Exercícios de Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG
CENTRO DE EDUCAC¸A˜O E SAU´DE - CES
UNIDADE ACADEˆMICA DE FI´SICA E MATEMA´TICA - UAFM
Disciplina: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Per´ıodo: 2016.1
Professor: Gerivaldo Bezerra da Silva
Aluno: Matr´ıcula:
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Considerando que a malha nas figuras abaixo e´ formada por quadrados de lado 1,
fac¸a o que se pede:
a) Na figura 1, construa um sistema de coordenadas de modo que se tenha P (5, 2)
e Q(−4,−1).
b) Na figura 2, construa um sistema de coordenadas de modo que P e Q tenham
abscissas sime´tricas, assim como ordenadas. Isto e´, P = −Q.
Figura 1: Figura 2:
c) Calcule a distaˆncia entre P e Q usando as coordenadas do item (a).
d) Calcule a distaˆncia entre P e Q usando as coordenadas do item (b).
e) d(P,Q) depende do sistema de coordenadas?
2. Um campo de futebol tem 60m de comprimento por 40m de largura. Construa um
sistema de coordenadas e deˆ as coordenadas dos pontos que formam os quatro cantos
do campo (ve´rtices do retaˆngulo) e do ponto que marca o centro do campo.
3. Usando as definic¸o˜es de “soma de vetores” e “produto de um vetor por um escalar”,
assim como as propriedades de nu´meros reais, mostre que sendo os vetores u = (x1, y1),
v = (x2, y2) e w = (x3, y3) e k1, k2 ∈ R, temos:
1
a) u + (v + w) = (u + v) + w
b) k1.(u + v) = k1.u + k1.v
c)(k1 + k2).u = k1.u + k2.u
4. Considere os pontos A(−4,−2), B(−2, 2) e C(5,−1).
a) Determine as coordenadas dos vetores
−→
AB,
−−→
BC, e
−→
AC.
b) Esboce, na malha da figura 3, A, B, C,
−→
AB,
−−→
BC e
−→
AC (lembre-se que estes
vetores na˜o partem da origem!).
c) Esboce, na malha da figura 4, u, v e w, onde estes treˆs vetores partem da
origem e teˆm mesma direc¸a˜o, sentido e mo´dulo que
−→
AB,
−−→
BC e
−→
AC, respectivamente.
Figura 3: Figura 4:
d) Geometricamente, qual a diferenc¸a dos vetores
−→
AB,
−−→
BC e
−→
AC em relac¸a˜o aos
vetores u, v e w.
5. Prove que dados quaisquer pontos A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3) ocorre
que
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC.
6. Determine x para que se tenha
−→
AB =
−−→
CD, sendo A(x, 1), B(4, x+ 3), C(x, x+ 2) e
D(2x, x + 6).
7. Determine:
a) as coordenadas da extremidade da seta que representa o vetor v = (3,−7) sabendo
que sua origem e´ no ponto A(2, 1).
b) as coordenadas da extremidade da seta que representa o vetor u = (−9, 13) sabendo
que seu ponto final e´ D
(
−3, 7
3
)
.
c) o mo´dulo dos vetores
−→
AB e
−→
BA, onde A(2,−7) e B(−5,−4)
d) o que podemos afirmar sobre a direc¸a˜o, o sentido e o mo´dulo de
−→
AB em relac¸a˜o a
−→
BA ?
2
e) o mo´dulo dos vetores v1 = (5,−3) e v2 = (
√
18,−4)
f) o que podemos afirmar sobre a direc¸a˜o, o sentido e o mo´dulo de v1 em relac¸a˜o a v2 ?
8. Considere os pontos A(0, 1), B(3, 3), C(6,−3) e D(−2,−1). Determine as coorde-
nadas dos vetores u, v, w e z tais que u =
−→
AB, v =
−−→
CD, w = u + v, z = −u + 1
4
v e
represente-os graficamente no plano cartesiano abaixo.
9. Dados A(2, y) e B(3, 3) determine y para que o mo´dulo do vetor
−→
AB seja
√
5.
10. Dado B(3, 4) e sendo ||−→AB|| = 2 qual o valor ma´ximo que a abscissa de A pode
assumir? E o valor mı´nimo?
11. Sejam u e v vetores tai que ||u||2 + ||v||2 = ||u − v||2. Determine qual a relac¸a˜o
entre os vetores u e v.
