futebol 120 
natação 60 
outras 240 
Vamos construir o gráfico de setores correspondente 
a essa tabela. 
Lembrando que uma circunferência tem 360°, 
podemos calcular, usando uma regra de três simples e 
direta, o ângulo central correspondente a cada uma das 
atividades escolhidas pelos alunos. Veja: 
► VÔLEI
1200  360°
600  V


 180V
1200
360600
V
► BASQUETE
1200  360°
180  B


 54B
1200
360180
B
► FUTEBOL
1200  360°
120  F


 36x
1200
360120
F
► NATAÇÃO
1200  360°
60  N


 18x
1200
36060
x
► OUTRAS ATIVIDADES
1200  360°
240  O


 72x
1200
360240
x
Uma vez calculados os ângulos de cada setor, 
basta demarcar as áreas no círculo, usando o transferidor. 
Assim: 
Como as áreas de cada setor devem ser 
proporcionais às frequências relativas percentuais, é 
comum, nesse tipo de gráfico, as porcentagens virem 
expressas dentro dos setores. Veja a tabela abaixo. 
ATIVIDADE 
ESPORTIVA 
N° DE 
ALUNOS (fi) 
fr fr(%) 
vôlei 600 0,50 50 
basquete 180 0,15 15 
futebol 120 0,10 10 
natação 60 0,05 5 
outras 240 0,20 20 
9. HISTOGRAMA
O histograma é um gráfico utilizado para representar 
uma distribuição de frequência em que as classes não 
são unitárias. 
Veja, a seguir como esse gráfico é construído. 
1º. Separam-se os elementos da amostra em classes de 
mesma amplitude e representam-se essas classes no 
eixo das abscissas: 
4
Classe Freqüência 
[x1, x2[ F1 
[x2, x3[ F2 
[x3, x4[ F3 
 
[xn-1, xn] Fn 
2°. Constroem-se retângulos cujas bases coincidem com 
as classes; a altura de cada retângulo representa a 
frequência da classe correspondente. 
► NOTA: Podem-se construir histogramas com classes
de amplitudes diferentes, porém, a altura de cada
retângulo não representará a frequência da classe. Por
isso, é mais usual adotar uma mesma amplitude para as
classes.
Exemplo: Os alunos de uma amostra apresentaram as 
seguintes estaturas, em centímetros: 
165 170 165 177 
169 180 162 171 
178 173 164 172 
181 166 168 170 
 Vamos separar os elementos da amostra em quatro 
classes de mesma amplitude: 
Classe (estatura em cm) Freqüência 
[161,5; 166,5[ 4 
[165,5; 171,5[ 6 
[171,5; 176,5[ 2 
[176,5; 181,5] 4 
► NOTA: Lembre-se que os extremos de classe não
precisam ser, necessariamente, elementos da amostra.
Começamos da medida 161,5 cm, mas poderíamos ter
começado de outra medida, por exemplo, 161,8 cm ou de
162 cm, que é o menor elemento da amostra. Se você
optar por começar de valores não pertencentes à
amostra, procure sempre começar de um valor a menos
de uma unidade do menor elemento da amostra.
O histograma correspondente a essa distribuição é: 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01 (BB – Fundação Carlos Chagas). O supervisor de uma 
agência bancária obteve dois gráficos que mostravam o 
número de atendimentos realizados por funcionários. O 
Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados 
pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o 
Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados 
pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia. 
Observando os dois gráficos, o supervisor desses 
funcionários calculou o número de atendimentos, por 
hora, que cada um deles executou. O número de 
atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a 
mais que o funcionário C é: 
(A) 4. (B) 3. (C) 10. (D) 5. (E) 6.
Resolução
Funcionário B:
25 atendimentos / 2,5 horas = 10 clientes por hora
Funcionário C: 
21 atendimentos / 3,5 horas = 6 clientes por hora 
Diferença: 10 – 6 = 4 
Resposta: A 
02. ( Cesgranrio). Os gráficos abaixo apresentam dados
sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas
regiões do planeta.
B
aseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões 
de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo 
recicladas na China e nos EUA em um ano? 
(A) 9,08 (B) 10,92 (C) 12,60 (D) 21,68 (E) 24,80
0 x1 x2 x3 x4 
| 
xn ... Classe 
F 
F2 
F1 
F3 
... 
0 161,5 166,5 171,5 176,5 181,5 Classe 
F 
8 
4 
2 
5
https://cdn-0.sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-bb-2013-questao-21.jpg
https://cdn-0.sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-bb-2012-2.jpg
Resolução: 
A China produz 300 milhões e recicla 30%, ou seja, 
recicla 90 milhões. 
Os EUA produzem 238 milhões e recicla 34%, ou seja, 
reciclam 80,92 milhões. 
China – EUA = 90 – 80,92 = 9,08 milhões de toneladas. 
Resposta: A 
03. (FCC)
O gráfico mostra o número de pontos de uma equipe de 
futebol nas 12 primeiras rodadas de um campeonato. 
Sabendo que, nesse campeonato, em caso de vitória a 
equipe soma três pontos, em caso de empate soma um 
ponto e em caso de derrota não soma ponto, assinale a 
alternativa correta. 
a) A equipe perdeu os jogos da segunda, terceira e quarta
rodadas.
b) Nas doze rodadas, o número de vitórias foi igual ao
número de derrotas.
c) A média de pontos obtidos por rodada, nessas doze
rodadas, é igual a 1,5 pontos.
d) A equipe conseguiu dois empates entre a sétima e a
nona rodadas.
e) Nas doze rodadas, a equipe empatou três vezes.
Solução: 
a) Incorreta!
Na segunda rodada, a equipe venceu o jogo, subindo seu 
ranking para 4 pontos. 
b) Correta!
c) Incorreto!
A média dos pontos obtidos por rodada é a soma de todos 
os pontos obtidos, dividida pelo número de rodadas 
jogadas. Pela tabela, o time alcançou 17 pontos em 12 
rodadas: 
17/12 = 1,42 aproximadamente. 
d) Incorreta!
A equipe venceu o jogo da sétima rodada e perdeu os 
jogos da oitava e nona. 
e) Incorreta!
A equipe empatou em duas rodadas: primeira e décima.Alternativa B 
04.( Cesgranrio) Para construir um gráfico de setores, 
representando alguma estatística a respeito de sua turma, 
um estudante fez a divisão ilustrada na imagem e colocou 
nele um número referente a um dos setores do gráfico. A 
respeito dessa construção, assinale a alternativa correta. 
a) O maior ângulo central nesse gráfico mede 150°.
b) O número total de alunos nessa turma é 62.
c) O menor setor do gráfico está relacionado a 9 alunos.
d) Não é possível garantir que os setores são
proporcionais aos números que representam.
e) O maior setor desse gráfico representa 20 alunos.
Solução: 
Observe que as medidas do lado direito desse gráfico são 
ambas com 90°, totalizando 180°. Para os dois outros 
ângulos, sobram apenas 180°. Como 30° é a medida do 
ângulo do menor setor, então 150° é a medida do ângulo 
do maior setor. Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
Para mostrar que as outras alternativas estão erradas, 
basta usar regra de três e descobrir os valores específicos 
de cada parte do gráfico. 
Alternativa A 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01. Um estudo sobre o problema do desemprego na
Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo
SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre
taxa de desemprego.
MÉDIAS ANUAIS DA TAXA DE DESEMPREGO 
TOTAL GRANDE SÃO PAULO 1985-1996 
Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no 
período considerado: 
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do
período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi
decrescente.
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve
entre 8% e 16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período
compreendido entre 1988 e 1991.
02. (Enem) Uma pesquisa de opinião foi realizada para
avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada
noite. Os resultados obtidos estão representados no
gráfico de barras a seguir:
6
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-os-graficos.htm
I. O número de residências atingidas nessa pesquisa
foi, aproximadamente, de:
a)100 b) 135 c)150 d)200 e)220
II. A percentagem de entrevistados que declararam
estar assistindo à TvB é aproximadamente igual a:
a)15% b) 20% c)22% d)27% e)30%
03. O gráfico de setores representado a seguir mostra a
distribuição de uma amostra de alunos e suas
respectivas notas na prova de português.
Sabendo que a amostra é composta de sessenta alunos, 
responda: 
a) Quantos alunos tiveram nota 3?
b) Quantos alunos tiveram nota 5?
c) Qual a frequência relativa da classe "nota 6"?
04. O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de
garrafas de refrigerantes e seus respectivos volumes
em mililitros:
a) Quantas garrafas compõem essa amostra?
b) Qual a freqüência relativa da classe "300 ml"?
05. (CEF) O gráfico mostra as vendas de televisores em
uma loja:
Pode-se afirmar que: 
a) as vendas aumentaram mês a mês.
b) foram vendidos 100 televisores até junho.
c) as vendas do mês de maio foram inferiores à soma
das vendas de janeiro e fevereiro.
d) foram vendidos 90 televisores até abril.
e) se cada televisor é vendido por R$ 240,00, em maio
a loja faturou, com as vendas desse produto, R$
7.200,00.
06. (Enem) Para convencer a população local da
ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na
expansão da oferta de linhas, um político publicou no
jornal local o gráfico I, abaixo representado. A
Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois
o gráfico II, onde pretende justificar um grande
aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período
considerado, foram instaladas, efetivamente, 200
novas linhas telefônicas.
Gráfico I 
Gráfico II 
Analisando os gráficos, pode-se concluir que: 
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do
que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II
incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o
gráfico I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois
gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam
escalas diferentes.
07. (Cesgranrio) O gráfico representa, em milhares de
toneladas, a produção no estado de São Paulo de um
42º 
48º 
30º 
30º 
90º 
120º Nota 5 
Nota 2 
Nota 8 
Nota 3 
Nota 6 
Nota 4 
7
determinado produto agrícola entre os anos de 1990 
a 1998. 
Analisando o gráfico, observa-se que a produção: 
a) foi crescente entre 1992 e 1995.
b) teve média de 40 mil toneladas ao ano.
c) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao ano
anterior.
d) a partir de 1995 foi decrescente.
e) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
08. (FCC) O gráfico a seguir representa o resultado de
uma pesquisa feita em um município, no mês de
junho de 2001, a fim de analisar a redução do
consumo de energia em residências, tendo em vista a
meta fixada pelo governo, e com base na seguinte
pergunta: "Qual a redução conseguida em relação à
meta"?
A partir dessa informação e sabendo que o percentual 
para cada resposta é proporcional à área do setor que o 
representa, o ângulo do setor correspondente à resposta 
"Menor" é igual a: 
a) 108,3°
b) 118,8°
c) 142°
d)151,2°
e) 160°
GABARITO 
01 D 
02 I – D; II – A 
03 a) 7; b) 20; c) 25%
04 a) 700; b) 57,14%
05 D 
06 D 
07 E 
08 D 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
1. INTRODUÇÃO
Dividindo a renda nacional anual de um país pelo 
número de habitantes, obtém-se a renda per capita, isto é, 
a renda por pessoa. 
Supondo que a renda per capita de um país é de 
5.000 dólares, pode-se concluir que a distribuição de 
renda nesse país é equitativa? É claro que não, pois 
pode-se ter, por exemplo, metade da população não 
ganhando nada, e cada cidadão da outra metade 
ganhando 10.000 dólares; a renda per capita continuaria 
sendo 5.000 dólares. 
Esse exemplo ajuda a entender que é necessário 
mais de um parâmetro para avaliar a distribuição dos 
valores de uma amostra de números. Vamos estudar 
alguns desses parâmetros, denominados medidas 
estatísticas. 
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO
2.1. Mínimo e Máximo 
Um conjunto de dados quantitativos possui muitos 
recursos. Um dos objetivos das estatísticas é descrever 
esses recursos com valores significativos e fornecer um 
resumo dos dados sem listar todos os valores do conjunto 
de dados. Algumas dessas estatísticas são bastante 
básicas e quase parecem triviais. O máximo e o mínimo 
fornecem bons exemplos do tipo de estatística descritiva 
que é fácil de marginalizar. Apesar de esses dois números 
serem extremamente fáceis de determinar, eles aparecem 
no cálculo de outras estatísticas descritivas. Como vimos, 
as definições de ambas as estatísticas são muito 
intuitivas. 
O mínimo 
Começamos examinando mais de perto as 
estatísticas conhecidas como o mínimo. Este número é o 
valor dos dados que é menor ou igual a todos os outros 
valores em nosso conjunto de dados. Se tivéssemos que 
ordenar todos os nossos dados em ordem crescente, o 
mínimo seria o primeiro número em nossa lista. Embora o 
valor mínimo possa ser repetido em nosso conjunto de 
dados, por definição, este é um número único. Não pode 
haver dois mínimos porque um desses valores deve ser 
menor que o outro. 
O máximo 
Agora voltamos ao máximo. Este número é o valor 
dos dados que é maior ou igual a todos os outros valores 
em nosso conjunto de dados. Se ordenássemos todos os 
nossos dados em ordem crescente, o máximo seria o 
último número listado. O máximo é um número exclusivo 
para um determinado conjunto de dados. Esse número 
pode ser repetido, mas há apenas um máximo para um 
conjunto de dados. Não pode haver dois máximos porque 
um desses valores seria maior que o outro. 
Exemplo 
A seguir está um exemplo de conjunto de dados: 
23, 2, 4, 10, 19, 15, 21, 41, 3, 24, 1, 20, 19, 15, 22, 11, 4 
Ordenamos os valores em ordem crescente e 
vemos que 1 é o menor da lista. Isso significa que 1 é o 
mínimo do conjunto de dados.Também vemos que 41 é 
maior do que todos os outros valores da lista. Isso 
significa que 41 é o máximo do conjunto de dados 
8
2.2. Média Aritmética ( x ) 
Os conteúdos de 4 baldes de água são: 3l, 5l, 2l e 1l. 
Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre 
esses baldes, com quantos litros de água ficaria cada 
um? 
A quantidade de água de cada um seria razão da 
quantidade total de água para o número de baldes, isto é: 
 75,2
4
1253


