Cálculos de Derivadas e Integrais

Prévia do material em texto

Resposta: A área é \(\frac{1}{4}\) unidades quadradas. 
 Explicação: Determine os pontos de interseção das curvas e integre para encontrar a 
área. 
 
250. Problema: Se \(f(x) = \ln(x)\), qual é a derivada terceira de \(f\)? 
 Resposta: \(f'''(x) = -\frac{2}{x^3}\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente para calcular a terceira derivada. 
 
251. Problema: Se \(f(x) = e^x\), qual é a série de Maclaurin de \(f\)? 
 Resposta: \(f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots\). 
 Explicação: Utilize a expansão da série de Maclaurin para o exponencial. 
 
252. Problema: Qual é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \(y = 
x^2\) e \(y = 1\) em torno do eixo \(y\) no intervalo \([0, 1]\)? 
 Resposta: O volume é \(\frac{\pi}{6}\) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize o método dos discos ou dos anéis para calcular o volume. 
 
253. Problema: Se \(f(x) = \sqrt{x}\), qual é a derivada primeira de \(f\)? 
 Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente para calcular a primeira derivada. 
 
254. Problema: Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' + 2y' + y = \sin(x)\)? 
 Resposta: \(y = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x)\). 
 Explicação: Encontre a solução geral da equação homogênea e uma solução particular 
da equação não homogênea. 
 
255. Problema: Se \(f(x) = \tan(x)\), qual é a série de Maclaurin de \(f\)? 
 Resposta: \(f(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots\). 
 Explicação: Utilize a expansão da série de Maclaurin para a tangente. 
 
256. Problema: Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).