Exercícios Resolvidos Anton Volume 2 Cap 10

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Exercícios resolvidos 
Anton, Volume 2, 8ª Edição 
 
 
Seção 10.2, Exercício de Compreensão 1. 
 
A tabela traz os cinco primeiros termos da sequência 
)2( n
 logo abaixo do seu número de 
posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 2 4 6 8 10 ... 2n ... 
 
Observando a tabela acima podemos concluir que a sequência é crescente. 
 
Podemos justificar matematicamente tal fato fazendo uso do teste de monotonicidade. 
 
Fazendo a diferença dos termos sucessivos 
1n na a 
 temos que 
2( 1) 2 2 2 2 2n n n n     
, logo 
1 0n na a  
, portanto, pelo teste da 
monotonicidade, a sequência é crescente. 
 
 
Já nesta tabela, temos os cinco primeiros termos da sequência 
)2( n
 logo abaixo do seu 
número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 
2
1
 4
1
 
8
1
 
16
1
 
32
1
 ... 
n2
 ... 
 
Observando podemos concluir que a sequência é decrescente. 
 
Podemos justificar matematicamente tal fato fazendo uso do teste de monotonicidade. 
 
Fazendo a razão dos termos sucessivos 
1n
n
a
a

 temos que ( 1) 1
1
2 2 2
2 2
2
1
,
2
n n
n n
   
 





 
 logo 
1 1n
n
a
a
 
, portanto, pelo teste da monotonicidade, a sequência é decrescente. 
 
 
 
Para a próxima sequência, na tabela abaixo temos os cinco primeiros termos da sequência 





 
2
5
n
n
logo abaixo do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 4 
4
3
 
9
2
 
16
1
 0 ... 





 
2
5
n
n
 ... 
 
 
E o que podemos observar? Que a sequência é decrescente. 
 
Podemos justificar matematicamente tal fato fazendo uso do teste de monotonicidade. 
 
Fazendo a razão dos termos sucessivos 
1n
n
a
a

 temos que 
 
 
 
 
 
22
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 3
2
2
2
5 ( 1)
5 ( 1)( 1)
5 5( 1)
5 1
5( 1) ( 1)
( 1) ( 1) 5
5
( 1) 5
4
( 1) 5
(4 )
.
( 1) 5
n
n nn
n nn
n
n n
nn n
n n
n n n
n n n
n n
n n
n n
n n
n n
 
 
 
 
 
   
    
 
  
 

 


 


 
 
 Como 
 2 2(4 ) ( 1) 5n n n n   
, 
 
2
2
(4 )
1
( 1) 5
n n
n n


 
, ou seja, 
1 1n
n
a
a
 
, portanto, pelo 
teste da monotonicidade, a sequência é decrescente. 
 
 
Continuando com a resolução, temos agora a tabela com se os cinco primeiros termos da 
sequência 





 
2
1
n
, logo abaixo do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 
1
 4
1

 
9
1

 
16
1

 
25
1

 ... 





 
2
1
n
 ... 
 
Podemos concluir que a sequência é crescente. 
 
Podemos justificar matematicamente tal fato fazendo uso do teste de monotonicidade. 
 
Fazendo a diferença entre termos sucessivos 
1n na a 
 temos que 
2 2 2 2
1 1 1 1
.
( 1) ( 1)n n n n
  
   
  
 
 Como 
2 2
1 1
( 1)n n


temos 
1 0n na a  
, portanto, pelo teste da monotonicidade, a 
sequência é crescente. 
 
 
Para a última sequência, na tabela abaixo temos os cinco primeiros termos da sequência 





 
2
)1(
n
n logo abaixo do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo -1 
4
1
 
9
1

 
16
1
 
25
1

 ... 





 
2
)1(
n
n ... 
 
E podemos concluir que a sequência nem é crescente nem decrescente, é uma sequência 
alternada, pois seus elementos alternam de sinal, devido às potências de (-1), trocarem de 
sinal conforme seu expoente for par ou ímpar. 
 
 
Portanto, as lacunas devem ser preenchidas respectivamente por C, D, D, C, N. 
 
 
 
Seção 10.2, Exercício de Compreensão 2. 
 
Observemos na tabela abaixo onde temos os cinco primeiros termos da sequência 
))1(( nn 
, logo abaixo do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 0 3 2 5 4 ... 
nn )1(
 ... 
 