O resultado 2,75l é chamado de média aritmética 
dos valores 3l, 5l, 2l e 1l. 
Podemos entender a média aritmética de duas ou 
mais quantidades como sendo o valor que cada uma 
delas teria se, mantendo-se a soma delas, todas fossem 
iguais. 
A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, que 
se indica por x , é dada por: 
n
xxxx
x n321 


ou, usando o símbolo de somatório: 
n
x
x
n
1i
i

2.3. Média aritmética ponderada 
Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três 
outros contêm 2l de água cada um, e, ainda, dois outros 
contêm 5l de água cada um. Se toda essa água fosse 
distribuída igualmente entre esses baldes, com quantos 
litros ficaria cada um? 
A quantidade de água de cada balde seria a razão da 
quantidade total de água para o número de baldes, isto é: 
 6,3
10
253254


O resultado 3,6l é chamado de média aritmética 
ponderada dos valores 4l, 2l e 5l, com pesos (fatores de 
ponderação) 5, 3 e 2, respectivamente. 
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, 
... , xn, com pesos, p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é o 
número x tal que: 
n321
nn332211
pppp
pxpxpxpx
x





ou, usando o símbolo de somatório; 




n
1i
i
n
1i
ii
p
px
x
Consideremos a distribuição relativa a 34 
famílias de quatro filhos, tomando para variável o número 
de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade 
média de meninos por família: 
Nº de meninos freqüência = fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
total 34 
 Como as frequências são números indicadores
da intensidade de cada valor da variável, elas
funcionam como fatores de ponderação, o que
nos leva a calcular a média aritmética
ponderada.
..xi. ..fi. ..xi.fi . 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
total 34 78 
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família 
2.4. Moda ( Mo) 
É o valor que ocorre com maior frequência em 
uma série de valores. 
Desse modo, o salário modal dos empregados de 
uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário 
recebido pelo maior número de empregados dessa 
fábrica. 
A Moda quando os dados não estão agrupados  
A moda é facilmente reconhecida: basta, de 
acordo com definição, procurar o valor que mais se 
repete. 
Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a 
moda é igual a 10. 
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, 
nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. 
Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A 
série é amodal. 
Em outros casos, pode haver dois ou mais 
valores de concentração. Dizemos, então, que a série 
tem dois ou mais valores modais. 
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } 
apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal. 
. 
A Moda quando os dados estão agrupados  
Sem intervalos de classe: 
Uma vez agrupados os dados, é possível 
determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da 
variável de maior frequência. 
Ex: Qual a temperatura mais comum medida no 
mês abaixo: 
Temperaturas Freqüência 
0º C 3 
1º C 9 
2º C 12 
3º C 6 
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior 
frequência. 
2.5. MEDIANA - Md 
Mediana de um conjunto de valores, dispostos 
segundo 
uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor 
situado 
9
de tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
A mediana em dados não-agrupados 
Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 
2, 6, 13, 9, 15, 10 } 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro 
passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou 
decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
O valor que divide a série acima em duas partes 
iguais é igual a 9, logo a Md = 9. 
. 
Método prático para o cálculo da Mediana: 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela 
fórmula : 
( n + 1 ) / 2 
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } 
n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º 
elemento da série ordenada será a mediana 
A mediana será o 5º elemento = 2 
. 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela 
fórmula : 
.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 
2 
Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e 
devem ser substituídos pelo valor correspondente. 
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } 
n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 
[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2 
5º termo = 2 
6º termo = 3 
A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana 
no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da 
série. 
Notas: 
 Quando o número de elementos da série
estatística for ímpar, haverá coincidência da
mediana com um dos elementos da série.
 Quando o número de elementos da série
estatística for par, nunca haverá coincidência da
mediana com um dos elementos da série. A
mediana será sempre a média aritmética dos
2 elementos centrais da série.
 Em uma série a mediana, a média e a moda
não têm, necessariamente, o mesmo valor.
 A mediana, depende da posição e não dos
valores dos elementos na série ordenada. Essa
é uma da diferenças marcantes entre mediana e
média ( que se deixa influenciar, e muito,
pelos valores extremos). Vejamos:
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana
= 10
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana
= 10
 isto é, a média do segundo conjunto de valores é
maior do que a do primeiro, por influência dos
valores extremos, ao passo que a mediana
permanece a mesma.
A mediana em dados agrupados 
a) Sem intervalos de classe:
Neste caso, é o bastante identificar a frequência 
acumulada imediatamente superior à metade da soma 
das frequências. A mediana será aquele valor da variável 
que corresponde a tal frequência acumulada. 
Ex.: conforme tabela abaixo: 
Variável xi Frequência fi Frequência acumulada 
0 2 2 
1 6 8 
2 9 17 
3 13 30 
4 5 35 
total 35 
 Quando o somatório das frequências for ímpar o
valor mediano será o termo de ordem dado pela
fórmula :
.
 Como o somatório das frequências = 35, a
fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..
 Quando o somatório das frequências for par o
valor mediano será o termo de ordem dado pela
fórmula:
Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo: 
Variável xi Frequência fi Frequência acumulada 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
Total 8 
Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º 
termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. No ano 2000, o número de nascimentos, por mês, em
uma maternidade foi:
MÊS NASCIMENTO 
Janeiro 38 
Fevereiro 25 
Março 42 
10
Abril 30 
Maio 29 
Junho 47 
Julho 18 
Agosto 36 
Setembro 38 
Outubro 43 
Novembro 49 
Dezembro 37 
a) Calcule a média mensal de nascimentos.
b) Em que meses o número de nascimentos ficou acima
da média?
Solução: 
a) A media mensal de nascimentos em 12 meses é
dada por:
12
374943383618472930422538
x