12. Considere os vetores u = (2, 3), v = (−1, 4) w = (−2,−1). Determine as coorde-
nadas e represente graficamente os vetores:
a) u + 2v
b) −u
c) u− v
d) 3u− 2v + w
e) −u− v + 2w
13. Dados os vetores u = (2,−1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que
a) 3(u + w)− 2(v − w) = 0
b)
1
2
[3(u + w)− 4(v − w)] = 5 [u− 3w + 4(3v − 2w)]
3
14. Dados os vetores u e v, determine os vetores z e w em func¸a˜o das coordenadas de
u e v tais que 
2(u + z)− 3(v + w) = u
5(u− z) + 2(v − w) = v
15. Usando o fato de que “vetores na˜o nulos u e v teˆm mesma direc¸a˜o se, e somente
se, existe um nu´mero real k tal que u = kv”, encontre um vetor:
a) com mesma direc¸a˜o e sentido de (3, 4) e mo´dulo igual a 10.
b) com mesma direc¸a˜o e sentido de (3, 4) e mo´dulo igual a 6.
c) com mesma direc¸a˜o e sentido oposto ao do vetor (−1, 2) e mo´dulo igual a 5.
16. Sendo v = (2, 3), u = (−1, 2) e w = (1, 2). Encontre nu´meros k1 e k2 tais que
v = k1u + k2w
17. Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que
−→
AC seja paralelo
ao vetor u = (2, 1) e ||−→AC|| = ||−→AB||.
18. Dados A(−1,−1) e B(3, 5), determine C tal que
a)
−→
AC =
1
2
−→
AB
b)
−→
AC =
1
4
−→
AB
c)
−→
AC =
2
3
−→
AB
d)
−→
AC =
3
5
−→
BA
19. Dados os pontos A, B e C, determine o vetor
−−→
CM em func¸a˜o dos vetores
−→
CA e
−−→
CB sendo M :
a) o ponto me´dio de AB.
b) um ponto de AB tal que 3
−−→
AM =
−→
AB.
20. Dados B(0, 4) e C(8, 2), determine o ve´rtice A do triaˆngulo ABC, sabendo que o
ponto me´dio de AB e´ M(3, 2).
21. Dados A(3,−1), B(−5, 5) e C(6, 3), determine:
a) A medida do aˆngulo  do triaˆngulo ABC.
b) A a´rea do triaˆngulo ABC.
c) O mo´dulo dos vetores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
BC.
d) O ponto me´dio de cada lado do triaˆngulo ABC (Denote-os por: M1, M2 e M3).
e) Mostre que o triaˆngulo M1M2M3 e´ retaˆngulo.
4
f) Calcule a a´rea do triaˆngulo M1M2M3
g) esboce os dois triaˆngulos num plano cartesiano.
22. Escreva o vetor (7,−1) como soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,−1) e
outro paralelo ao vetor (1, 1).
23. Sejam A, B, C treˆs vetores na˜o nulos. Mostre, por meio de um exemplo, que
podemos ter A.C = B.C com A e B distintos.
24. Represente graficamente o lugar geome´trico determinado por
(2, 4) + t(3,−1),
onde t e´ um nu´mero real.
25. Sejam P (1, 3), Q(4,−1) e R(−2, 3) pontos no plano. Fac¸a o que se pede:
a) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por R e tem mesma direc¸a˜o
do vetor
−→
PQ.
b) Determine a equac¸a˜o cartesiana de r.
c) Calcule a distaˆncia do ponto M(9, 5) a` reta r.
d) Determine a equac¸a˜o cartesiana reduzida de r, ou seja, sua equac¸a˜o na forma
y = mx + k.
e) Plote r no plano xy.
26.1 As retas r1 e r2 sa˜o perpendiculares? Justifique matematicamente sua resposta.
r1 : 3x = y − 7 e r2 :
x = 4− 3ty = −4− 1t , t ∈ R
26.2 os vetores u =
(−3
4
, 2
)
e v =
(
3
10
,−4
5
)
sa˜o paralelos? Justifique sua resposta
matematicamente.
26.3 sejam u, v e w vetores no plano e k ∈ R, mostre que k(u + v) = ku + kv.
26.4 Seja u um vetor na˜o nulo no R2, mostre que o vetor v =
1
||u|| e´ unita´rio.
27. Calcule o menor aˆngulo (em graus) entre as retas r e s tais que r : x− 4y = −15 e
s e´ a reta que passa pelo ponto (7, 7) e tem mesma direc¸a˜o que o vetor w =
(
−4, 12
5
)
.
28. Classifique os itens abaixo em verdadeiro ou falso. Deˆ um contra-exemplo para
cada item que for falso.
a) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores no plano, temos que: u.v = 0 implica que
u = (0, 0) ou v = (0, 0).