Observando a tabela podemos concluir que a sequência é não monótona. 
 
 
Além disso, temos que a diferença entre os termos sucessivos 
1n na a 
 resulta    1 1
1
1 1
1
( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)( 1)
1 ( 1) ( 1)
1 2( 1) .
n n n n
n n
n n
n
n n n n
 

 

            
     
    
  
 
Mas 
1 3, se n é ímpar
1 2( 1)
-1, se n é par
n 
   

, portanto 
1 0n na a  
 se n é ímpar, e 
1 0n na a  
 se n é par, ou seja, a sequência não é crescente nem decrescente, ou seja, é 
uma sequência não monótona. 
 
 
Na tabela abaixo se encontram os cinco primeiros termos da sequência 
))1(2( nn 
, logo 
abaixo do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 1 5
 
5
 
9
 
9 ... 
nn )1(2 
 ... 
 
Observando a tabela podemos concluir que a sequência é monótona, porém não 
estritamente monótona visto que, por exemplo, 
32 aa 
e 
54 aa 
. 
 
 
Além disso, pelo teste da monotonocidade temos que a diferença entre os termos 
sucessivos 
1n na a 
resulta 
   
 
1 1
1
1 1
1
1
2( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 ( 1)
2 ( 1) ( 1)( 1)
2 ( 1) ( 1)
2 2( 1)
2 1 ( 1) .
n n n n
n n
n n
n
n
n n n n
 

 


            
     
    
  
  
 
Mas 
 1 4, se n é ímpar2 1 ( 1)
0, se n é par
n 
   

, portanto 
1 0n na a  
, ou seja, a sequência é 
crescente. Logo podemos classificá-la como monótona. 
 
 
Na tabela abaixo temos os cinco primeiros termos da sequência 
))1(3( nn 
, logo abaixo 
do seu número de posição: 
 
Nº de 
posição 
1 2 3 4 5 ... n ... 
Termo 2 7
 
8
 
13
 
14 ... 
nn )1(3 
 ... 
 
 
Observando a tabela podemos concluir que a sequência é estritamente monótona. 
 
 
Além disso, pelo teste da monotonocidade temos que a diferença entre os termos 
sucessivos 
1n na a 
resulta    1 1
1
1 1
1
3( 1) ( 1) 3 ( 1) 3 3 ( 1) 3 ( 1)
3 ( 1) ( 1)( 1)
3 ( 1) ( 1)
3 2( 1) .
n n n n
n n
n n
n
n n n n
 

 

            
     
    
  
 
Mas 
1 5, se n é ímpar
3 2( 1)
1, se n é par
n 
   

, portanto 
1 0n na a  
, ou seja, a sequência é 
estritamente crescente. Logo podemos classificá-la como estritamente monótona. 
 
 
 
Portanto, as lacunas devem ser preenchidas respectivamente por N, M, E. 
 
 
 
 
Seção 10.1, Exercício 35. 
 
 
Lembre que: 
1
lim
lim
limlim
0
ln
1
ln
1
1


















e
e
e
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.....(1)
 
 
 
Também lembre que o começo de uma sequência não importa para decidir se ela 
converge ou não. Por causa disso, decidir se a sequência  23 nn n converge é o mesmo 
que decidir se a sequência  13 nn n converge. 
 
 
Agora, precisamos decidir se a sequência  13 nn n converge ou não. 
 
 
Note que: 
 
nnn
nn
nnn
nnnn

3
......(2)
 
 
 
Aplicando o limitena equação (2), temos: 
 
 
n
n
n
n
n
n
nnn
n
n
n
nnn
nnnn




limlimlim
limlim 3
......(3)
 
 
 
Utilizando as equações (1) e (3), obtemos: 
 
1
111
limlimlimlim 3




n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
 
 
 
Evidências numéricas também nos conduzem a esse resultado. A tabela a seguir 
apresenta o resultado aproximado de 3n
n
para alguns valores de n, a partir de 
2n 
. 
 
n 
3n
n
 
2 2,8284 
10 1,9952 
20 1,5673 
100 1,1481 
1000 1,0209 
10000 1,0027 
100000 1,0003 
 
 
Portanto, 
1lim 3 

n
n
n
.