36x
12
432
x 
Portanto a média de nascimentos foi de 36 nascimentos 
por mês. 
b) O número de nascimentos ficou acima da média nos
seguintes meses: janeiro, março, junho, setembro,
outubro, novembro e dezembro.
02. A classificação final para um determinado curso é a
média ponderada das provas de capacidade geral,
com peso 3, e das provas de capacidade específica,
com peso 2. Nessas condições, qual é a classificaçãofinal de um aluno que obteve 162 pontos na prova de
capacidade geral e 147 pontos na prova de
capacidade específica?
A classificação final é obtida pela média ponderada: 
156
5
780
5
294486
23
21473162
x 





Portanto, o aluno será classificado com 156 pontos. 
03. O quadro de distribuição de frequências
representa os salários mensais de 40 empregados de
uma firma.
CLASSE (EM 
REAIS) 
PONTO MÉDIO DA 
CLASSE ( ix ) 
FREQÜÊNCIA 
(fi) 
[180; 200[ 190 4 
[200; 220[ 210 18 
[220; 240[ 230 10 
[240; 260[ 250 5 
[260; 280[ 270 3 
Calcule o salário médio mensal dos empregados 
dessa firma. 
Quando os dados estão agrupados, aceita-se por 
convenção, que as frequências se distribuem 
uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o 
ponto médio da classe é o valor representativo do 
conjunto. 
Nesse caso, a média é calculada partindo-se do ponto 
médio da classe. 
Para calcular o salário médio, devemos fazer 
3510184
3270525010230182104190
x



50,222
40
8900
x
40
810175023003780760
x 


Portanto, o salário médio é de R$ 222,50. 
04. O gráfico apresenta o comportamento de emprego
formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro
de 2010 a outubro de 2010.
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana 
dos empregos formais surgidos no período é 
a) 212.952
b) 229.913
c) 240.621
d) 255.496
e) 298.041
Solução: 
Para calcular a mediana, devemos escrever todos os 
números referentes ao comportamento de emprego formal 
em ordem crescente: 
181.419 
181.719 
204.804 
209.425 
212.952 
246.875 
266.415 
298.041 
299.415 
305.068 
Observe que os valores centrais dessa lista são: 212.952 
e 246.875. A média entre eles é: 
Mediana = 212.952 + 246.875 
 2 
Mediana = 459.827 
 2 
Mediana = 229.913,05 
A parte inteira desse resultado é 229.913. 
Gabarito: letra B. 
05. Quais valores são, respectivamente, a moda, média e
mediana dos números da lista a seguir?
133, 425, 244, 385, 236, 236, 328, 1000, 299, 325 
a) 236; 361,1 e 312
b) 244; 361 e 312
c) 236; 360 e 312
d) 236; 361,1 e 310
e) 236; 361,1 e 299
11
Solução: 
A moda é o número que aparece com maior frequência. 
Observe que todos os números aparecem apenas uma 
vez na lista, exceto 236, que aparece duas vezes. Assim, 
a moda é 236. 
A média é obtida pela soma de todos os números e 
dividindo o resultado pela quantidade de números 
somados: 
M = 133 + 425 + 244 + 385 + 236 + 236 + 328 + 1000 + 
299 + 325 
10 
M = 3611 
 10 
M = 361,1 
A mediana é o número central de uma lista em ordem 
crescente. Caso a lista tenha um número par de 
elementos, é a média entre os dois números centrais. 
133, 236, 236, 244, 299, 325, 328, 385, 425, 1000 
299 + 325 = 624 = 312 
2 2 
Assim, moda, média e mediana são: 236; 361,1 e 312. 
Gabarito: letra A. 
06. (Cesgranrio) João tem 5 filhos, sendo que dois deles
são gêmeos. A média das idades deles é 8,6 anos.
Porém, se não forem contadas as idades dos gêmeos, a
média dos demais passa a ser de 9 anos. Pode-se
concluir que a idade dos gêmeos, em anos, é
a) 6,5. b) 7,0. c) 7,5. d) 8,0. e) 8,5.
Solução:
Chamaremos de x a idade de cada um dos gêmeos.
Temos que a média das idades dos outros 3 filhos é 9
anos. Assim, a soma das idades dos 3 irmãos (sem os
gêmeos) é 27 anos.
Sabendo que a média dos 5 filhos é 8,6 temos:
8,6 = (27 + 2x)/5
8,6 ∙ 5 = 27 + 2x
2x = 43 – 27
2x = 16
x = 16/2
x = 8 anos
07. (BB – FCC) Nos quatro primeiros dias úteis de uma
semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19,
15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse
gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário
de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias
úteis dessa semana foi 19, a mediana foi
a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.
Solução:
Conhecendo a média, vamos calcular o número de
clientes no quinto dia útil:
Média = (19 + 15 + 17 + 21 + n) / 5 = 19
19 + 15 + 17 + 21 + n = 19 ∙ 5
72 + n = 95
n = 95 – 72
n = 23 clientes
Ordenando a sequência de forma crescente: 15, 17, 19,
21, 23
A mediana é 19.
3. MEDIDAS DE DISPERSÃO
3.1. AMPLITUDE TOTAL: 
É a única medida de dispersão que não tem na 
média o ponto de referência. 
 Quando os dados não estão agrupados a
amplitude total é a diferença entre o maior e o
menor valor observado:
AT = X máximo - X mínimo. 
Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a amplitude 
total será: AT = 70 - 40 = 30 
Quando os dados estão agrupados sem 
intervalos de classe ainda temos : 
AT = X máximo - X mínimo. 
 Ex: 
AT = 4 - 0 = 4 
* Com intervalos de classe a AMPLITUDE TOTAL é a
diferença entre o limite superior da última classe e o
limite inferior da primeira classe. Então:
AT = L máximo - L mínimo
Ex: 
 Classes fi 
4 |------------- 6 6 
6 |------------- 8 2 
 8 |------------- 10 3 
 AT = 10 - 4 = 6
 A amplitude total tem o inconveniente de só
levar em conta os dois valores extremos da
série, descuidando do conjunto de valores
intermediários. Faz-se uso da amplitude total
quando se quer determinar a amplitude da
temperatura em um dia, no controle de
qualidade ou como uma medida de cálculo
rápido sem muita exatidão.
3.2. A mediana e a amplitude inter-quartis 
Uma outra forma de sumarizar dados é em termos 
dos quantis ou percentis. Essas medidas são 
particularmente úteis para dados não simétricos. 
A mediana (ou percentil 50) é definida como o 
valor que divide os dados ordenados ao meio, i.e. metade 
dos dados têm valores maiores do que a mediana, a outra 
metade tem valores menores do que a mediana. 
Adicionalmente, os quartis inferior e superior, Q1 
e Q3, são definidos como os valores abaixo dos quais 
estão um quarto e três quartos, respectivamente, dos 
dados. 
Estes três valores são frequentemente usados 
para resumir os dados juntamente com o mínimo e o 
máximo. 
Eles são obtidos ordenando os dados do menor 
para o maior, e então conta-se o número apropriado de 
observações: ou seja é , e para o 
quartil inferior, mediana e quartil superior, 
respectivamente. 
 xi fi 
0 2 
1 6 
3 5 
4 3 
12
Para um número par de observações, a mediana é 
a média dos valores do meio (e analogamente para os 
quartis inferior e superior). 
A medida de dispersão é a amplitude inter-
quartis, IQR = Q3 - Q1, isto é, é a diferença entre o 
quartil superior e o inferior. 
Exemplo. O número de crianças em 19 famílias foi 
0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 
A mediana é o (19+1) / 2 = valor, isto é, 3 
crianças. 
O quartil inferior e superior são os 
valores e , isto é, 2 e 6 crianças, 
portanto amplitude inter-quartil é de 6-2=4 crianças. 
Note que 50% dos dados estão entre os quartis inferior e 
superior. 
DESVIO. 
Para preencher uma vaga de gerente de produção, o 
departamento de recursos humanos de uma empresa 
realizou um teste com vários candidatos, selecionando os 
dois melhores: Leonor e Felipe. A tabela abaixo mostra os 
desempenhos dos dois candidatos nas provas a que se 
submeteram: 
Candidato 
Assunto 
LEONOR FELIPE 
Conhecimento 
de informática 
8,5 9,5 
Língua 
Portuguesa 
9,5 9,0 
Língua 
Inglesa 
8,0 8,5 
Matemática 7,0 8,0 
Conhecimentos 
de Economia 
7,0 5,0 
MÉDIA 8,0 8,0 
Os dois candidatos obtiveram a mesma média. Como 
proceder, cientificamente, para determinar qual dos dois 
teve o melhor desempenho nessa avaliação? 
A comparação entre os desempenhos desse dois 
candidatos pode ser feita através de medidas estatísticas 
como: o desvio absoluto médio, a variância ou o 
desvio padrão. Essas medidas, chamadas medidas de 
dispersão, indicam o quanto os elementos de uma 
amostra estão afastados da média aritmética. Calculando, 
uma dessas medidas, em cada uma de duas amostras de 
mesma média aritmética, será considerada a amostra 
menos dispersa aquela que apresentar a menor medida. 
No caso de Felipe e Leonor, a amostra de notas 
menos dispersas em relação à média aritmética 
corresponde ao melhor desempenho e, portanto, ao 
merecedor da vaga. 
3.3. Desvio absoluto médio(Dam) 
Nas cinco provas realizadas, Leonor obteve; 8 de 
média aritmética e suas notas foram: 8,5; 9,5; 8,0; 7,0 e 
7,0, conforme a tabela anterior. 
Para determinar o quanto cada nota está afastada da 
média aritmética, basta efetuar a diferença entre a nota e 
a média, nessa ordem; essa diferença é chamada de 
desvio da nota. Esses desvios são: 
• 8,5 – 8,0 = 0,5
(a nota 8,5 está 0,5 acima da média)
• 9,5 – 8,0 = 1,5
(a nota 9,5 está 1,5 acima da média)
• 8,0 – 8,0 = 0,0
(a nota 8,0 coincide com a média)
• 7,0 – 8,0 = –1,0
(as duas últimas notas, 7,0, estão 1,0 abaixo da média)
O módulo de cada um desses desvios é chamado de 
desvio absoluto da nota correspondente: 
• o desvio absoluto da nota 8,5 é | 0,5 | = 0,5;
• o desvio absoluto da nota 9,5 é | 1,5 | = 1,5;
• o desvio absoluto da nota 8,0 é | 0,0 | = 0,0;
• o desvio absoluto de cada uma das duas últimas notas,
7,0, é | –1, 0 |= 1,0.
A média aritmética entre esses desvios absolutos é 
chamada de desvio absoluto médio, que se indica por 
Dam: 
5
|0,1||0,1||0,0||5,1||5,0|
Dam


