Lista de Exercícios 3 Cadeia de Markov

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Lista de Exercícios 3 
Cadeia de Markov 
Cadeia de Markov faz parte do aprendizado de processos estocásticos (em aprofundamento de probabilidade e 
eventos aleatórios) utilizando o conceito de estado discretos. Em resumo, consiste em dizer que a transição entre 
estados discretos depende somente do estado atual (sem considerar os estados anteriores). 
Um exemplo feito em aula diz respeito a dias de sol e chuva. Assume-se que dias de sol serão o estado 1 e dias chuvosos 
o estado 2. A probabilidade de se manter no estado atual é de 0.90 e 0.80, respectivamente. A tabela de transição e 
o grafo correspondente ao sistema está na figura a seguir. 
 
Nota-se que a soma das linhas da matriz P (ou tabela de transição) sempre é igual a 1 (100%). Portanto, a informação 
correspondente ao arco 1->2 e 2->1 é subentendida. 
Qual é a probabilidade de o dia 2 ser um dia de sol, visto que o dia 1 foi um dia de sol? (1->1) 
Resp: 0.9 
Qual é a probabilidade de o dia 2 ser um dia de sol, visto que o dia 1 foi um dia de chuva? (2->1) 
Resp: 0.2 
Qual é a probabilidade de o dia 2 ser um dia de chuva, visto que o dia 1 foi um dia de sol? (1->2) 
Resp: 0.1 
Qual é a probabilidade de o dia 2 ser um dia de chuva, visto que o dia 1 foi um dia de chuva? (2->2) 
Resp: 0.8 
 
Agora, com esta tabela em mãos, podemos descobrir a probabilidade dos estados no dia 3. Basta multiplicar a tabela 
P por ela mesma e obteremos os valores de uma tabela de transição, não só para um intervalo de tempo, mas para 
dois intervalos. 
-> 
Se continuarmos o processo, saberemos as probabilidades dos estados do dia 4 previstos no dia 1. 
-> 
Ao continuarmos o processo, notaremos que a tabela de transição começa a se “estabilizar”, ou seja, os valores de 
probabilidade em cada coluna se tornam iguais. 
 
Não há uma maneira fácil de calcular quantas iterações são necessárias para estabilizar o valor das colunas, mas é 
possível calcular o valor final deste valor estável. Esta tabela final de transição é conhecida como estado 
estacionário. Um exemplo do cálculo é visto a seguir. 
-> 
Ou seja, um valor “pi”1 e “pi”2 que, quando multiplicados pelos valores da tabela de transição, não alteram seu 
valor. Para calcular, basta resolver um sistema linear utilizando a primeira multiplicação das matrizes e a informação 
que a soma dos “pi”s (ou das linhas das tabelas) sempre totaliza 1 ou 100%. 
 
Vale notar que utilizando a segunda multiplicação das matrizes, forma-se um sistema equivalente. 
 
E, destes dois modos equivalentes, pode-se obter o resultado: 
 
 
Exercício 1 
Para cada item, encontre (i) o grafo correspondente, (ii) a matriz de transição para 2 intervalos e (iii) a matriz de 
transição estacionária (para matrizes 3X3 utilize duas equações de multiplicação de matriz e uma equação de 
totalidade da soma dos “pi”s).
A) 
 
B) 
 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
Exercício 2 
Utilize os últimos dígitos de seu RA 8500XYZ para completar a tabela e encontre (i) o grafo correspondente, (ii) a 
matriz de transição para 2 intervalos e (iii) a matriz de transição estacionária. 
 
Exercício 3 
Imagine uma cidade de 100.000 habitantes que possui uma certa dinâmica sobre o consumo de refrigerantes. Quando 
se toma o refrigerante 1, existe cerca de 75% de probabilidade de continuar tomando o mesmo refrigerante. Quando 
se toma o refrigerante 2, existe cerca de 35% de probabilidade de trocar de marca de refrigerante na próxima ida ao 
mercado. 
Desenhe (i) o grafo deste sistema; faça (ii) a matriz de transição de 1 intervalo; (iii) a matriz de transição de 2 intervalos 
e (iv) a matriz de transição estacionária e utilize estes resultados para responder as questões a seguir. 
A) Qual é a probabilidade de alguém, que consome refrigerante 1 no momento atual, consumir refrigerante 1 
no momento seguinte? 
B) Sabendo-se que 80.000 habitantes consumiam o refrigerante número 1 no momento atual, qual é o número 
esperado de habitantes consumindo o refrigerante 1 no momento seguinte? 
C) Sabendo-se que 80.000 habitantes consumiam o refrigerante número 1 no momento atual, qual é o número 
esperado de habitantes consumindo o refrigerante 2 em uma previsão de 5 anos? 
D) Se trocarmos 80.000 habitantes que consomem o refrigerante número 1 no momento atual para 70.000 
habitantes, qual é o número esperado de habitantes consumindo o refrigerante 2 em uma previsão de 5 anos? 
E) E se trocarmos para 100.000 habitantes (todos os habitantes consumiam o refrigerante 1 no momento atual), 
qual é o número esperado de habitantes consumindo o refrigerante 2 em uma previsão de 5 anos? 
F) Qual é a conclusão que podemos obter com estes resultados?