5
b) Sejam u, v e w vetores no plano, temos que: (u + v) + w = v + (w + u).
c) Se o vetor u 6= (0, 0), enta˜o o vetor v = −1u tem mesma direc¸a˜o e mo´dulo que u.
d) Sejam u e v vetores na˜o nulos no plano. O vetor projec¸a˜o P uv e´ sempre na˜o nulo.
e) Sejam as retas r e s e suas equac¸o˜es, respectivamente, y = a1x + b1 e y = a2x + b2.
Se r//s, enta˜o a1 = a2 e b1 = b2.
29. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dio de dois lados de um triaˆngulo
e´ paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.
30. Os pontos A(1,−3), B(6, 1) e C(2, 3) sa˜o treˆs ve´rtices de um paralelogramo. Encon-
tre treˆs pontos, cada um dos quais podendo ser o quarto ve´rtice deste paralelogramo.
Esboce graficamente cada caso num plano cartesiano.
31. Sejam u = (x1,y1) e v = (x2, y2). Demonstre que:
||u||2 + ||v||2 − ||u− v||2 = 2u.v ,
32. (Desigualdade de Cauchy Schwarz) Sejam u e v vetores arbitra´rios, mostre que
|u · v| 6 ||u|| · ||v||.
33. Dados os pontos A(0, 0) e B(8, 0) determine um ponto C para que o triaˆngulo
ABC tenha lados 3, 7 e 8.
34. Verifique, na questa˜o anterior, que o aˆngulo formado entre o maior e o menor lado
do triaˆngulo mede 60◦.
35. Determine o maior e o menor aˆngulo entre cada par de retas abaixo:
a) r : x + 3y = −12 e s : 9 + y + 2x = 0
b) r : −x + 6y = 19 e s :
x = −1 + 7ty = 3− 5t , t ∈ R
c) r : y = 4 e s :
x = −7 + 3ty = 3 + 3√3t , t ∈ R
36. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas e cartesianas da circunfereˆncia:
a) de centro C(2, 3) e raio r = 4.
b) de diaˆmetro AB, sendo A(−3,−2) e B(3, 2).
c) de diaˆmetro AB, sendo A(1,−8) e B(9,−2).
37. Determine o centro e o raio de cada circunfereˆncia abaixo.
a) (x− 10)2 + (y + 6)2 = 17
6
b) x2 + y2 − 18x = −45
c) x2 + y2 − 14x− 10y = −61
d) x2 + y2 + 6x− 6y + 9 = 0
38. Determine as equac¸o˜es parame´tricas e cartesianas, o centro e o raio da circun-
fereˆncia que conte´m os pontos:
a) A(0,−3), B(4, 5) e C(4,−5).
b) A(11, 5), B(4, 4) e C(8, 1).
39. Seja o c´ırculo C(O, r), onde O(2, 1) e r =
√
20 determine:
a) Os pontos de intersec¸a˜o de C com a reta r : −x + 2y = 0.
b) Os dois pontos pertencentes a C que juntos com os dois pontos do item a formam
um quadrado inscrito em C.
c) A medida do lado deste quadrado.
d) A a´rea deste quadrado.
40. Calcule a distaˆncia do ponto P (8, 7) a` reta r : −4x− 3y = −3.
41. Determine a ordenada dos ponto P que tem abscissa x = 3 e cuja distaˆncia de P
a` reta r : 4y = 3x− 14 e´ 5u.c..
42. Determine se cada par de vetor abaixo formam aˆngulo de 0◦, 90◦ ou 180◦ usando
os crite´rios de perpendicularismo e paralelismo:
a) u = (5, 2) e v = (20, 4)
b) u = (−9, 21) e v = (6,−14)
c) u = (−7, 2) e v = (4, 14)
d) u = (−7, 12) e v = (12,−30)
e) u =
(
5
4
,−3
)
e v =
(√
5
2
,
5
√
5
24
)
f) u = (1, 0) e v = (0, 1)
g) u =
(
2
√
3,
−5
11
)
e v =
(
3
√
10
2
,
5
√
30
44
)
h) u = (
√
7,−
√
3) e v =
(
−
√
2,
√
42
7
)
43. Dados treˆs pontos do plano A(3, 5), B(7, 2) e C(−3,−3). Determine a a´rea do
triaˆngulo ABC das duas maneiras diferentes citadas abaixo:
a) Usando a fo´rmula AT =
b · h
2
, onde b e´ a medida da base e h a altura relativa a base
tomada. (lembre-se que podemos determinar a altura usando projec¸a˜o de vetores ou
distaˆncia de um ponto a uma reta).
b) Usando a fo´rmula AT =
√
p · (p− a) · (p− b) · (p− c), onde a, b e c sa˜o as medidas
dos lados deste triaˆngulo e p seu semiper´ımetro, p = (a + b + c)/2.
7