5
0,10,10,05,15,0
Dam


8,0
5
0,4
Dam 
Analogamente obtém-se o desvio absoluto médio das 
notas obtidas por Felipe, D’am, no conjunto de provas: 
D’am = 1,2 
O desvio absoluto médio mede o afastamento médio 
dos elementos da amostra em relação à média aritmética. 
Assim, temos que as notas de Leonor estão, em média, 
0,8 acima ou abaixo da média aritmética 8; enquanto as 
notas de Felipe estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da 
média aritmética 8. Como Dam < D’am, conclui-se que 
Leonor teve um desempenho mais regular que Felipe, e, 
por isso, merece a vaga. 
Sendo x a média aritmética de uma amostra de 
números x1, x2, x3,..., xn, chama-se desvio absoluto 
médio, que se indica por Dam, o número: , 
n
|xx||xx||xx||xx|
Dam n321 


ou, usando o símbolo de somatório: 
n
|xx|
Dam
n
1i
i



3.4. Variância (δ
 2
)
Uma outra medida que indica o afastamento dos ele-
mentos de uma amostra, em relação à média aritmética, é 
a variância, que se representa por δ
 2
. Define-se essa
medida como a média aritmética entre os quadrados dos 
desvios dos elementos da amostra, isto é: 
n
)xx()xx()xx()xx( 2
n
2
3
2
2
2
12 


ou, usando o símbolo de somatório: 
n
)xx(
n
1i
2
1
2




13
Calculando as variâncias dos conjuntos de notas de 
Leonor, 2
)L( , e de Felipe, 2
)F( , citados anteriormente, 
temos: 
9,0
5
)0,1()0,1()0,0()5,1()5,0( 22222
2
)L( 

 ] 
e 
5,2
5
)0,3()0,0()5,0()0,1()5,1( 22222
2
)F( 


Como 2
)L( < 2
)F( , conclui-se que Leonor teve um
desempenho, nas provas, mais regular do que Felipe. 
3.5. Desvio padrão (δ) 
Na interpretação da variância podem surgir algumas 
dificuldades em relação à unidade de medida dos 
elementos da amostra. Por exemplo, se os elementos da 
amostra representam capacidades em litros (l), a 
variância representará um resultado em l
2
; como essa
unidade não tem significado físico, não é conveniente 
utilizar a variância nesse caso. Por causa de dificuldades 
como essa, foi criado o desvio padrão, representado por 
δ, e definido como a raiz quadrada da variância. 
Calculando o desvio padrão do conjunto de notas de 
Leonor, δ(L), e de Felipe, δ(F), citados anteriormente, 
temos: 
948,09,0)L(  e 581,15,2)F( 
Como δ (L) < δ (F), concluímos que Leonor teve um 
desempenho, nas provas, mais regular do que Felipe. 
► NOTA: Não perca de vista que a comparação da
dispersão de duas amostras pode ser feita com o desvio
absoluto médio, ou com a variância ou com o desvio
padrão.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01) A tabela mostra o total de pontos obtidos por dois
times de futebol no período de 1996 a 2000.
1996 1997 1998 1999 2000 
TIME A 7 12 20 16 10 
TIME B 18 16 15 9 12 
a) Qual o desvio médio de cada um desses times?
b) Qual o time mais regular nesse período?
Solução:
a) Time A
vamos calcular a média aritmética dos dados:
13
5
65
5
101620127
x 


Vamos calcular os desvios para a média, ou seja, xxi  :
6137xx1 
11312xx2 
71320xx3 
31316xx4 
31310xx5 
Finalmente vamos calcular o desvio médio 
4
5
20
5
|3||3||7||1||6|
dm 


Logo, o desvio médio do time A é 4. 
Time B 
A média aritmética é igual a: 
14
5
70
5
129151618
x 


Os desvios para as médias são iguais a: 
18 – 14 = 4 
16 – 14 = 2 
15 – 14 = 1 
9 – 14 = – 5 
12 – 14 = – 2 
O desvio médio é igual a: 
8,2
5
14
5
|2||5||1||2||4|
dm 


Logo, o desvio médio do time B é 2,8. 
b) Como o desvio médio do time B é menor que o
desvio médio do time A (2,8 < 4), o time B é o mais
regular.
02) A tabela a seguir mostra o número de votos por classe
de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de
representante no conselho da escola.
CLASSE 
CANDIDATO 
3ª A 3ª B 3ª C 3ª D 3ª E 3ª F 
Vítor 12 15 12 16 14 15 
Rafael 12 11 18 9 19 15 
a) Calcule o desvio padrão de cada um desses
candidatos.
b) Qual dos dois candidatos é o mais regular?
Solução: 
a) Inicialmente vamos calcular a média dos candidatos
14
6
84
6
151416121512
xV 


14
6
84
6
15199181112
xR 


Em seguida, vamos calcular os desvios e os quadrados 
dos desvios. 
VÍTOR 
xxi 
2
i )xx( 
21412  4)2( 2 
11415  1)1( 2 
21412  4)2( 2 
21416  4)2( 2 
01414  0)0( 2 
11415  1)1( 2 
RAFAEL 
xxi 
2
i )xx( 
21412  4)2( 2 
31411  9)3( 2 
41418  16)4( 2 
5149  25)5( 2 
51419  25)5( 2 
11415  1)1( 2 
Agora, vamos calcular as variâncias: 
33,2
6
14
6
104414
V
Va 


14
33,13
6
80
6
125251694
V
Ra 


Por último, vamos calcular os desvios padrões extraindo a 
raiz quadrada das variâncias: 
53,1s33,2s VV 
53,1s33,2s V 
b) Observe que as médias de Vítor e Rafael são iguais a
14.
Note também que Rafael tem um desvio padrão
superior ao de Vítor (3,65 > 1,53), isto é, a dispersão dos 
votos relativamente à média é maior no caso de Rafael. 
Por isso, Vítor é o aluno mais regular. 
03. (FCC). Ao considerar uma curva de distribuição
normal, com uma média como medida central, temos a
variância e o desvio padrão referentes a esta média.
Em relação a estes parâmetros,
a) a variância é uma medida cujo significado é a metade
do desvio padrão.
b) a variância é calculada com base no dobro do desvio
padrão.
c) o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
d) a média dividida pelo desvio padrão forma a variância.
e) a variância elevada ao quadrado indica qual é o desvio
padrão.
Solução: 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
Veja a fórmula: 
Resposta: C 
04.(FGV). Os dados a seguir são as quantidades de 
empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 
6. A variância da quantidade de empregados dessas
cinco empresas é igual a:
a) 0,8 b) 1,2 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4
Resolução 
O primeiro passo será calcular a média aritmética: 
Sabendo o valor da média, podemos calcular o valor da 
variância: 
Resposta: B 
05. Marco e Paulo foram classificados em um concurso.
Para classificação no concurso o candidato deveria
obter média aritmética na pontuação igual ou superior
a 14. Em caso de empate na média, o desempate
seria em favor da pontuação mais regular. No quadro
a seguir são apresentados os pontos obtidos nas
provas de Matemática, Português e Conhecimentos
Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos
dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso 
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais 
bem classificado no concurso, é 
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em
Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana. 
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
Solução: 
Como a média de Marco e Paulo foram iguais, o 
desempate será feito pelo menor valor do desvio 
padrão, pois é o que indica pontuação mais regular. 
Alternativa correta b: Marco, poisobteve menor desvio 
padrão. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01.As idades dos jogadores de um time de basquetebol
são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média de idade
desses jogadores?
a) 18
b) 20
c) 20,2
d) 20,5
02. Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são
iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são iguais a 12, e
cinco são iguais a 16. Determine a média aritmética
desses números.
03. Quatro funcionários A, B, C e D de uma empresa têm
respectivamente 8, 6, 10 e 16 anos de trabalho nessa
empresa. O funcionário A recebeu um prêmio de R$
500,00 por ano de casa; B recebeu um prêmio de R$
600,00 por ano de casa; e C e D receberam, cada um, R$
800,00 de prêmio por ano de casa. Qual foi o prêmio
médio recebido por ano de casa por esses funcionários?
04. As classes A, B e C da segunda série do ensino
médio tiveram respectivamente as seguintes médias na
prova de matemática: 6,5; 6,0 e 7,0. Sabendo que a
classe A é formada por 28 alunos, B é formada por 25
alunos e C, por 22 alunos, calcule a nota média de todos
os 75 alunos.
15
05. (UFRJ) O gráfico mostra a distribuição de uma
prova de matemática.
a) Quantos alunos fizeram a prova?
b) Sendo x1, x2, x3, ..., xn as notas obtidas pelos n alunos
nessa prova (n é o número de alunos que fizeram a
prova), determine o número: 
n
xxxx
x n321 


denominado média aritmética das notas dessa prova. 
06. O gráfico, em forma de pizza, representa as notas
obtidas em uma questão pelos 32.000 candidatos
presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele
mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos,
tiveram nota 2 nessa questão.
Pergunta-se; 
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão,
foi  2? Justifique sua resposta.
07. Observando o gráfico do exercício anterior, responda:
a) Qual é a moda do conjunto das notas de todos os
alunos?
b) Qual é a mediana do conjunto das notas de todos os
alunos?
08. A tabela mostra a distribuição de frequência da carga,
em toneladas, dos caminhões que passaram por uma
estrada num certo período.
Carga (em toneladas) Nº. de caminhões 
[9,5; 14,5[ 18 
[14,5; 19,5[ 33 
[19,5; 25,5] 9 
Calcule a carga média desses caminhões. 
09. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na
seguinte tabela:
Salário em R$ Nº. de funcionários 
500,00 10 
1.000,00 5 
1.500,00 1 
2.000,00 10 
5.000,00 4 
10.500,00 1 
TOTAL 31 
a) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa
empresa?
b) Suponha que sejam contratados dois novos
funcionários com salário de R$ 2.000,00 cada. A
variância da nova distribuição de salários ficará
menor, igual ou maior do que a anterior?
10. (Fuvest) Dois atiradores x e y obtiveram numa série
de vinte tiros, num alvo da forma indicada na figura, os
seguintes resultados:
atirador 
resultado 
50 30 20 10 0 
x 4 6 5 4 1 
y 6 3 5 3 3 
a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos
atiradores?
b) Compare os desvios padrão de cada uma das séries
de tiros e decida qual é o atirador com desempenho
mais regular;
11.(Unicamp-SP) A média aritmética das idades de um 
grupo de 120 pessoas é 40 anos. Se a média aritmética 
das idades das mulheres é 35 anos e a dos homens é 50 
anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo? 
12. O gráfico abaixo mostra a distribuição de frequência
das notas obtidas pelos alunos da segunda série do
ensino médio numa prova de educação física.
Determinar: 
a) a nota média desses alunos;
b) a mediana dessa distribuição;
c) a moda dessa distribuição.
2 (32%) 
5 (10%) 
0 (10%) 
3 (16%) 
1 (20%) 
4 (12%) 
50 
30 
20 
10 
0 
16
13.( Cesgranrio) Suponhamos que nos vestibulares 
desse ano uma universidade tivesse tido, para os seus 
diversos cursos, uma média de 3,60 candidatos por vaga 
oferecida. Se para os vestibulares do ano que vem o 
número de vagas for aumentado de 20% e o número de 
candidatos aumentar em 10%, qual a média de 
candidatos por vaga que essa universidade terá no 
próximo ano? 
a)3,24
b) 3,30
c)3,36
d)3,40
e)3,46
14. A distribuição das idades dos alunos de uma
classe é dada pelo seguinte gráfico:
Qual das alternativas representa melhor a média de 
idades dos alunos? 
a) 16 anos e 10 meses
b) 17 anos e 1 mês
c) 17 anos e 5 meses
d) 18 anos e 6 meses
e) 19 anos e 2 meses
15.( FCC) Um sistema de radar e programado para 
registrar automaticamente a velocidade de todos os 
veículos trafegando por uma avenida, onde passam 
em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a 
máxima velocidade permitida. Um levantamento 
estatístico dos registros do radar permitiu a 
elaboração da distribuição percentual de veículos de 
acordo com sua velocidade aproximada. 
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa 
avenida é de: 
a)35 km/h
b)44 km/h
c)55 km/h
d)76 km/h
e)85 km/h
16. Às vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma
equipe de basquetebol deve optar pela escalação de
um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas
seguintes mostram o desempenho de cada jogador
nos últimos cinco jogos dos quais participou:
jogador A jogador B 
jogo nº. de pontos jogo nº. de pontos 
1 20 1 50 
2 22 2 14 
3 18 3 20 
4 20 4 12 
5 20 5 24 
a) Calcular a média de cada um por jogo.
b) Calcular o desvio padrão de cada um nesses cinco
jogos.
c) Você, como técnico desse time, se tivesse que
escalar um desses jogadores, num jogo onde a
simples vitória lhe daria o título de campeão, qual
deles escalaria?
17. Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), o
mundo não conseguirá atingir a meta de reduzir a fome
pela metade em 2015. Nem mesmo em 2030 esse
objetivo poderá ser alcançado.
O gráfico a seguir mostra o número de pessoas com
fome, em milhões, em cinco regiões do mundo, em
diferentes anos (1992, 1999, 2015 e 2030), segundo
dados e estimativas da ONU.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se 
afirmar que: 
a) em 2030, haverá mais de 700 milhões de pessoas
com fome nas regiões destacadas no gráfico.
b) em cada região destacada no gráfico, o número de
pessoas com fome em 2030 será menor do que em
1992.
c) em cada região destacada no gráfico, o número de
pessoas com fome em 2030 será menor do que em
2015.
d) em cada região destacada no gráfico, o número de
pessoas com fome em 2015 será menor do que em
1999.
e) em 2030, o número de pessoas com fome no Sul da
África será maior do que três vezes o número de
pessoas com fome no Sul da Ásia.
18. Em uma pesquisa de opinião, feita para verificar o
nível de aprovação de um governante, foram
entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre
a administração da cidade, escolhendo uma — e
apenas uma — entre as possíveis respostas: ótima,
boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico abaixo
mostra o resultado da pesquisa.
17
De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o 
percentual de pessoas que consideram a administração 
ótima, boa ou regular é de: 
a)28% b)65% c)71% d)84%
19.( Cesgranrio) Uma escola em Belém atribui pesos 
para o cálculo das quatro avaliações anuais. A primeira 
avaliação tem peso 1; a segunda, peso 2; a terceira, peso 
3; a quarta, peso 4. Considerando as quatro avaliações de 
um aluno que obteve as notas 6,0; 4,0; 7,0 e 9,5 para as 
1ª, 2ª, 3ª e 4ª avaliações, respectivamente, a média foi 
exatamente: 
a) 6,6 b) 6,9 c) 7,1 d) 7,3 e) 7,6
20. ( Cesgranrio) O professor Joelson aplicou uma prova
de Matemática a 25 alunos, contendo 5 questões,
valendo 1 ponto cada uma. Após fazer a correção, o
professor construiu o gráfico abaixo, que relaciona o
número de alunos às notas obtidas por eles.
Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a mediana 
das notas obtidas pelos 25 alunos correspondem, 
respectivamente, a: 
a) 2,0 e 3,0
b) 2,0 e 4,0
c) 2,0 e 5,0
d) 3,0 e 4,0
e) 3,0 e 5,0
21.( Cesgranrio) O gráfico de setores abaixo ilustra o 
resultado de uma pesquisa feita com um grupo de 1280 
eleitores sobre a manutenção do horário político no rádio 
e na TV, em períodos que antecedem as eleições. 
Se o setor A corresponde às 576 pessoas que acham que 
o horáriopolítico deve acabar, o setor 5 corresponde ao
número de pessoas que acham que esse horário deve
continuar e o setor C corresponde ao número de pessoas
que não tem opinião formada.
Então o número de pessoas que compõem o setor C é 
igual a: 
a)224 b)342 c)386 d)458 e)480
22. A média aritmética das notas dos alunos de uma
turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7.
Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6,
a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5 b)7,2 c)7,4 d)7,8 e)8,0
23. (FCC) O histograma abaixo apresenta as alturas de
30 atletas de uma equipe de futebol.
Com esses dados, podemos concluir que a média das 
alturas dos atletas é aproximadamente: 
a) 1,58 b) 1,65
c) 1,74
d) 1,81
e) 1,92
(Observação: Para o cálculo da média, considere o ponto
médio de cada classe de intervalo.)
24.( FCC) Uma empresa tem 18 funcionários. Um deles 
pede demissão e é substituído por um funcionário de 22 
anos de idade. Com isso, a média das idades dos 
funcionários diminui dois anos. Assim, a idade do 
funcionário que se demitiu é: 
a)54 anos
b) 56 anos
c)58 anos
d)50 anos
e)48 anos
25.( Cesgranrio) Para que fosse feito um levantamento 
sobre o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 
50 motoristas. O número de infrações cometidas por 
esses motoristas nos últimos cinco anos produziu a 
seguinte tabela: 
N° de infrações N° de motoristas 
de 1 a 3 7 
de 4 a 6 10 
de 7 a 9 15 
18
de 10 a 12 13 
de 13 a 15 5 
maior ou igual a 16 0 
Pode-se então afirmar que a média do número de 
infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, para 
esse grupo, está entre: 
a) 6,9 e 9,0
b) 7,2 e 9,3
c) 7,5 e 9,6
d) 7,8 e 9,9
e) 8,1 e 10,2
27. Seis caixas d'água cilíndricas iguais estão assentadas
no mesmo piso plano e ligadas por registros (R)
situados nas suas bases, como sugere a figura abaixo.
Após a abertura de todos os registros, as caixas
ficaram com os níveis de água no mesmo plano. A
altura desses níveis, em dm, equivale a:
a) 6,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 7,5
29. O histograma representa a distribuição dos diâmetros
de 65 peças de uma loja.
Se fi são as frequências absolutas, então o número de 
peças com diâmetro não inferior a 20 mm é 
a) 30.
b) 35.
c) 40.
d) 45.
30. A tabela mostra as idades dos alunos matriculados no
Centro de Educação Infantil “X”. A média das idades
dessa escola, em anos, é, aproximadamente:
a) 4,1 b) 4,5 c) 5,1 d) 5,6
31. (Cesgranrio) Uma pesquisa com 27 crianças,
realizada por psicólogos em um ambiente hospitalar,
avalia a redução dos custos hospitalares mensais
individuais em função do bem estar emocional promovido
pela vivência de atividades artísticas.
Com base nos dados descritos na tabela, a soma da 
média aritmética e da mediana correspondente à 
distribuição de redução dos custos mencionada é igual a 
a) 2900.
b) 3400.
c) 3200.
d) 3700.
32. (Cesgranrio) Para um candidato ser classificado em
um concurso, é necessário que ele obtenha classificações
parciais em três áreas. Certo candidato obteve na área A
18 pontos; na área B 26 pontos e na área C, 10 pontos.
Sabendo-se que os pesos são 5 para a área A, 2 para a
área B e 3 para a área C, esse candidato obteve
classificação final igual a:
a) 17,2 pontos
b) 18,3 pontos
c) 18,6 pontos
d) 19,1 pontos
e) 19,3 pontos
33. (Cesgranrio) A média aritmética de um conjunto de 15
números é 12. Se os números 10, 16, 25 e 30 forem
retirados do conjunto, a média aritmética dos números
restantes é:
a) 15
b) 12
c) 8
d) 7
e) 9
34. (Cesgranrio) Quatro amigos calcularam a média e a
mediana de suas alturas, tendo encontrado como
resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média
entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metro, é
igual a:
a) 1,70
b) 1,71
c) 1,72
d) 1,73
e) 1,74
GABARITO 
01 C 
02 8 
03 710,00 
04 6,48 
05 a) 31; b) 5,77
06 a) 5150; b) não pois a nota média é 2,3
07 a) 2; b) 2
08 16,325 
09 a) Me = 2000,00; b) Md = 1500,00
10 a) x = 26, y = 26; b) dx = 14,6, dy = 18
11 80 mulheres, 40 homens 
19
https://1.bp.blogspot.com/-hoDOI3S3NQI/XieXbTXyTaI/AAAAAAAAIxU/6ck5nVZ9mdoObxfg2rpjaC3RIvWrijRTgCLcBGAsYHQ/s1600/exercicio-media-moda-mediana.PNG
https://1.bp.blogspot.com/-hoDOI3S3NQI/XieXbTXyTaI/AAAAAAAAIxU/6ck5nVZ9mdoObxfg2rpjaC3RIvWrijRTgCLcBGAsYHQ/s1600/exercicio-media-moda-mediana.PNG
12 a) 6,6; b) 7; c) 7
13 a 
14 c 
15 b 
16 a) A=20, B=20; b) dA = 1,6, dB = 43,2
17 c 
18 d 
19 d 
20 d 
21 a 
22 b 
23 c 
24 c 
25 a 
26 d 
27 c 
28 b 
29 b 
30 c 
NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE 
 A que temperatura a água entra em ebulição?
 Se largarmos uma bola, com que velocidade
ela atinge o chão?
Conhecidas certas condições, é perfeitamente 
possível responder a essas duas perguntas, antes mesmo 
da realização desses experimentos. Esses experimentos 
são denominados determinísticos, pois neles os 
resultados podem ser previstos. 
Considere agora os seguintes experimentos: 
No lançamento de uma moeda, qual a face
voltada para cima? 
No lançamento de um dado, que número
saiu? 
Uma carta foi retirada de um baralho
completo. Que carta é essa? 
No lançamento de uma moeda, podemos obter 
cara ou coroa; no lançamento do dado, os resultados 
possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6; e para as cartas temos 52 
resultados possíveis (o baralho tem 52 cartas diferentes). 
Mesmo se esses experimentos forem repetidos várias 
vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o 
resultado. 
Um experimento cujo resultado, embora único, é 
imprevisível, é denominado experimento ALEATÓRIO. 
Um experimento ou fenômeno aleatório apresenta 
as seguintes características: 
Pode se repetir várias vezes nas mesmas
condições; 
É conhecido o conjunto de todos os
resultados possíveis; 
Não se pode prever o resultado.
Como não podemos prever o resultado de um
experimento aleatório, procuraremos descobrir as 
possibilidades de ocorrência de cada um. 
A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir 
a "chance" de ocorrer um determinado resultado num 
experimento aleatório. 
1. ESPAÇO AMOSTRAL
O conjunto de todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório é chamado espaço amostral e 
vamos indicar por U. 
O número de elementos do espaço amostral de um 
experimento aleatório é indicado por n (U). 
Exemplo 1: O Dr. Freitas vai sortear um tablet 
entre seus cinco netos: Alberto (A), Breno (B), Cláudio 
(C), Danilo (D) e Edson (E). O espaço amostral relativo a 
esse sorteio é: 
U = {A, B, C, D, E} 
Cada um dos cindo elementos de U recebe o 
nome de ponto amostral. 
Exemplo 2: Jogar duas moedas e observar o 
resultado. O espaço amostral relativo a esse sorteio é: 
 U = {(cara, cara), (cara, coroa),(coroa, 
cara),(coroa, coroa)} 
Exemplo 3: O experimento jogar um dado tem 
seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, o espaço 
amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Exemplo 4: Um dado é lançado duas vezes 
sucessivamente e é observada a sequência das faces 
obtidas. 
Usando o PFC (princípio fundamental da 
contagem), o número de resultados possíveis de ocorrer 
nesse experimento é 66  = 36. Veja, a seguir, uma forma 
de representar os 36 pares ordenados: 
 Lançamentos 

2° 
1° 
1 2 3 4 5 6 
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
Assim, 
U = {(1, 1), (1, 2),..., (2,1),.... (3,1),.... (4,1),..., (5, 1),..., 
(6,1),..., (6, 6)}. Cada par ordenado corresponde a um 
ponto amostral. 
Exemplo 5 : Número de ovos de determinada 
lagarta. U = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}. Temos nesse caso um 
espaço amostral infinito. 
2. EVENTO
Qualquer subconjunto do espaço amostral (U) 
de um experimento aleatório recebe o nome de 
evento. 
Veremos a seguir como "construir" alguns eventos. 
Exemplo 1: 
Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. 
Quais resultados têm soma dos pontos igual a 6? 
Devemos "percorrer" a tabela anterior e verificar 
quais são os pares ordenados (a, b) tais que a+ b = 6. 
Assim, temos: (5, 1), (1, 5), (2, 4), (4, 2) e (3, 3). 
Desse modo, construímos o evento E "a soma dos 
pontos obtidos é igual a 6". 
E = {(5, 1), (1, 5), (2, 4), (4, 2), (3, 3)} 
Observe que E  U 
Exemplo 2: 
Uma caixa tem 30 bolas numeradas de 1 a 30. 
Uma bola é retirada ao acaso da caixa. Qual é o evento E 
"ocorre um múltiplo de 4"? 
O conjunto dos resultados possíveis desse 
experimento é: 
U = {1, 2, 3,..., 29, 30}. 
20
Para obter E, devemos selecionar os elementos de 
U que são múltiplos de 4, isto é, E = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 
28}. 
Observe que E  U 
Exemplo 3: 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. 
Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número 
indicado. Descrever de forma explícita os seguintes 
conjuntos e dar o número de elementos de cada um: 
a) O espaço amostral U.
b) O evento A: o número da bola é ímpar.
c) O evento B: o número da bola é maior que 6.
a) O conjunto de todos os resultados possíveis é
representado pelo seguinte espaço amostral 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
O número de elementos desse conjunto é n(U) = 
10 
b) Se o número da bola é ímpar, temos o evento:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Esse conjunto possui 5 elementos. Logo, n(A) = 5
c) Se o número da bola é maior que 6, temos o
evento: 
B = {7, 8, 9, 10}, em que n(B) = 4 
Observe que A  U e B  U 
Exemplo 4 : Em um cesto há 6 bolas de vôlei, 
sendo 3 pretas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas, 
sucessivamente, 3 bolas. Calcular o número de elementos 
dos seguintes eventos: 
a) As três bolas têm a mesma cor.
b) Duas das bolas são pretas.
c) As três bolas são vermelhas.
d) O número de bolas pretas é igual ao número de
bolas vermelhas. 
a) Chamando a bola preta de P e a vermelha de V
e construindo a árvore das possibilidades temos: 
O espaço amostral desse experimento é: 
U = {(BBB), (BBV), (BVB), (BVV), (VBB). (VBV), 
(VVB), (VVV)} → n(U) = 8 
Se as três bolas têm a mesma cor, o evento é: 
A = {(BBB), (VVV)} → n (A) = 2 
b) Se duas das bolas são pretas, temos:
B = {(BBV), (BVB), (VBB)} → n = (3)
c) O evento três bolas são vermelhas é:
C = {(VVV)} → n(C) = 1
d) Observando o espaço amostral, verifica-se que
o número de bolas pretas nunca é igual ar número de
bolas vermelhas. Logo, esse evento é representado pelo
conjunto vazio:
D =  → n(D) = 0 
2.1. Classificação de Eventos 
Podemos classificar os eventos por vários tipos. 
Vejamos alguns deles: 
 Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados
por um único elemento do espaço amostral. 
A = { 5 } é a representação de um evento 
simples do lançamento de um dado cuja face para cima é 
divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades 
são divisíveis por 5. 
 Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará
para cima, terá um número divisor de 720. Este é 
um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, 
obviamente qualquer um dos números da face de um 
dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos 
eles. 
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um 
evento certo pois ele possui todos os elementos do 
espaço amostral U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 Evento Impossível
No lançamento conjunto de dois dados qual é a
possibilidade de a soma dos números contidos nas duas 
faces para cima, ser igual a 15? 
Este é um evento impossível, pois o valor máximo 
que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-
lo por A=Ø, ou ainda por A = { }. 
 Evento União
Seja A o evento de ocorrência da face superior no
lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3, 
então A = {1,3} e B o evento de ocorrência da face 
superior, ímpar e maior ou igual a 3, então B = {3,5}, com 
isso C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da 
face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B, 
ou seja, C=AB. 
Note que o evento C contém todos os elementos 
de A ou B. 
 Evento Intersecção
Seja o evento de ocorrência da face superior no
lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4, então 
A = {2,4} e B o evento de ocorrência da face superior, par 
e maior ou igual a 4, então B = {4,6}, com isso C = { 4 
} representa o evento de ocorrência da face superior par, 
que é a intersecção dos conjuntos A e B, ou seja, C = A ∩ 
B. 
Veja que o evento C contém apenas os elementos 
comuns a A e B. 
 Eventos Mutuamente exclusivos
Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face
superior no lançamento de um dado, um número divisor 
de 6 e B = { 5 }, o evento de ocorrência da face superior, 
um divisor de 5, os eventos A e B são mutuamente 
exclusivos, pois A ∩ B = Ø, isto é, os eventos não 
possuem elementos em comum. 
 Evento Complementar
Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face
superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o 
seu evento complementar é = { 2, 4, 6 } o evento de 
ocorrência da face superior no lançamento de um dado, 
um número par. 
21
http://www.matematicadidatica.com.br/CriteriosDeDivisibilidade.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Divisores.aspx
Os elementos de são todos os elementos do 
espaço amostral U que não estão contidos em A, então 
temos que = U - A e ainda que S = A + . 
3. PROBABILIDADES DE UM EVENTO EM
UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
Considere as seguintes situações em que os 
eventos são eventos simples. 
1ª) No lançamento de um dado, qual a probabilidade 
de cair "3"? 
Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A: cair 3 
A = {3} ,A é um evento simples, n(A) = 1.
Portanto, a probabilidade de "cair 3" é de "1 em 6" 
ou de 
6
1
 ou, ainda, de 16,66...% 
Para cada um dos outros números do espaço 
amostral, a probabilidade continua a mesma: 
6
1
 . 
2ª) No lançamento de uma moeda, qual a 
probabilidade de sair cara? 
Temos: 
U = {cara, coroa} 
Evento B: sair cara 
B = {cara} , B é um evento simples, n(B) = 1.
Nesse caso, a probabilidade de sair cara é de "1 
em 2" ou de 
2
1
 ou, ainda, de 50%.Observe que a 
probabilidade de sair coroa também é de 
2
1
. 
3ª) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, 
qual a probabilidade de ser um "rei de copas"? 
Neste caso, a probabilidade é de "1 em 52" ou de 
52
1
 ou, ainda, de aproximadamente 1,9%. 
Também, nesse caso, a probabilidade de ser 
retirada ao acaso qualquer uma das outras 51 cartas do 
baralho é 
52
1
. 
Considere um experimento aleatório em que para 
cada um dos n eventos simples, do espaço amostral U, a 
chance de ocorrência é a mesma. Nesse caso, dizemos 
que o espaço amostral é um espaço equiprovável e que a 
probabilidade de cada evento simples é 
n
1
. 
Para um evento simples A, indicamos:
)U(n
1
)A(P 
Podemos ampliar essa definição de probabilidade 
de um evento simples para a probabilidade de um evento 
qualquer. 
)U(n
)A(n
)A(P 
Na expressão, n(U) é o número de elementos do 
espaço amostral U e n(A), o número de elementos do 
evento A. 
Exemplo 1: 
No lançamento de um dado, determinar a 
probabilidade de se obter: 
a) o número 2
b) um número par
c) um número múltiplo de 3
O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto
n(U) = 6. 
a) A=ocorrência do número 2:
A = {2}, portanto n(A) = 1
1666,0
6
1
)B(n
)A(n
)A(P 
%66,16)A(P 
b) B= ocorrência de número par:
B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3
50,0
2
1
6
3
)U(n
)B(n
)B(P 
P(B) = 50% 
c) C= ocorrência de número múltiplo de 3:
C = {3, 6}, portanto n(C) = 2
3333,0
3
1
6
2
)U(n
)C(n
)C(P 
%33,33)C(P 
Exemplo 2: 
Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. 
Qual é a probabilidade de: 
a) ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número
par no segundo? 
b) o produto dos pontos obtidos ser maior que 12?
Como vimos no exemplo 2, o conjunto dos
resultados possíveis é formado por 6 . 6 = 36 pontos 
amostrais, isto é: 
U = {(1, 1), (1, 2), ..., (6,6)} 
a) O evento que nos interessa é E = {(5,2), (5,4),
(5,6)}. 
Assim, 
12
1
36
3
)U(n
)E(n
)E(p 
b) O evento que nos interessa é:
E ={(3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5,4), 
(5, 5), (5, 6), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6,6)}.Então, p(E) = 
36
13
Exemplo 3: 
Na tabela seguinte está representada a 
distribuição por turno dos 80 alunos do curso de 
Economia de uma faculdade. 
Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual 
é a probabilidade de que seja: 
a) mulher?
b) do curso noturno?
c) homem do curso diurno?
Vejamos: o número total de alunos no curso é: 20
+ 23 + 25 + 12 = 80.
a) O número total de mulheres é 25 + 12 = 37, e a
probabilidade pedida é 80 
b) Há 23 + 12 = 35 alunos do curso noturno, e a
probabilidade de o aluno ser do curso noturno é 
80
37
manhã noite 
homens 20 23 
mulheres 25 12 
22
c) O número de casos favoráveis é 20 e a
probabilidade pedida é 
4
1
80
20

Exemplo 4: 
Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 
bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a 
probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade 
de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a 
alternativa que mais se aproxima de P1+ P2 é: 
a) 0,21
b) 0,25
c) 0,28
d) 0,35
e) 0,40
Solução:
Do que foi proposto, segue: 
Espaço Amostral (U): Retirar 3 bolas de uma urna 
que contém 16 bolas 
(4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas). 
Isso pode ser feito de C16,3 modos distintos. Logo, 
n(U) = C16,3 = 16!/3!.13! =560. 
Cálculo de P1: 
Queremos, inicialmente, determinar a 
probabilidade de não sair bola azul. 
Evento (A1): Retirar 3 bolas (não pode ser azul) de 
uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 
bolas brancas, ou seja, retirar 3 bolas dentre11 bolas (4 
bolas verdes e 7 bolas brancas).Isso pode ser feito de 
C11,3 formas diferentes. Logo, n(A1) = C11,3= 11!/3!.8! = 
165. Assim, temos que P(A1) = P1= 165/560 = 0,295.
Cálculo de P2:
Agora, iremos determinar a probabilidade de todas 
as bolas saírem com a mesma cor. 
Evento (A2): Retirar 3 bolas da mesma cor de uma 
urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas 
brancas, ou seja, retirar 3 bolas verdes, 3 bolas azuis ou 3 
bolas brancas dentre 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 
bolas brancas. 
Podemos fazer isso de C4,3+ C5,3 + C7,3 formas 
distintas. Logo, n(A2) = C4,3+ C5,3 + C7,3 = 4 + 10 + 35 = 
49. Com isso, segue que P(A2) = P2 = 49/560 = 0,087.
Portanto, P1+ P2 = 0,382 
Alternativa e 
5. ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Se A e B são dois eventos do mesmo espaço 
amostral, podemos escrever: 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
Observação: 
Se A  B =   P(A  B) = P(A) + P(B) 
Exemplo: 
Em uma certa comunidade existem dois jornais J 
e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal 
J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de 
ambos e 800 não leem jornal. Qual a probabilidade de 
que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de 
ambos os jornais? 
Solução: 
Precisamos calcular o número de pessoas do 
conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. 
Teremos: 
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não leem 
jornais. 
n(U) = n(J) + N(P) – N(J ÇP) + 800 
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 
n(U) = 8600 
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. 
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. 
A interpretação do resultado é a seguinte: 
escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a 
probabilidade de que ela seja assinante de ambos os 
jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de 
probabilidade de não ser). 
Exemplo: 
Um número inteiro é escolhido ao acaso numa 
urna que contém números de 1 a 50. Qual a probabilidade 
de ser divisível por 6 ou por 8? 
Solução: 
O espaço amostral U é dado por: 
U={1,2,3…49,50}, com isso n(U) = 50. 
Considere o evento A= Múltiplo de 6, temos que: 
A={6,12,18,24,30,36,42,48}, com isso n(A) = 8. 
Considere o evento B= Múltiplo de 8, temos que: 
B={8,16,24,32,40,48}, com isso n(B) = 6. 
Observe que existe o evento interseção de A e B. 
A  B= {24,48}, com isso n(AB)=2. Daí 
teremos: 
P(A)=8/50 ; P(B)=6/50 ; P(AB)= 2/50 
P(AUB)= P (A)+P(B)- P(AB) 
P (AUB)= 8/50+6/50-2/50= 6/25 
6. PROBABILIDADE DO EVENTO 
COMPLEMENTAR
Sejam: 
A = evento de um espaço amostral U. 
= evento complementar de A. 
Então: 
 P(A) + P( ) = 1 
Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados, 
vamos determinar a probabilidade de não sair soma 4. 
Solução: 
No lançamento de dois dados temos o espaço amostral 
de 36 elementos. Considerando os eventos em que a 
soma seja quatro, temos: {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. 
Probabilidade de sair soma quatro é igual a: 3 em 36, que 
corresponde a 3/36 = 1/12. Para determinarmos a 
probabilidade de não sair soma quatro realizamos o 
seguinte cálculo: 
 Na expressão, temos que o valor 1 refere-se ao espaço 
amostral (100%). Temos que a probabilidade de não sair 
soma quatro no lançamento de dois dados é de 11/12. 
Exemplo: 
Numa caixa existem 6 canetas pretas, 4 azuis e 3 
vermelhas. Se 3 canetas são retiradas ao acaso, e sem 
reposição, a probabilidade de que pelo menos duas 
tenham cores distintas é: 
Solução: 
Do que foi proposto, segue: 
Espaço Amostral (U): Retirar 3 canetas de uma 
caixa que contém 13 canetas (6 canetas pretas, 4 azuis e 
3 vermelhas). 
Isso pode ser feito de C13,3 modos distintos. Logo, 
n(U) = C13,3= 286. 
23
Evento (A): Retirar 3 canetas, pelo menos duas 
com cores distintas, de uma caixa que contém 6 canetas 
pretas, 4 azuis e 3 vermelhas. 
Evento Complementar ( ): Retirar 3 canetas com 
cores iguais de uma caixa que contém 6 canetas pretas, 4 
azuis e 3 vermelhas, ou seja, deve se escolher 3 canetas 
pretas, 3 canetas azuis ou 3 canetas vermelhas de um 
total de 6 canetas pretas, 4 azuis e 3 vermelhas. 
Isso pode ser feito de C6,3+ C4,3+ C3,3= 20 + 4 + 1 = 
25 modos distintos. Logo, n( ) = 25. Com isso, segue que 
P( ) = 25/286 
Como 
P(A) = 1 – P( ) segue que P(A) = 1 – 25/286 = 
265/286. 
7. PROBABILIDADE CONDICIONAL
TEOREMA DE BAYES E PROBABILIDADE 
CONDICIONAL 
Através da fórmula da probabilidade condicional 
determinamos a fórmula para o cálculo da 
probabilidade de dois eventos simultâneos, que é dada 
por: 
Note que para se obter a probabilidade de 
ocorrerem dois eventos sucessivos, que é p(A∩B), basta 
multiplicar a probabilidade de um deles ocorrer pela 
probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro 
já ocorreu. 
Quando o fato de ter ocorrido o evento B não 
alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, ou seja, 
quando A e B forem eventos independentes, a fórmula se 
reduz a: 
P(A∩B)=p(A)*p(B) 
Vejamos alguns exemplos de aplicação dessas 
fórmulas. 
Exemplo 1. 
Uma moeda e um dado são lançados 
simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer coroa e 
número primo? 
Solução: 
Primeiro, vamos determinar o espaço amostral S, 
que é o conjunto com todos os possíveis resultados. Para 
melhor compreensão, iremos denominar cara de C e 
coroa de K. Assim, 
S = {(C, 1); (C; 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K; 
1), (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6)}  n(S) = 12 
Vamos descrever os eventos A e B. 
A: ocorrer coroa 
B: ocorrer número primo 
É fácil ver que esses dois eventos são 
independentes, um pode ocorrer sem a interferência do 
outro. Dessa forma, para resolução, utilizaremos a 
fórmula: 
P(A∩B)=p(A)∙p(B) 
p(A) = ½, pois no lançamento de uma moeda há 
metade de chance de sair cara e metade de sair coroa. 
p(B) = 3/6 = ½, pois dos 6 possíveis resultados no 
lançamento de um dado, três deles são números primos. 
Logo, 
P(A∩B)=1/2*1/2=1/4 
Exemplo 2. 
Uma urna contém 10 etiquetas identificadas pelas 
letras A, B, C, D, ..., I, J. Duas delas são retiradas ao 
acaso, sucessivamente. Qual a probabilidade de saírem 
duas vogais, se a extração é feita sem reposição? 
Solução: 
Vamos determinar os dois eventos envolvidos. 
Evento A: sair uma vogal 
Evento B: sair uma vogal 
O fato de não haver reposição das etiquetas indica 
que a ocorrência de um evento interfere na ocorrência do 
outro, pois não haverá a mesma quantidade de etiquetas 
após a ocorrência de um deles. Dessa forma, utilizaremos 
a expressão: 
P(A∩B)=p(A│B)∙p(B) 
Vamos então calcular p(B) e p(A|B). 
p(B)= 3/10, pois, das dez letras,